东洋镇小学六年级语数联赛数学试题
17:3分之119＝3：7
因为2号机器人，去掉一个最高分和一个最低分，平均得分9.58分
又如果去掉最低分，平均得分为9.66分
所以最高分为9.66*4-9.58*3=9.9
又因为如果去掉最高分，平均得分为9.46分
所以最低分为9.46*4-9.58*3=9.1
所以5个得分平均分为(9.58*3+9.9+9.1)/5=9.548
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●竞赛之窗●
2000年全国初中数学联赛
一、选择题（满分42分，每小题7分）
1．计算 - ．
（A）1 （B）5 （C）25 （D）5
2．若 ＝ ＝ ，则 的值是（ ）．
（A）92 （B）94 （C）5 （D）6
3．设a、b是不相等的任意正数，又x= ，y＝ ．则x、y这两个数一定（ ）．
（A）都不大于2（B）都不小于2
（C）至少有一个大于2（D）至少有一个小于2
4．正整数n小于100，并且满足等式[ ]＋[ ]＋[ ]＝n，其中〔x〕表示不超过x的最大整数．这样的正整数n有（ ）个．
（A）2 （B）3 （C）12 （D）16
5．已知一个梯形的四条边的长分别为1、2、3、4．则此梯形的面积等于（ ）．
（A）4 （B）6 （C）82 （D）
6．已知ABCD是一个半径为R的圆内接四边形，AB＝12，CD＝6，分别延长AB和DC，它们相交于P，且BP＝8，∠APD＝60°．则R等于（ ）．
（A）10 （B）221（C）122（D）14
二、填空题（满分28分，每小题7分）
1．a、b是正数，并且抛物线y＝x2＋ax＋2b和y＝x2＋2bx＋a都与x轴有公共点．则a2＋b2的最小值是______．
2．某果品商店进行组合销售，甲种搭配：2千克A水果，4千克B水果；乙种搭配：3千克A水果，8千克B水果，1千克C水果；丙种搭配：2千克A水果，6千克B水果，1千克C水果．已知A水果每千克2元，B水果每千克1.2元，C水果每千克10元．某天该商店销售这三种搭配共得441.2元，其中A水果的销售额为116元．则C水果的销售额为 元．
3．实数x、y满足x≥y≥1和2x2－xy－5x＋y＋4＝0.则x＋y＝________ ．
4．设正�ABC的边长为2，M是AB边上的中点，P是BC边上的任意一点，PA＋PM的最大值和最小值分别记为s和t．则s2－t2＝________．
三、（满分20分）设p是实数，二次函数y＝x2－2px－p的图象与x轴有两个不同的交点A（x1，0），B（x2，0）．
（1）求证：2px1＋x ＋3p＞0；
（2）若A、B两点之间的距离不超过｜2p－3｜，求p的最大值．
图1S）〗
四、（满分25分）如图1，EFGH是正方形ABCD的内接四边形，∠BEG与∠CFH都是锐角．已知EG＝3，FH＝4，四边形EFGH的面积为5．求正方形ABCD的面积
图1
五、（满分25分）设关于x的二次方程
（k2－6k＋8）x2＋（2k2－6k－4）x＋k2＝4
的两根都是整数．求满足条件的所有实数k的值．
参考答案
一、1．（C）．
∵14＋6 ＝（3＋ ）2，14－6 ＝（3－ ）2，
∴原式＝ －
＝（3＋5）－（3－5）＝25．
2．（A）．
由已知条件知x≠0，y≠0．把已知等式变形并利用等比消去y，得25x/75y＝15y/(30x－75y)＝(6x－15y)/x＝[25x＋15y＋（6x－15y）]/[75y＋（30x－75y）＋x]＝31x/31x＝1．
则 x＝3y．
故(4x2－5xy＋6y2)/(x2－2xy＋3y2)＝(36y2－15y2＋6y2)/9y2－6y2+3y2＝27y2/6y2＝9/2．
3．（C）．
设a＝1，b＝3，得x＝10，y＝23．从而否定（A）及（B）．设a＝3，b＝4，得x＝1
73，y＝104．于是否定（D），故只有（C）正确．
4．（D）．
由n/2＋n/3＋n/6＝n，以及若x不是整数，则�〔x〕＜x�知，2｜n，3｜n，6｜n，即n是6的倍数．因此，小于100的这样的正整数有1006＝16个．
5．（D）．
以1、2、3、4作为边的梯形只有以下六种可能（1）以1、2为底；（2）以1、3为底；（3）以1、4为底；（4）以2、3为底；（5）以2、4为底；（6）以3、4为底．易知只有（3）才能构成梯形，其他都不能构成梯形．
如图2，设在梯形ABCD中，AB＝3，BC＝4，CD＝2，DA＝1，过A作AH⊥BC于H，作AE‖DC交BC于E，则△ABE等腰三角形．由12AH·BE＝S△ABE�＝1/2AE 得AH＝ ,则S梯形ABCD�＝1/2（1＋4）× ＝
6．（B）．
由切割线定理得PB·PA＝PC·PD，有 8×20＝PC（PC＋6）．解得PC＝10．
如图3，连结AC．在�PAC中，由PA＝2PC，∠APC＝60°，得∠PCA＝90°．从而AD是圆的直径．由勾股定理，得AD2＝AC2＋CD2＝（PA2－PC2）＋CD2＝202－102＋62＝336．
图2 图3
∴R＝1/2AD＝2 ．
二、1．20．
由题设知a2－8b≥0，4b2－4a≥0．则a4≥64b4≥64a，∴a≥4，b2≥a≥4．∴a2＋b2≥20．又当a＝4，b＝2时，抛物线y＝x2＋ax＋2b和y＝x2＋2bx＋a都与x轴有公共点，则a2＋b2的最小值是20．
2．150．
设该天卖出甲种、乙种、丙种水果分别为x、y、z套．依题意有 得31（y＋z）＝465，故y＋z＝15．
所以，共卖出C水果15千克，C水果的销售额为15×10＝150（元）．
3．4．
由题设等式知2x2－5x＋4＝y（x－1）≤x（x－1），有x2－4x＋4≤0，即（x－2）2≤0．从而，x＝2．代入已知等式得y＝2，故x＋y＝4．
4．4 ．
先求s．∵PA≤AC，PM≤CM，∴PA＋PM≤CA＋CM＝2＋ ．
图4
当点P为顶点C时，等号成立．则s＝2+ ．
再求t．如图4，作正�△A'BC．设M'为A'B的中点，则△PBM≌�△PBM'．
∴PM＝PM'．PA＋PM＝PA＋PM'≥AM'．连结CM'，则∠ACM'＝90°．∴AM'＝AC2＋（CM'）2＝4＋3＝7．∴t＝7．故s2－t2＝（2＋3）2－7＝43
三、（1）由题设知Δ＝（－2p）2－4（－p）＝4p2＋4p＞0，x －2px2－p＝0．∴2px1＋x ＋3p ＝2px�1＋2px�2＋p＋3p
＝2p（x1＋x2）＋4p ＝4p2＋4p＞0．
（2）∵AB＝｜x2－x1｜＝ = �∴ ．有4p2＋4p≤4p2－12p＋9．
∴p≤9/16． 又当p＝9/16时满足题意，故p的最大值为9/16．
图5
四、如图5，在正方形ABCD中，过E、F、G、H分别作对边的
垂线，得矩形PQRT．设ABCD的边长为a，PQ＝b，QR＝c，由勾股定理得b＝ ，c＝ ．由S△AEH＝S△TEH，S△BEF＝S△PEF，S△CFG＝S△QFG，S△DGH＝S△RGH�，得S正方形ABCD＋S矩形PQRT＝2S四边形EFGH�．则a2＋bc＝2.5．a2＋ ＝10，
有5a2＝44，a2＝445．即S正方形ABCD�＝44/5．
五、原方程可化为
（k－4）（k－2）x2＋（2k2－6k－4）x＋（k－2）（k＋2）＝0，
〔（k－4）x＋（k－2）〕〔（k－2）x＋（k＋2）〕＝0，
∵（k－4）（k－2）≠0，∴x1＝－(k－2)/(k－4)＝－1－2/(k－4)，
x2＝－(k＋2)/(k－2)＝－1－4/(k－2)．
∴k－4＝－2/(x1＋1)，k－2＝－2/(x2＋1)．（x1≠－1，x2≠－1）消去k，得
x1x2＋3x1＋2＝0，∴x1（x2＋3）＝－2．由于x1、x2都是整数，
∴x1＝－2，x2＋3＝1； x1＝1，x2＋3＝－2； x1＝2，x2＋3＝－1．
∴x1＝－2，x2＝－2； x1＝1，x2＝－5； x1＝2，x2＝－4．∴k＝6，3，10/3．经检验，k＝6，3，10/3满足题意
饿
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