线性变换和基变换
联系：
＊可以把基变换的过程看作将我们对另一个坐标系下的向量的误解，也就是在我们的坐标系中具有相同坐标的向量变换成另一个坐标系下真正想表示的向量，像极了线性变换
基变换
假设我们的坐标系的基向量是i和j
另一个坐标系用我们的语言表示是a=（2，1），b=（-1，1），用他们语言表示是a=（1，0），b=（0，1）
这一变换相当于从我们的网格变换到了他们的网格，而语言却从他们的语言变换到了我们的语言
也就是说
这一基变换矩阵，是用我们的语言表示他们的基向量
左边（xj，yj）为用他们坐标描述的向量，右边（xo，yo）为用我们坐标描述的相同向量
这一变换相当于从他们的网格变换到了我们的网格，而语言却从我们的语言变换到了他们的语言
运用A的逆矩阵
即用他们的语言表示我们的基向量
将我们坐标描述的向量通过逆矩阵转换为他们坐标描述的相同向量
在其他坐标系下的线性变换矩阵
首先举个例子
比如在我们的坐标系下
逆时针旋转90°
我们跟踪i和j，并且是用我们的语言表达的
那么在另一个坐标系中如何表示逆时针旋转90°呢？
既然我们知道用我们语言表示的旋转矩阵
不妨将他们的语言先转换为我们的语言
再乘上这个旋转矩阵
最后再将我们的语言转换为他们的语言，即乘上基变换的逆矩阵
比如之前的例子
在他们的坐标系里，用他们的语言表示了一个向量（-1，2）
乘上这个基变换矩阵，先转换成用我们语言，在我们坐标系下的相同向量（-4，1）
再左乘上用我们语言，在我们坐标系下的旋转矩阵
最后乘上基变换的逆矩阵，将用我们语言表示的向量转换为用他们语言，并且用他们坐标系表示的向量
因为（-1，2）可以用任意向量代替，左边三个矩阵就构成了在他们坐标系下的线性变换矩阵
通过计算可得，左边三个矩阵的结果如下
也就是说，我们将本来在我们坐标系下的旋转矩阵，用另一个语言来讲，就是这个结果，即在这个坐标系下的旋转矩阵表示形式
因此
每当你看到下面的表达式
中间的矩阵代表你所见到的一种线性变换
两侧的矩阵代表着一种转移，也就是视角上的转化
一整个表达式仍然代表着和M一样的线性变换，只不过是从他们的角度来看
以上为我对3b1b基变换视频的总结
线性变换与基变换是什么关系?
线性变换和基变换是两个不同的概念，但它们之间存在一定的关系。线性变换是指一个向量空间到另一个向量空间的映射，它满足两个性质：加法和标量乘法的封闭性。线性变换可以用矩阵表示，也可以用向量表示。在线性代数中，线性变换是非常重要的概念，因为它可以用来描述许多实际问题，如图像处理、信号处理等。
线性变换和基变换
＊可以把基变换的过程看作将我们对另一个坐标系下的向量的误解，也就是在我们的坐标系中具有相同坐标的向量变换成另一个坐标系下真正想表示的向量，像极了线性变换 基变换 假设我们的坐标系的基向量是i和j 另一个坐标系用我们的语言表示是a=（2，1），b=（-1，1），用他们语言表示是a=（1，...
【MIT线性代数 31~35】线性变换、基变换、左逆、右逆和伪逆
MIT线性代数31~35：线性变换、基变换、逆运算与伪逆线性变换是一种遵循特定规则的映射，如投影[公式] 属于线性变换，而平移[公式] 和求模[公式] 则非线性。旋转和翻转[公式] 仍保持线性性质。坐标表示中，若向量 [公式] 在基 [formula] 下的坐标为 [formula]，则其在基 [formula] 下的坐标可通...
线性变换T(x)=Ax,矩阵A左乘向量,那为何在基变换中,往往是T(e1。。en...
你应该优先把后面那种表示理解清楚，然后再看上面的特殊形式 比如说T: U->V是两个抽象的线性空间之间的映射，[u_1,...,u_m]是U的基，[v_1,...,v_n]是V的基 那么T[u_1,...,u_m]是[T(u_1),...,T(u_m)]的一个简单记法（注意，整个线性代数就是一套记号体系），从形式上看...
线性代数本质(9)--基变换
需要考虑时区差异。9.5 总结与洞察基变换不仅是坐标体系间的桥梁，更是数学中一种深层次的理解工具。它揭示了线性变换的灵活性和多面性，让我们明白，无论变换如何，变换后的本质信息始终如一，只是观察的角度不同。矩阵，这个看似复杂的工具，其实承载着基础数学的简洁之美。
线性代数学下的基变换与坐标变换怎么分清楚,怎么总弄混
基变换就是一组基到另外一组基的线性变换，用过渡矩阵表示 坐标变换就是确定基变换后，同一向量在不同基底下的坐标表示之间的关系 两者也是一一对应的
线性代数基变换是什么意思?
在线性代数中，基向量是用来描述向量空间的一组基本元素。当我们切换到不同的基底下时，向量的表示会发生改变，这就是基变换。而坐标变换则是描述了在同一基底下不同坐标系之间的转换关系。通常我们采用矩阵乘法的形式来进行坐标变换。具体公式如下：设有两个坐标系 O-xyz 和 O-xyz' ，其中 x...
为什么基变换是线性变换?
因为Tf(t)=a0-a0t^3+a1t-a1+a2t^2-a2t+a3t^3-a3t^2，把系数提出来；所以T1，T(t)，T(t^2)，T(t^3)就是基的线性变换为：T1=1-t^3 T(t)= -1+t T(t^2)= -t+t^2 T(t^3)= -t^2+t^3
线性变换的矩阵是左乘还是右乘?
坐标变换都不是教科书中定义的线性变换。基变换一一将二个不同基用过渡矩阵P将它们联系起来；已知α基和过渡矩阵P可求得β基。坐标变换——用二个不同基分别表示同一向量，它们的坐标是不同的。用过渡矩阵也可以将二组向量坐标联系起来。已知X坐标(属于α基)和过渡矩阵P可求得Y坐标(属于β基)。
线性代数学下的基变换与坐标变换怎么分清楚,怎么总弄混
基变换就是一组基到另外一组基的线性变换，用过渡矩阵表示 坐标变换就是确定基变换后，同一向量在不同基底下的坐标表示之间的关系 两者也是一一对应的
朱虾铝镁： ■ 高等代数中有基变换、坐标变换、线性变换的概念,它们三者有区别.①二组不同基之间的变换称为基变换,可用过渡矩阵P将二组基联系 (β1,β2)=(α1,α2)P;②同一个向量在二组基中的坐标不同,这二组坐标之间变换称为坐标变换,也可...
安康市13055659404： 线性代数学下的基变换与坐标变换怎么分清楚,怎么总弄混 - ？
朱虾铝镁： 基变换就是一组基到另外一组基的线性变换,用过渡矩阵表示 坐标变换就是确定基变换后,同一向量在不同基底下的坐标表示之间的关系 两者也是一一对应的
安康市13055659404： 线性代数中的线性变换 - ？
朱虾铝镁： 很简单,因为线性变换满足线性性质,所以零向量经过任何一个线性变换后都必然还是零向量. 推导过程:设f()为线性变换,那么 f(0向量)=f(0向量+0向量)=f(0向量)+f(0向量), 所以 f(0向量)=0向量.而平移就是将一个向量加上一个非零向量,所以零向量在变换下保持不变就说明此变换不是平移.附注:在线性代数课本中已经证明在取定线性空间中基的情况下,线性变换可以看作是向量与方阵的乘积.
安康市13055659404： 线性代数中的线性变换指什么？
朱虾铝镁： 线性变换是线性代数研究的一个对象,向量空间到自身的保运算的映射.例如,对任意线性空间V,位似σk:aka是V的线性变换,平移则不是V的线性变换,若a1,…,an是V的基,σ(aj)=a1ja1+…+anj(j=1,2,…,n),则称为σ关于基{a:}的矩阵.对线性变换的讨论可藉助矩阵实现.σ关于不同基的矩阵是相似的.Kerσ={a∈V|σ(a)=θ}(式中θ指零向量)称为σ的核,Imσ={σ(a)|a∈V}称为σ的象,是刻画σ的两个重要概念. 对于欧几里得空间,若σ关于标准正交基的矩阵是正交(对称)矩阵,则称σ为正交(对称)变换.正交变换具有保内积、保长、保角等性质,对称变换具有性质:〈σ(a),β〉=〈a,σ(β)〉.
安康市13055659404： 线性空间中的坐标变换和线性变换是什么关系啊 - ？
朱虾铝镁： 我手上的一本《矩阵论》中并没有坐标变换的准确定义.百度百科中有坐标变换在几何范畴的意义,其所述的平移、旋转等这些坐标变换应该属于特殊的线性变换(旋转变换就是一正交变换). 不过我想您所问的坐标变换应该与基变换有关.即...
安康市13055659404： 线性变换在基下的矩阵是怎么算的我只知道在基下的坐标,基下的矩阵是怎么来的?比如说:线性变换&在 基1( - 1.1.1) 基2(1.0. - 1) 基3(0.1.1)下的矩阵是1 0 1 ... - ？
朱虾铝镁：[答案] 设β1=(-1.1.1) T,β2=(1.0.-1)T β3=(0.1.1)Tε1=(1.0.0)T ,ε2=(0.1.0)T,ε3=(0.0.1)T线性变换&在在不同基下的矩阵是相似的,通过从一组基到另一组基的过渡矩阵实现.显然(β1,β2,β3)=(ε1,ε2,ε3)P其中P=-1 ...
安康市13055659404： 线性代数的线性变换 - ？
朱虾铝镁： 设v、w是两个线性空间.一个v至w的线性映射T,就称为v至w的线性变换. 线性变换必须满足任意的x,y∈v 及任意实数a,b,有 T(ax+by)=aT(x)+bT(y) 如恒等变换 I .v→v,对任意的x∈v,有 I(x)=x 因为 I(ax+by)=ax+by= a I(x)+b I(y) 满足 T(ax+by)=aT(x)...
安康市13055659404： 线性变换值域的基是什么意思? ？
朱虾铝镁： 设A是一个线性变换,它的值域A(V)是一个线性子空间,当然也就可以讨论A(V)的基.不过如果A不是可逆的,则A就会把线性无关的向量映成线性相关的.故对V的一个基x1,x2,...,xn,不能保证Ax1,Ax2,...,Axn一定是值域A(V)的基,因为它们可能是线性相关的.用维数的语言,这时A(V)的维数全部
安康市13055659404： 如何看待线性空间和线性变换的重要性 - ？
朱虾铝镁： 1. 从应用的角度考虑,线性空间与线性变换是处理类似问题的一个统一模式.比如,对函数的求导数是一个线性变换,平面上向量的旋转是一个线性变换,等等. 2. 向量空间的本质是它的两个运算及8条运算规则,任何其它的概念与性质都是由...
安康市13055659404： 怎样求线性变换在基下的矩阵 - ？
朱虾铝镁：[答案] 求线性变换在基下的矩阵 把这组基向量在线性变换下的像还用这组基线性表示,以基的像在这组基下的坐标为列向量构成的矩阵就是线性变换在这组基下的矩阵. 当然,有时已知线性变换在某组基下的矩阵,要求在令一组基下的矩阵,那么可以利用...
