东洋镇小学六年级语数联赛数学试题
17:3分之119=3:7
因为2号机器人,去掉一个最高分和一个最低分,平均得分9.58分
又如果去掉最低分,平均得分为9.66分
所以最高分为9.66*4-9.58*3=9.9
又因为如果去掉最高分,平均得分为9.46分
所以最低分为9.46*4-9.58*3=9.1
所以5个得分平均分为(9.58*3+9.9+9.1)/5=9.548
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●竞赛之窗●
2000年全国初中数学联赛
一、选择题(满分42分,每小题7分)
1.计算 - .
(A)1 (B)5 (C)25 (D)5
2.若 = = ,则 的值是( ).
(A)92 (B)94 (C)5 (D)6
3.设a、b是不相等的任意正数,又x= ,y= .则x、y这两个数一定( ).
(A)都不大于2(B)都不小于2
(C)至少有一个大于2(D)至少有一个小于2
4.正整数n小于100,并且满足等式[ ]+[ ]+[ ]=n,其中〔x〕表示不超过x的最大整数.这样的正整数n有( )个.
(A)2 (B)3 (C)12 (D)16
5.已知一个梯形的四条边的长分别为1、2、3、4.则此梯形的面积等于( ).
(A)4 (B)6 (C)82 (D)
6.已知ABCD是一个半径为R的圆内接四边形,AB=12,CD=6,分别延长AB和DC,它们相交于P,且BP=8,∠APD=60°.则R等于( ).
(A)10 (B)221(C)122(D)14
二、填空题(满分28分,每小题7分)
1.a、b是正数,并且抛物线y=x2+ax+2b和y=x2+2bx+a都与x轴有公共点.则a2+b2的最小值是______.
2.某果品商店进行组合销售,甲种搭配:2千克A水果,4千克B水果;乙种搭配:3千克A水果,8千克B水果,1千克C水果;丙种搭配:2千克A水果,6千克B水果,1千克C水果.已知A水果每千克2元,B水果每千克1.2元,C水果每千克10元.某天该商店销售这三种搭配共得441.2元,其中A水果的销售额为116元.则C水果的销售额为 元.
3.实数x、y满足x≥y≥1和2x2-xy-5x+y+4=0.则x+y=________ .
4.设正�ABC的边长为2,M是AB边上的中点,P是BC边上的任意一点,PA+PM的最大值和最小值分别记为s和t.则s2-t2=________.
三、(满分20分)设p是实数,二次函数y=x2-2px-p的图象与x轴有两个不同的交点A(x1,0),B(x2,0).
(1)求证:2px1+x +3p>0;
(2)若A、B两点之间的距离不超过|2p-3|,求p的最大值.
图1S)〗
四、(满分25分)如图1,EFGH是正方形ABCD的内接四边形,∠BEG与∠CFH都是锐角.已知EG=3,FH=4,四边形EFGH的面积为5.求正方形ABCD的面积
图1
五、(满分25分)设关于x的二次方程
(k2-6k+8)x2+(2k2-6k-4)x+k2=4
的两根都是整数.求满足条件的所有实数k的值.
参考答案
一、1.(C).
∵14+6 =(3+ )2,14-6 =(3- )2,
∴原式= -
=(3+5)-(3-5)=25.
2.(A).
由已知条件知x≠0,y≠0.把已知等式变形并利用等比消去y,得25x/75y=15y/(30x-75y)=(6x-15y)/x=[25x+15y+(6x-15y)]/[75y+(30x-75y)+x]=31x/31x=1.
则 x=3y.
故(4x2-5xy+6y2)/(x2-2xy+3y2)=(36y2-15y2+6y2)/9y2-6y2+3y2=27y2/6y2=9/2.
3.(C).
设a=1,b=3,得x=10,y=23.从而否定(A)及(B).设a=3,b=4,得x=1
73,y=104.于是否定(D),故只有(C)正确.
4.(D).
由n/2+n/3+n/6=n,以及若x不是整数,则�〔x〕<x�知,2|n,3|n,6|n,即n是6的倍数.因此,小于100的这样的正整数有1006=16个.
5.(D).
以1、2、3、4作为边的梯形只有以下六种可能(1)以1、2为底;(2)以1、3为底;(3)以1、4为底;(4)以2、3为底;(5)以2、4为底;(6)以3、4为底.易知只有(3)才能构成梯形,其他都不能构成梯形.
如图2,设在梯形ABCD中,AB=3,BC=4,CD=2,DA=1,过A作AH⊥BC于H,作AE‖DC交BC于E,则△ABE等腰三角形.由12AH·BE=S△ABE�=1/2AE 得AH= ,则S梯形ABCD�=1/2(1+4)× =
6.(B).
由切割线定理得PB·PA=PC·PD,有 8×20=PC(PC+6).解得PC=10.
如图3,连结AC.在�PAC中,由PA=2PC,∠APC=60°,得∠PCA=90°.从而AD是圆的直径.由勾股定理,得AD2=AC2+CD2=(PA2-PC2)+CD2=202-102+62=336.
图2 图3
∴R=1/2AD=2 .
二、1.20.
由题设知a2-8b≥0,4b2-4a≥0.则a4≥64b4≥64a,∴a≥4,b2≥a≥4.∴a2+b2≥20.又当a=4,b=2时,抛物线y=x2+ax+2b和y=x2+2bx+a都与x轴有公共点,则a2+b2的最小值是20.
2.150.
设该天卖出甲种、乙种、丙种水果分别为x、y、z套.依题意有 得31(y+z)=465,故y+z=15.
所以,共卖出C水果15千克,C水果的销售额为15×10=150(元).
3.4.
由题设等式知2x2-5x+4=y(x-1)≤x(x-1),有x2-4x+4≤0,即(x-2)2≤0.从而,x=2.代入已知等式得y=2,故x+y=4.
4.4 .
先求s.∵PA≤AC,PM≤CM,∴PA+PM≤CA+CM=2+ .
图4
当点P为顶点C时,等号成立.则s=2+ .
再求t.如图4,作正�△A'BC.设M'为A'B的中点,则△PBM≌�△PBM'.
∴PM=PM'.PA+PM=PA+PM'≥AM'.连结CM',则∠ACM'=90°.∴AM'=AC2+(CM')2=4+3=7.∴t=7.故s2-t2=(2+3)2-7=43
三、(1)由题设知Δ=(-2p)2-4(-p)=4p2+4p>0,x -2px2-p=0.∴2px1+x +3p =2px�1+2px�2+p+3p
=2p(x1+x2)+4p =4p2+4p>0.
(2)∵AB=|x2-x1|= = �∴ .有4p2+4p≤4p2-12p+9.
∴p≤9/16. 又当p=9/16时满足题意,故p的最大值为9/16.
图5
四、如图5,在正方形ABCD中,过E、F、G、H分别作对边的
垂线,得矩形PQRT.设ABCD的边长为a,PQ=b,QR=c,由勾股定理得b= ,c= .由S△AEH=S△TEH,S△BEF=S△PEF,S△CFG=S△QFG,S△DGH=S△RGH�,得S正方形ABCD+S矩形PQRT=2S四边形EFGH�.则a2+bc=2.5.a2+ =10,
有5a2=44,a2=445.即S正方形ABCD�=44/5.
五、原方程可化为
(k-4)(k-2)x2+(2k2-6k-4)x+(k-2)(k+2)=0,
〔(k-4)x+(k-2)〕〔(k-2)x+(k+2)〕=0,
∵(k-4)(k-2)≠0,∴x1=-(k-2)/(k-4)=-1-2/(k-4),
x2=-(k+2)/(k-2)=-1-4/(k-2).
∴k-4=-2/(x1+1),k-2=-2/(x2+1).(x1≠-1,x2≠-1)消去k,得
x1x2+3x1+2=0,∴x1(x2+3)=-2.由于x1、x2都是整数,
∴x1=-2,x2+3=1; x1=1,x2+3=-2; x1=2,x2+3=-1.
∴x1=-2,x2=-2; x1=1,x2=-5; x1=2,x2=-4.∴k=6,3,10/3.经检验,k=6,3,10/3满足题意
饿
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