线性代数的证明题
题目有误，A必须是n阶方阵，否则AB≠BA
如图所示，很基础的题
则|λEn-A|=(λ-λ1)(λ-λ2)…(λ-λn)=λ^n-(∑λi)λ^(n-1)+…+(-1)^n(∏λi)
取λ=0，即得|-A|=(-1)^n(∏λi)
因而|A|=∏λi，即λ1 •λ2 •…•λn＝｜A｜
再根据行列式定义可得，
|λEn-A|=(λ-a11)(λ-a22)…(λ-ann)+{(n!-1)个不含λ^n和λ^(n-1)的项}
=λ^n-(∑aii)λ^(n-1)+…+{(n!-1)个不含λ^n和λ^(n-1)的项}
比较上面两个|λEn-A|的两个展开式中λ^(n-1)的系数，即得
λ1 ＋λ2 ＋……＋λn＝a11＋a22＋……＋ann
考虑矩阵A的特征多项式｜λE-A｜，这是一个行列式，其中不在主对角线上的元素为-aij,(i≠j)，在主对角线上的元素为λ-aij,(i=j)
其展开式中，主对角线上的元素乘积为(λ-a11)(λ-a22)…(λ-ann)
展开式中其余各项至少包含n-2个主对角线上的元素，因此关于λ的次数最多是n-2。所以特征多项式中含有λ^n和λ^(n-1)的项只能出现在主对角元素的连成积中，它们是λ^n-(a11+a22+…+ann)λ^(n-1)
而在特征多项式中，只需令λ=0即得常数项为｜-A｜=[(-1)^n]｜A｜
因此A的特征多项式必定形如
f(λ)=λ^n-(a11+a22+…+ann)λ^(n-1)+…+[(-1)^n]｜A｜
现设A的n个特征的多项式值为λ1, λ2, …… λn，根据n次多项式根与系数的关系
λ1 ＋λ2 ＋……＋λn＝a11＋a22＋……＋ann，λ1λ2…λn＝｜A｜
由此还可以得到A有零特征根的充分必要条件为｜A｜=0，即A不可逆
这道题是一道比较抽象的证明题，在不知如何如手时可以先将已知条件表示成数学表达式，然后看看结论需要什么样的表达式，两头推理，这样有助于找到思路
你疯了吧，书上有的，这个谁能证明，谁NB
线性代数秩,证明r(A^T·A)=r(A)
证明过程如图所示：在一个m维线性空间E中，一个向量组的秩表示的是其生成的子空间的维度。考虑m× n矩阵，将A的秩定义为向量组F的秩，则可以看到如此定义的A的秩就是矩阵 A的线性无关纵列的极大数目。即 A的列空间的维度(列空间是由 A的纵列生成的 F的子空间)。因为列秩和行秩是相等的，我们...
线性代数。一道题。证明线性无关! 要具体过程。
证明:假设命题不对，即α1，α2，α3，β1+β2线性相关，则由线性相关的定义，存在不全为0的a、b、c、d使得 aα1+bα2+cα3+d(β1+β2)=0 若d=0，则aα1+bα2+cα3=0，则α1，α2，α3线性相关，与题设中α1，α2，α3线性无关矛盾 故β2=(a\/d)α1+(b\/d)α2+(c...
线性代数 R(A)=R(ATA) 如何证明?
如果这两个方程组同解,则两个方程组的系数矩阵有相同的秩,R(A)=R(AT A)=n-基础解系中向量个数。这个很好理解对吧,《线性代数》的基本内容。 现在来证明它们同解: 首先,如果x1是(1)的解,那么它肯定也是(2)的解,因为将其代入(2): (AT A)x1=AT (Ax1)=AT *0=0 其次证明(2)的解也是(1)的解:...
线性代数题,已知矩阵A+B=AB,证明AB=BA
I为单位矩阵 (A-I)(B-I)=A(B-I)-I(B-I)=AB-A-B+I =I 因此,(A-I)和(B-I)互为逆矩阵 因此 (B-I)(A-I)=I 即BA-A-B+I=I BA=A+B=AB
线性代数线性关系的一道证明题!求解!
-asαs=a1α1+…+a(s-1)α(s-1)必有as=0，否则αs必可以由α1,…,α(s-1)线性表出 因此得到：0=a1α1+…+a(s-1)α(s-1)再重复上述过程有限次，最后得到：0=a1α1 又α1≠0，故必有a1=0 因此，a1=a2=……=as=0 那么，向量组α1,α2,…,αs线性无关 有不懂欢迎追问...
线性代数,急!!!证明题,2,3,4题
第（2）题 D2 每一列（第1列除外）第j列乘以b^(j-1)然后每一行（第1行除外）第i列提取公因子b^(i-1)可化成D1，因此D1=D2 第（3）题 第1~4行分别乘以a²,b²,c²,d²后，得到 a⁴+1 a³ a a²b⁴+1 b³ b b²c...
大一线性代数证明题 急等答案 求好心人
证明: (1)因为矩阵属于不同特征值的特征向量线性无关 所以分别属于特征值λ1,λ2,λ3,λ4 的特征向量a1,a2,a3,a4线性无关 故A有4个线性无关的特征向量.(2) 令 P=(a1,a2,a3,a4), 则P可逆 且 AP = A(a1,a2,a3,a4)= (Aa1,Aa2,Aa3,Aa4)= (λ1a1,λ2a2,λ3a3,λ4a4)= (...
线性代数 向量组a1,a2,a3线性无关,证明:向量组a1+a2,a2+a3,a3+a1也线...
因a1、a2、a3线性无关，则：m－1=0且m＋n=0且n－1=0 但这个方程组无解，从而有：a1＋a2、a2＋a3、a3＋a1是线性无关的。线性方程形式 形为 ax+by+...+cz+d=0 ，关于x、y的线性方程，是指经过整理后能变形为ax+by+c=0的方程（其中a、b、c为已知数，a、b不同时为0）。一元线性...
线性代数证明题
充分性：B的每一列(B1,B2,...Bs)都是齐次线性方程组Ax=0的解，则AB1=0,AB2=0,...ABs=0 则AB=A(B1,B2,...,Bs)=(AB1,AB2,...,ABs)=(0,...,0)=0 必要性：AB=0，则 AB=A(B1,B2,...,Bs)=(AB1,AB2,...,ABs)=(0,...,0)=0 因此AB1=0,AB2=0,...ABs=0 则B...
线性代数种向量组及其线性组合的一道证明题。求解啊~~~
所以 α1.α2.α3 线性相关 (**)由 (*),(**) 知 α1能由α2.α3线性表示.假如 α4能由α1.α2.α3线性表示 因为(1) α1能由α2.α3线性表示 所以 α4能由α2.α3线性表示 这与 α2.α3.α4 线性无关 矛盾.所以 α4不能由α1.α2.α3线性表示 ...
呈惠奥乐：[答案] 记划去的一行是b 且 r(A) = r(B) r(A^T)=r(B^T) r(B^T,b^T) = r(B^T) 方程组 B^TX = b^T 有解 b^T 可由 B^T 的列向量线性表示 b可由B的行向量线性表示 即所划去的行能用其他行线性表示
鱼台县19545519945： 线性代数证明题设A为n阶矩阵,其每一列的元素之和都为常数a,m为正整数,证明:A的m次方的每一列元素之和也是一个常数,并求这个常数. - ？
呈惠奥乐：[答案] (11……11)*A=(aa……aa)=a(11……11) 则 (11……11)*A^m =(aa……aa)*A^(m-1) =a(11……11)*A^(m-1) =a^2(11……11)*A^(m-2) …… =a^m 所以11……11)*A^m=a^m 即A^m的每一列元素之和也是一个常数, 这个常数就是a^m
鱼台县19545519945： 线性代数证明题 设a为Ax=0的非零解,b为Ax=b(b不等于0)的解,证明a与b线性无关 - ？
呈惠奥乐：[答案] 证明:设r1,r2为任意非零常数. 则由题意可知: A(r1a)=0; A(r2b)=r2B; 所以A(r1a-r2b)=r2B 所以A(r1a-r2b)不可能等于0 如果a,b线性相关,则必然存在r1a-r2b=0,此时A(r1a-r2b)等于0,矛盾. 所以a,b线性无关
鱼台县19545519945： 求解一道线性代数的证明题.如题,设矩阵A与其对角矩阵相似,证明A的逆矩阵与对角矩阵相似. - ？
呈惠奥乐：[答案] 已知矩阵A与其对角矩阵相似 即存在可逆矩阵P,使得P^(-1)*A*P=对角阵B 上式等号两边求逆矩阵,得 (需要知道:乘积的逆等于因子分别求逆后反向相乘) P^(-1)*A^(-1)*P=对角阵B^(-1) 而对角阵B的逆矩阵仍然是对角阵,只不过其逆矩阵是原矩...
鱼台县19545519945： 线性代数证明题:如果存在正整数k使得A^k=0,则称A为幂零矩阵.证明幂零矩阵的特征值为0. - ？
呈惠奥乐：[答案] 设 a 是A的特征值. 则 a^k 是 A^k 的特征值 而 A^k=0,零矩阵的特征值只有0 所以 a^k = 0 所以 a = 0 所以 幂零矩阵的特征值只能为0
鱼台县19545519945： 线性代数的证明题:a+b模的平方+a - b模的平方=2(a模的平方+b模的平方),a、b均为向量.与平行四边形的对角线与边长关系有关 - ？
呈惠奥乐：[答案] (1)+ b = 5一样,从头= 2. 是:a 2 + b 2分配=(+ b)2个-2AB = 25-4 = 21; (A-B)2 = 2 + B 2-2AB = 21-4 = 17. (2)(+ y)的2 =,即:X 2 + Y毫米2 2 XY = A; -------------① (X-Y)2 = b时,即:X 2 + Y 2-2XY = b的.--------------② 然后:+②,太:(X 2 + Y 2)= +...
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呈惠奥乐：[答案] 证明 由于α1,α2,...αm是齐次线性方程组Ax=0的基础解系,故α1,α2,...αm线性无关,反证法,假设α1+β,α2+β...,αm+β,β线性相关,则存在不全为零的数k1,k2,..,km,k使得k1(α1+β)+ k2(α2+β)...+ km (αm+β)+k...
鱼台县19545519945： 设A,B为n阶矩阵,且A为对称阵,证明BTAB也是对称阵?线性代数的证明题! - ？
呈惠奥乐：[答案] A为对称阵,那么A^T=A(B^TAB)^T=B^TA^T(B^T)^T=B^TAB
鱼台县19545519945： 有道线性代数的证明题,设齐次线性方程组的系数矩阵的秩为r,未知量的个数为n,证明:该方程组的任意n—r个线性无关向量都是它的一个基础解系.能不... - ？
呈惠奥乐：[答案] 设AX=0是一个齐次方程组,A是一个m*n矩阵,设它的解空间为W, 把A看成是从n维向量空间到m维向量空间的线性映射,则dim(KerA)+dim(ImA)=n 而dim(ImA)=r(A),dim(KerA)=dim(W),则dim(W)=n-r(A)=n-r, 从而该方程组的任意n—r个线性无关...
鱼台县19545519945： 非常基本的线性代数证明题1.设a1,a2,...,an是一组n维向量,已知n维单位坐标向量e1,e2,...,en能由它们线性表示,证明a1,a2,...,an线性无关.2.设a1,a2,...an是... - ？
呈惠奥乐：[答案] 1.考虑向量组A={a1,a2,...,an}的秩:它由n个向量组成,所以R(A)=n.综合可知R(A)=n.A由n个向量组成,且秩为n,所以这n个向量线性无关. 2.假设它们线性无关,则向量组A={a1,a2,...an}的秩为n,所以是R^n的一组基(因为R^n的维数也是n),所以...
