数学问题取石子

取石子问题~

这种博奕游戏一般假设双方都是同样聪明的 ，所以根据石子总数不同游戏结果有两种：

1）如果石子总数为4n+1的话，先取的人必输。
后取的人的策略是，每次取的石子数总与先取的人所取数目总和为4，这样石子总数总是4个4个往下减，直到最后剩下1个，被先取的人取走从而使其输掉游戏。

2）如果石子总数为上述情况以外的4n+2,4n+3,4n这三种情况中的任一种，那么先取的人必赢。
其策略是，第一轮取掉若干(对应上述三种情况分别取掉1,2,3个)石子，使剩下的石子总数是4n+1，从而使后取的人面临第一种必输情况即可。

这是数论中的最优策略问题，没有平均数原理。
我好好想想再给你答案。
要上班了，下班继续思考……（时间不多，才回复，见谅）
1. 从50中取走32粒剩余18粒是正确的。
2. 算法：从其中一堆中取n个，使得剩余的所有数目正好是“必负局（此时先取必输的局面）”。
3. 所谓“必负局”是指把剩余的每一堆的数目都转化成二进制的数，然后把它们相加，规定做不进位的加法（也就是异或运算），即0+0＝0，1+0＝0，0+1＝1，1+1＝0（不进位），如果所得和是0（多个0），那么此种局势称为“必负局”。
4. “必负局”原理：一个“必负局”，一次改动任何一个数，都将不再是“必负局”，同时，任何一个“非必负局”，通过正确地减少某个数，一定能变成“必负局”，并且这种操作是唯一的。设想现在是“必负局”，假如你先取，势必把其中的某个数的1改成了0，0改成了1，一定不再是“必负局”了，而我一定可以在把它变会“必负局”。其实这样的局势，相当于偶数，你取了，必定有对应我取的，所以我一定拿到最后一个。简单的想，考虑只有两堆，那么如果原来不相等，那就是“非必负局”，先取者有必胜方式，只要取多的一堆使得两堆相等，之后你取几个，我就从另一堆取几个。
5. 应用：（也许格式会改变）
19 010011
7 000111
5 000101
3 000011
010010 (18)10
也就是，还要18才能变成“必负局”，所以50－18＝32
所以第1次只能在第5堆石子中取32粒，使得取出32粒后为“必负局”，即异或运算结果为0。

只有一堆时，无论有多少，先取者都可以一次性全部取走，所以必胜。

(1,1)时，显然先取者必败。
(1,2)时，先取者必胜，他可以在2那一堆中取1个，于是变成(1,1)，但这成为上一种情况了，于是接下来取的人必败，亦即先取者必胜。
(1,3)时，先取者必胜。他可以在3那一堆中取2个，于是变成(1,1)。
(2,2)时，先取者必败。他在任何一堆中取1个，对方随即在另一堆中取1个，即变成(1,1)；如果他取走一堆中的全部石子，对方即取走另一堆中的全部石子。
(2,3)时，先取者必胜。他可以在3那一堆中取1个，于是变成(2,2)。
(3,3)时，先取者必败。他取走任一堆中的1,2或3个，就变成了以上讨论过的情形。

(1,1,1)时，先取者必胜。他取走任一堆，就变成了(1,1)。
(1,1,2)时，先取者必胜。他取走2那一堆，就变成了(1,1)。
(1,1,3)时，先取者必胜。他取走3那一堆，就变成了(1,1)。
(1,2,2)时，先取者必胜。他取走1那一堆，就变成了(2,2)。
(1,2,3)时，先取者必败。分析如下：
他先取1那一堆，则变为(2,3)，由上面的分析，对手必胜。
他从2那一堆中取1个，就变成了(1,1,3)，对手可以将3那一堆全部取走，变成了(1,1)，于是必胜。
他将2那一堆全部取走，就变成了(1,3)，对手必胜。
他从3那一堆中取1个，就变成了(1,2,2)，对手必胜。
他从3那一堆中取2个，就变成了(1,2,1)，对手必胜。
他将3那一堆全部取走，就变成了(1,2)，对手必胜。

这些胜负有什么规律呢？我们可以将每堆的数转换成二进制，然后看每一位上所有堆里的1的个数总和：
必胜情况：(n) (1,2)(1,3)(2,3) (1,1,1)(1,1,2)(1,2,2)
必败情况： (1,1)(2,2)(3,3) (1,2,3)

化为二进制：
必胜情况：
(n)<只有1堆>：……（反正每位只要有1肯定只有1个）
(1,2)：1,10
列成竖式：
01
10
个位上只有1个1，“十位”（因为是二进制所以叫十位不妥，这里为了方便说明暂且使用，下同）上也只有1个1。
(1,3)：1,11
列成竖式：
01
11
个位上有2个1（1的1个，3的1个），十位上有1个1。
(2,3)：10,11
个位上有1个1，十位上有2个1。
(1,1,1)：1,1,1
个位上有3个1。
(1,1,2)：1,1,10
个位上有2个1，十位上有1个1。
(1,1,3)：1,1,11
个位上有3个1，十位上有1个1。
(1,2,2)：1,10,10
个位上有1个1，十位上有2个1。

必败情况：
(1,1)：1,1
个位上有2个1。
(2,2)：10,10
十位上有2个1。
(3,3)：11,11
个位上有2个1，十位上也有2个1。
(1,2,3)：1,10,11
个位上有2个1，十位上也有2个1。

下面分析一下这些情况。
先看必败情形。容易发现，所有的必败情形，都是所有的数位上都有偶数个1。
下看必胜情形。我们发现，出现了两种情况：
1.只有1位上有奇数个1，如(1,3)(2,3)(1,1,1)(1,1,2)(1,2,2)。而先取者取走该位上的1，所有的位上就都变成了偶数个1，而这时后取者变成了先取者。
2.有若干位上都是奇数个1，如(n)(1,2)(1,1,3)。先取者取（不一定取走哪位）后，所有的位上也都变成了偶数个1。后取者变成了先取者。
以上两种情况，都是将后取者逼至必败情况从而取胜。

由以上分析我们可以得到结论：将所有的堆的石子数化为二进制后，如果所有数位上的1的个数都是偶数，那么先取者必败；如果有些位上的1的个数是奇数，先取者能够将所有数位上的1的个数都变为偶数的话，那么先取者必胜。

好，下面来分析我们的题目。
3,5,7,19,50化为二进制是：
000011
000101
000111
010011
110010
可见，只有最高位的1是奇数个，其他位上都是偶数个。
所以只需要将最高位的1取走即可必胜。
二进制的100000就是10进制的32，所以要将50个石子的那堆取32个，取掉就变成偶数个数目。于是先取者必胜。以后无论对方怎么取，始终保证每一位上的1的个数是偶数即可（一种简单的方法是，他在一堆中取几个，你在另一堆中也取几个就可以）。

这种博奕游戏一般假设双方都是同样聪明的，所以根据石子总数不同游戏结果有两种：

1）如果石子总数为4n+1的话，先取的人必输。
后取的人的策略是，每次取的石子数总与先取的人所取数目总和为4，这样石子总数总是4个4个往下减，直到最后剩下1个，被先取的人取走从而使其输掉游戏。

2）如果石子总数为上述情况以外的4n+2,4n+3,4n这三种情况中的任一种，那么先取的人必赢。
其策略是，第一轮取掉若干(对应上述三种情况分别取掉1,2,3个)石子，使剩下的石子总数是4n+1，从而使后取的人面临第一种必输情况即可。

自己每次取,使剩下的石子4的倍数加1就行最后肯定赢
如果开始就是4的倍数加1,自己没有必胜法,对方如果按照这个规律,对方必胜

晕,我修改下怎么成3楼了...我是2楼啊...

让剩下的数是单数。

也就是说随便你怎么取，最后剩下四个不就是你稳赢了嘛

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潜山县15119991579： 数学问题取石子一堆石子个两个人取,一人一次最多取3个最少取一个,不能不取,谁取到最后一个谁就输了,问怎么样能无限赢.PS:自己先取. - ？
楚要泰美：[答案] 这种博奕游戏一般假设双方都是同样聪明的,所以根据石子总数不同游戏结果有两种: 1)如果石子总数为4n+1的话,先取的人必输. 后取的人的策略是,每次取的石子数总与先取的人所取数目总和为4,这样石子总数总是4个4个往下减,直到最后...

潜山县15119991579： 问一道数学题 取石子的随机一共30 - 60个石子.甲乙两个人取,每次可以取1粒或者2粒或者3粒取得最后一粒石子为失败.甲可以选择先取或者后取.请问甲应该取... - ？
楚要泰美：[答案] 问题后过来想,最后一粒让另一个人取,所以你最后取应该取后只需要一粒 如果共有40粒,甲应该取3粒, 而后,如果乙取1粒,则甲取3粒 如果乙取2粒,则甲取2粒 如果乙取3粒,则甲取1粒 这样必然最后一粒是乙取. 如果是50粒,则甲应取1粒,...

潜山县15119991579： 问一道数学题 取石子的 - ？
楚要泰美： 问题后过来想,最后一粒让另一个人取,所以你最后取应该取后只需要一粒 如果共有40粒,甲应该取3粒,而后,如果乙取1粒,则甲取3粒 如果乙取2粒,则甲取2粒 如果乙取3粒,则甲取1粒 这样必然最后一粒是乙取.希望对你有帮助,如果是50粒,则甲应取1粒,总之让剩下的出现4k+1的形式就行.

潜山县15119991579： 取石子游戏数学好的懂得的说说:23个石子,每次取数1个,2个,3个,拿到最后一个就输,自己先拿.提示:不管自己拿几个,对方拿的数和自己拿的数相... - ？
楚要泰美：[答案] 一开始先拿2个,然后他去几,你取跟他的和为4的,如他取1个,你去三个,等等.如此一来,到最后你去的是2+4+4+4+4=22个,那么他一定要取第23个.他就输了

潜山县15119991579： 数学游戏(取石子) - ？
楚要泰美： 每次取的数量有没有限制啊?如果没有限制,第一步取哪一堆都没有关系,只要把它全部取走,然后,无论乙取哪一堆,甲也取哪一堆,而且,让这一堆只剩下一颗;如果乙已经取到只剩下一颗了,甲就取其他的,并且取到只剩下一颗;如果乙将一堆全部取走,甲也将另一堆全部取走.甲只要记得:保留偶数堆和做到每堆只剩一颗,有了这样的策略,最后结果就会出现偶数堆,而且每堆只剩一颗,轮到乙取,最后一颗就一定是甲得的.

潜山县15119991579： 找石子 其实是数学问题？
楚要泰美： 准备工作:把12个石子编号1-12,按序号分3组4/4/4 也就是 组一:1 2 3 4 组二:5 6 7 8 组三:9 10 11 12 第一步:组一和组二称,若平衡,则坏球在9 10 11 12中,再称两次很容易找出,从1-8中取一个做标准球,拿一个标准球和9号一组,10,...

潜山县15119991579： 取石头问题 - 数学 - ？
楚要泰美： 解:先拿的人有必胜策略. 先简单地算一下数字较小时的情况: (“胜”“负”指先拿的人) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 负 胜 胜 胜 胜 负 负 胜 胜 胜 胜 负 胜 胜 胜 胜 负 负 胜 胜 胜 胜 负 可以看出 11--21和0--10...

潜山县15119991579： 有20个石子,一个人分若干次取,每次可以取1个,2个或3个,但是取完之后不能留下质数个,有多少方法取完? - ？
楚要泰美：[答案] 首先,20以内的质数有:2、3、5、7、11、13、17、19. 那么第一次取就不能取1个和3个,因为会出现17和19,那么第一次取2个.剩下18个. 第二次取不能取1个,因为会出现17个,那么有两种取法,就是取2和取3,取2则剩下16个,取3剩下15个....

潜山县15119991579： 有两堆石子,一堆100个,一堆150个,现两人轮流取石子,一次可从一堆中取若干个,或从两堆中取相等个.谁将全部取完则谁胜.则先手还是后手有必胜策略? - ？
楚要泰美：[答案] 这个是一个博弈,把小的一堆除以黄金分割比例,得到a,如果小的那堆加上a等于较大的那堆,那么先取必败,否则先取必胜,证明用到斐波拉契矩阵,贝蒂定理 此题先取必胜 你是必胜态,无论对方怎么取,你都能创造一个必败态,例如,本题你...

潜山县15119991579： 十五粒石头分成3、5、7三堆数学建模将15粒小石分为三堆,每堆分为3、5、7粒,没人依次从中取走小石子.规定每次只能从一堆中取至少1粒,多取不限,... - ？
楚要泰美：[答案] 先取走任意一堆,当第二个人取的时候,就从两堆里多的一堆里取,取的数量有要求,(让剩下的两堆一样多就可以了)以后他取几个,你就从相应的另一堆取几个,这样就能保证最后一个是你取走的