偏导数恒为零

为什么二元函数恒等于零只需证明它的所有偏导等于零？~

利用方向导数的公式,
f(x,y)-f(a,b)=[fx(a,b)cos α+fy(a,b)cosβ]{(x-a)²+(y-b)²}½=0
f(x,y)=f(a,b)

函数Z=f（x,y）的两个偏导数在D域内恒为零
所以Z=f（x,y）的任何方向上的方向导数都为0.
对于D域中的任何2点,(x,y)和(x+u,y+v),
记
h(t) = f(x + tu,y + tv) - f(x,y),0

函数Z=f（x，y）的两个偏导数在D域内恒为零
所以Z=f（x，y）的任何方向上的方向导数都为0.

对于D域中的任何2点，(x,y)和(x+u,y+v),
记
h(t) = f(x + tu, y + tv) - f(x,y), 0 <= t <= 1。

而点（x + tu, y + tv）处，由(x,y)指向(x+u,y+v)方向上的Z = f(x,y)的方向导数 为0。

所以，0 < t < 1时，总有h'(t) = 0.

h(0) = 0,
h(1) = f(x + u, y + v) - f(x,y).

由中值定理，
存在s, 0 < s < 1.使得 h(1) - h(0) = h'(s)(1 - 0) = h'(s) = 0,

也即，
f(x+u, y + v) - f(x,y) = 0,

由x,y,x+u,y+v的任意性，知，
f(x,y)在D域内恒为常数。

函数Z=f（x，y）的两个偏导数在D域内恒为零
所以Z=f（x，y）的任何方向上的方向导数都为0.
对于D域中的任何2点，(x,y)和(x+u,y+v),
记
h(t)
=
f(x
+
tu,
y
+
tv)
-
f(x,y),
0
<=
t
<=
1。
而点（x
+
tu,
y
+
tv）处，由(x,y)指向(x+u,y+v)方向上的Z
=
f(x,y)的方向导数
为0。
所以，0
<
t
<
1时，总有h'(t)
=
0.
h(0)
=
0,
h(1)
=
f(x
+
u,
y
+
v)
-
f(x,y).
由中值定理，
存在s,
0
<
s
<
1.使得
h(1)
-
h(0)
=
h'(s)(1
-
0)
=
h'(s)
=
0,
也即，
f(x+u,
y
+
v)
-
f(x,y)
=
0,
由x,y,x+u,y+v的任意性，知，
f(x,y)在D域内恒为常数。

反证法：设Z=f（x，y）在D域内不为常数

因为求偏导数是关于x、y求偏导

而求一个未知数的偏导（如x）时

另一个未知数（如y）视为常数

茹果Z=f（x，y）在D域内不为常数

则求得的偏导会出现另个未知数（如y）就与假设相反

所以假设不成立

得证

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牡丹区19452614613： 偏导数恒为零 - ？
苌炕法安： 函数Z=f(x,y)的两个偏导数在D域内恒为零 所以Z=f(x,y)的任何方向上的方向导数都为0.对于D域中的任何2点,(x,y)和(x+u,y+v), 记 h(t) = f(x + tu, y + tv) - f(x,y), 0 <= t <= 1.而点(x + tu, y + tv)处,由(x,y)指向(x+u,y+v)方向上的Z = f(x,y)...

牡丹区19452614613： 偏导数恒为零试证:如果函数Z=f(x,y)的两个偏导数在D域内恒为零,那么Z=f(x,y)在D域内为常数. - ？
苌炕法安：[答案] 函数Z=f(x,y)的两个偏导数在D域内恒为零 所以Z=f(x,y)的任何方向上的方向导数都为0. 对于D域中的任何2点,(x,y)和(x+u,y+v), 记 h(t) = f(x + tu,y + tv) - f(x,y),0

牡丹区19452614613： 多元函数的偏导数为零,怎么证多元函数恒是常数??? - ？
苌炕法安： 一元函数导数为0,则函数为常数,这个你会证吧? 有了这个结论,多元函数的结论就是显然的了啊.若f(x,y)对x的偏导数恒为0,则将f(x,y)看作x为变量的一元函数,则函数为常数,也就是说,函数与x无关,同理函数与y无关,因此函数为常数.

牡丹区19452614613： 最小二乘法 为什么要令偏导数为0?为了使 偏差平方和最小,为什么要让偏差平方和的偏导数为0就可以了?请懂的人 一句话点破迷津, - ？
苌炕法安：[答案] 偏差平方和,恒大于等于0.同时可以知道,这玩意是不可能达到最大值的(只要足够偏离的话,那肯定是越来越大的),因此在偏导数为0时取到的是最小值咯~(取极值的条件嘛,偏导数为0) 祝学习愉快~

牡丹区19452614613： 二元函数f(x,y)在开集D上关于x,y的偏导数恒为0. - ？
苌炕法安： 只有当D为一个区域时才有结论成立,区域当然是联通的,因此选项3正确.

牡丹区19452614613： 如果函数存在二阶偏导数,那么它的一阶偏导数及函数本身能为0吗? - ？
苌炕法安：[答案] 当然可以,如果f(x,y)恒等于0,那么f(x,y)的任意阶偏导数都是存在的且都恒等于0,只不过这样的函数过于“平凡”了,理论和实际意义都不大.

牡丹区19452614613： 最小二乘偏导为0是何意义为什么让最小二乘目标函数的 - ？
苌炕法安： 偏差平方和,恒大于等于0.同时可以知道,这玩意是不可能达到最大值的(只要足够偏离的话,那肯定是越来越大的),因此在偏导数为0时取到的是最小值咯~(取极值的条件嘛,偏导数为0)

牡丹区19452614613： 若可微函数f(x,y)在区域D内满足f(x,y)对x的偏导数恒为0,则有f(x,y)=φ(y),错在哪 - ？
苌炕法安： 这是没有定义过的,而且有很多反例,所以不成立 比如y^x-lny*(1/2)x²

牡丹区19452614613： 推论如果函数在区间i上的导数恒为0,那么他在区间上是一个常数 为什么是“一个”常数,不能是分段的?比如y=2 x=1那不就是两个常数了? - ？
苌炕法安：[答案] 区间i上的导数恒为0,那么他在区间上是一个常数 注意 是在区间上是一个 常数 按照你的例子 在 x= 1处 导数不是0 ,那么 在 此处不是常数 不如在区间(-无穷,1) 导数为0,则 在这个区间(-无穷,1)为 一个常数

牡丹区19452614613： 关于偏导数连续的问题 - ？
苌炕法安： f(x,y)= xy/√(x^2+y^2) (x>0)-xy/√(x^2+y^2) (x0 (x=0且y=0) 对x求偏导,得fx(x,y)= y^3/(x^2+y^2)^(3/2) (x>0)-y^3/(x^2+y^2)^(3/2) (x在x=0时偏导是多少呢,把这两个偏导数分别取x=0处的极限,可以得到 从f(x,y)在x=0处关于x的导数左极限是-1,右极限是1,故在x=0处极限不存在即不存在偏导数,这里请注意是在y不为0的情况下.特别地,当y=0时,方程f(x,y)=0,此时x的偏导数连续即恒为0.对于y,固定了x,这个函数是连续函数,故偏导数连续.