数学几何证明题技巧

数学的几何证明题如何学好？~

很多几何证明题的思路往往是填加辅助线，分析已知、求证与图形，探索证明。
证明题有三种思考方式
● 正向思维
对于一般简单的题目，我们正向思考，轻而易举可以做出。这里就不详细讲述了。

● 逆向思维
顾名思义，就是从相反的方向思考问题。在初中数学中，逆向思维是非常重要的思维方式，在证明题中体现的更加明显。
同学们认真读完一道题的题干后，不知道从何入手，建议你从结论出发。
例如：
可以有这样的思考过程：要证明某两条边相等，那么结合图形可以看出，只要证出某两个三角形相等即可；要证三角形全等，结合所给的条件，看还缺少什么条件需要证明，证明这个条件又需要怎样做辅助线，这样思考下去…
这样我们就找到了解题的思路，然后把过程正着写出来就可以了。

● 正逆结合
对于从结论很难分析出思路的题目，可以结合结论和已知条件认真的分析。
初中数学中，一般所给的已知条件都是解题过程中要用到的，所以可以从已知条件中寻找思路，比如给我们三角形某边中点，我们就要想到是否要连出中位线，或者是否要用到中点倍长法。
给我们梯形，我们就要想到是否要做高，或平移腰，或平移对角线，或补形等等。正逆结合，战无不胜。


证明题要用到哪些原理
要掌握初中数学几何证明题技巧，熟练运用和记忆如下原理是关键。
下面归类一下，多做练习，熟能生巧，遇到几何证明题能想到采用哪一类型原理来解决问题。
一、证明两线段相等
1.两全等三角形中对应边相等。
2.同一三角形中等角对等边。
3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。
4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。
5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。
6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。
7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。
8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。
9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。
10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。
11.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。
12.两圆的内（外）公切线的长相等。
13.等于同一线段的两条线段相等。
二、证明两个角相等
1.两全等三角形的对应角相等。
2.同一三角形中等边对等角。
3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。
4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。
5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。
6.同圆（或圆）中，等弦（或弧）所对的圆心角相等，圆周角相等，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。
7.圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
8.相似三角形的对应角相等。
9.圆的内接四边形的外角等于内对角。
10.等于同一角的两个角相等。
三、证明两条直线互相垂直
1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。
2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角。
3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。
4.邻补角的平分线互相垂直。
5.一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条。
6.两条直线相交成直角则两直线垂直。
7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。
8.利用勾股定理的逆定理。
9.利用菱形的对角线互相垂直。
10.在圆中平分弦（或弧）的直径垂直于弦。
11.利用半圆上的圆周角是直角。
四、证明两直线平行
1.垂直于同一直线的各直线平行。
2.同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。
3.平行四边形的对边平行。
4.三角形的中位线平行于第三边。
5.梯形的中位线平行于两底。
6.平行于同一直线的两直线平行。
7.一条直线截三角形的两边（或延长线）所得的线段对应成比例，则这条直线平行于第三边。
五、证明线段的和差倍分
1.作两条线段的和，证明与第三条线段相等。
2.在第三条线段上截取一段等于第一条线段，证明余下部分等于第二条线段。
3.延长短线段为其二倍，再证明它与较长的线段相等。
4.取长线段的中点，再证其一半等于短线段。
5.利用一些定理（三角形的中位线、含30度的直角三角形、直角三角形斜边上的中线、三角形的重心、相似三角形的性质等）。
六、证明角的和差倍分
1.与证明线段的和、差、倍、分思路相同。
2.利用角平分线的定义。
3.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
七、证明线段不等
1.同一三角形中，大角对大边。
2.垂线段最短。
3.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
4.在两个三角形中有两边分别相等而夹角不等，则夹角大的第三边大。
5.同圆或等圆中，弧大弦大，弦心距小。
6.全量大于它的任何一部分。
八、证明两角的不等
1.同一三角形中，大边对大角。
2.三角形的外角大于和它不相邻的任一内角。
3.在两个三角形中有两边分别相等，第三边不等，第三边大的，两边的夹角也大。
4.同圆或等圆中，弧大则圆周角、圆心角大。
5.全量大于它的任何一部分。
九、证明比例式或等积式
1.利用相似三角形对应线段成比例。
2.利用内外角平分线定理。
3.平行线截线段成比例。
4.直角三角形中的比例中项定理即射影定理。
5.与圆有关的比例定理---相交弦定理、切割线定理及其推论。
6.利用比利式或等积式化得。
十、证明四点共圆
1.对角互补的四边形的顶点共圆。
2.外角等于内对角的四边形内接于圆。
3.同底边等顶角的三角形的顶点共圆（顶角在底边的同侧）。
4.同斜边的直角三角形的顶点共圆。
5.到顶点距离相等的各点共圆。

初二数学几何证明题的技巧，所谓技巧，就是把公式定理性质用得非常熟练

1.按定义添辅助线：如证明二直线垂直可延长使它们,相交后证交角为90°;证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍;证角的倍半关系也可类似添辅助线。
2.按基本图形添辅助线：每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图”!这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。举例如下：
(1)平行线是个基本图形：当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线
(2)等腰三角形是个简单的基本图形：当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。出现角平分线与平行线组合时可延行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。
(3)等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形:出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线;出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。
(4)直角三角形斜边上中线基本图形出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。
(5)三角形中位线基本图形几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线，当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形;当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。
(6)全等三角形：全等三角形有轴对称形，中心对称形，旋转形与平移形等;如果出现两条相等线段或两个档相等角关于某一直线成轴对称就可以添加轴对称形全等三角形：或添对称轴，或将三角形沿对称轴翻转。当几何问题中出现一组或两组相等线段位于一组对顶角两边且成一直线时可添加中心对称形全等三角形加以证明，添加方法是将四个端点两两连结或过二端点添平行线
(7)相似三角形：相似三角形有平行线型(带平行线的相似三角形)，相交线型，旋转型;当出现相比线段重叠在一直线上时(中点可看成比为1)可添加平行线得相似三角形。若平行线过端点添则可以分点或另一端点的线段为平行方向，这类题目中往往有多种浅线方法。
(8)特殊角直角三角形当出现30，45，60，135，150度特殊角时可添加特殊角直角三角形，利用45角直角三角形三边比为1：1：√2;30度角直角三角形三边比为1：2：√3进行证明
(9)半圆上的圆周角出现直径与半圆上的点，添90度的圆周角出现90度的圆周角则添它所对弦---直径;平面几何中总共只有二十多个基本图形就像房子不外有一砧，瓦，水泥，石灰，木等组成一样。

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阿荣旗17840425841： 几何证明题有什么好的解题方法吗? - ？
南狗佳元： 1. 几何证明是平面几何中的一个重要问题,它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用.几何证明有两种基本类型:一是平面图形的数量关系;二是有关平面图形的位置关系.这两类问题常常可以相互转化,如证明平行关系可转化为证明角等或角...

阿荣旗17840425841： 初中几何证明有哪些方法? - ？
南狗佳元： 对于证明题,有三种思考方式: (1)正向思维.对于一般简单的题目,我们正向思考,轻而易举可以做出,这里就不详细讲述了. (2)逆向思维.顾名思义,就是从相反的方向思考问题.运用逆向思维解题,能使学生从不同角度,不...

阿荣旗17840425841： 几何证明题到底该怎样做 - ？
南狗佳元： 答:几何证明题和数学的证明题基本上大同小异.数学的函数或者方程证明证明过程,左式=右式;即证明完毕,中间过程无非是应用公式和定义.几何的证明实际上就是这个过程,只不过把图形、线段、角等作为代数一个量,通过点、线、面...

阿荣旗17840425841： 做初中数学几何证明题的时候有没有什么好方法?还有应注意哪些? - ？
南狗佳元： 技巧:1,审题仔细,看清有哪些条件,要求些什么 2,在图中用简明符号标出已知的角和边 3,重点看中垂线,三角形的“三线合一”(即角平分线,垂线,中线) 4,在某些情况下(证明的目标明确),可以根据需证明的对象反着推回来 注意:1,认真的审题,再认真的审题 2,(很多出题人用这些东西来坑害我们善良的考生)第一问题干中的添加的已知条件千万不能一时图方便再第二题中用 3,(这是最重要的,想考好,这点是基础)基础要踏实,上课认真,要淡泊名利——理科学好的关键 4,在标条件时,在草稿纸上计算时,在答题时,别图快,否则你或改卷子的老师都看不清楚 这是我答题时的方法,望你采纳

阿荣旗17840425841： 如何迅速掌握初中一年级数学几何证明题 - ？
南狗佳元： 1.首先你要搞熟公理(同位角相等,两直线平行) 2.熟能生巧(多做类型题) 3.多问老师题(老师会多关注你有!) 4.你可以买一本辅导书,平时可以看看人家的答题步骤.或者看看你们订的练习册上的题. 附:我也初一...

阿荣旗17840425841： 有关高中数学几何证明题的诀窍具体是高一必修2内容的 - ？
南狗佳元：[答案] 第一是分析题目给出的条件,题目给出的每一个条件都对解题有作用的,第二熟悉和能灵活运用每一条定理和定律.第三是题解过程中的辅助线的作用很大,第四要发挥自己的空间想象能力.我就是运用这些知识解高中数学几何一般是120+

阿荣旗17840425841： 几何证明题的一些方法 - ？
南狗佳元： 其实数学的证明题并不是很难,关键是信心与方法. (1)必须要掌握最基本的证明方法与常用方法.例如,三角形全等的证明与书写,勾股定理的证明与运用,在几何题中运用方程与函数的方法等等. (2)就是善于做辅助线,要掌握常用辅助线...

阿荣旗17840425841： 初中做几何题证明的方法和诀窍.自己总结归纳,要简明扼要...必须地.. - ？
南狗佳元：[答案] 这个,我是初一的,但是我不知道该怎么说. (1)一般的话任何根据一些定理所得出的结论需要先说: 因为.(定理) 所以.(结论) (2)而一些根据已知而通过计算求未知的话,则在有已知的两个或几个已知条件下直接写(写所以.)就行了 (3) ...

阿荣旗17840425841： 做几何证明题时,怎样快速准确的应用辅助线来构造图形去证明?一些好的方法,做辅助线的应用. - ？
南狗佳元：[答案] 如果是初中几何的话,证明题其实比起其他的不算难,证明无非就是运用书上的定理(老师一定要求要背吧,我记得当年我初二的时候那几条背的滚瓜烂熟的)熟记很重要,特别是刚学几何的时候一定要把这个基础打好.我们老师要...

阿荣旗17840425841： 几何证明题的常用方法 - ？
南狗佳元： 证明两线段相等1.两全等三角形中对应边相等.2.同一三角形中等角对等边.3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边.4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等.5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等.6.线段垂直平分线...