三角形的三边a,b,c成等比数列，公比为q，且a为三角形的最小边长，求q的取值范围和三角形周长的取值范围

三角形的三边a,b,c成等比数列，公比为q,且a为三角形的最小边长，求q的取值范围~

3边为a,aq,aq^2 a+aq>aq^2 a-aq<aq^2 所以q属于（二分之（-1加根号5），二分之（1+根号5））

不妨令q>=1
a<b<c, c为最大边
由c<a+b
得q^2a<a+qa
q^2-q-1<0
(1-√5)/2<q<(1+√5)/2,
1<q<(1+√5)/2
当q<1时，同理可得：(√5-1)/2<q<1
因此综合得(√5-1)/2<q<(√5+1)/2

分三种情况讨论
第一：q=1,那么a=b=c，则此三角形为等边三角形，符合题意
第二：0<q<1，那么，b=aq，c=aq^2,那么a>b>c,不符合题意中的a为最小边长的的条件
第三：q>1,那么，b=aq，c=aq^2,a<b<c符合题意。三角形构成条件是两短边长只和大于最长边边长，所有有以下关系式a＋b>c，也就是，a+aq>aq^2,最终的结果是解不等式1+q>q^2,解得q<1/2+√5/2
纵上所述1≤q<1/2+√5/2。周长的取值范围为a+b+c=a(1+q+q^2),带入q的定义域，等到周长的取值范围为3a≤周长<(3+√5)a
此外以上解法是在欧几里德几何中的解法，至于在非欧几何（罗氏几何和黎曼几何）中的情况另请高人指点！
注意：
其它两位的答案是(√5-1)/2<q<(√5+1)/2，其实q是不能小于1的，因为题意说a是等比数列的第一个项，而且a也是最短的，所以若公比q小于1的话，b、c就会比a还小了，不符合题中所说的a是最短的条件了，唯有公比q不小于1（(√5-1)/2是小于1的）！

将题目分成两部分：
1.若三边a,b,c成等比数列，求公比q的范围
2.若三边成等比数列，最小边为a，求三角形周长l的范围

解： 1) 设b=aq,c=aq^2
则a,aq,aq^2为三边
而我们容易知道aq永远为长度为中间的那个边。
所以必须满足两个条件 a+aq>aq^2, aq+aq^2>a ==>q^2-q-1<0 ,q^2+q-1>0
隐含条件q>0 所以(√5-1)/2<q<(√5+1)/2 (解方程即可)
2)周长=a+aq+aq^2 q>=1 =a*(1+q+q^2)
根据我们1)中的结果q<(√5+1)/2
所以q^2<(√5+3)/2
所以1+q+q^2<3+√5
而q>=1 所以3<=l<=3+√5

1) 设b=aq,c=aq^2
则a,aq,aq^2为三边
而我们容易知道aq永远为长度为中间的那个边。
所以必须满足两个条件 a+aq>aq^2, aq+aq^2>a ==>q^2-q-1<0 ,q^2+q-1>0
隐含条件q>0 所以(√5-1)/2<q<(√5+1)/2 (

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宽甸满族自治县17756315967： 三角形ABC的三边a,b,c成等比数列,则角B的取值范围 - ？
费琦风湿： b^2=ac COSB=(a^2+c^2-b^2)/2ac 由均值不等式(a^2+c^2-ac)/2ac大于等于(2ac-ac)/2ac=1/2 设a小于等于b小于等于c 因为三角形 所以c-a<b a^2+c^2-ac=(a-c)^2+ac<b^2+ac=2ac 所以COSB<1 所以0<B<60

宽甸满族自治县17756315967： 在三角形中,若三边a,b,c成等比数列,求公比q的取值范围 - ？
费琦风湿：[答案] 三角形边长恒为正,q>0 b=aq c=aq² a+b>c b+c>a a+c>b (1) a+b>c a+aq>aq² q²-q-1(√5 -1)/2或qb a+aq²>aq q²-q+1>0,不等式恒成立,q取任意实数. 综上,得(√5-1)/2

宽甸满族自治县17756315967： 设三角形三边a.b.c.成等比数列,则公比q取值范围是 - ？
费琦风湿：[答案] 令a=bq=cq^2,(b=cq);(1)假设q>=1;c+b>a;c+cq>=cq^2;q^2-q-10;q(1-根5)/2>0;即:0解析看不懂?免费查看同类题视频解析查看解答

宽甸满族自治县17756315967： 三角形ABC中,三边a,b,c成等比数列,求角B范围 - ？
费琦风湿： a,b,c成等比数列 那么就有b²=ac a²+c²≥2ac均值不等式 cosB=(a²+c²-b²)/(2ac)≥(2ac-b²)/(2ac)=(2b²-b²)/2b²=1/2 所以0<cosB≤1/2 那么π/3≤B<π/2 因为余弦函数在第一象限是减函数

宽甸满族自治县17756315967： 在三角形ABC中,三边a,b,c成等比数列,求证:0°<B≤60° - ？
费琦风湿： a、b、c成等比数列,所以a:b=b:c b²=ac b²=a²+c²-2accosB a²+c²=ac+2accosB 假设B>60°,因为B为三角形内角,所以cosB2accosBa²+c²a²+c²-2ac(a-c)²显然结论不成立 所以0°

宽甸满族自治县17756315967： △ABC的三边a,b,c成等比数列,则角B的范围是______. - ？
费琦风湿：[答案] 由题意知:a,b,c成等比数列, ∴b2=ac, 又∵a,b,c是三角形的三边,不妨设a≤b≤c, 由余弦定理得cosB= a2+c2−b2 2ac= a2+c2−ac 2ac≥ 2ac−ac 2ac= 1 2 故有0
宽甸满族自治县17756315967： 在三角形ABC中,已知三边a,b,c 成等比数列,且a=2bcosc,判断三角形的形状 - ？
费琦风湿：[答案] 题目a=2bcosc写错了吧,是a=2bcosC才对.因为a,b,c 成等比数列,所以有b^2=ac,根据余弦定理cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab),则a=2bcosC=a=2b(a^2+b^2-c^2)/(2ab)=(a^2+b^2-c^2)/a,化简得b^2=c^2,所以b=c,代入b^2=ac得b=a.即a=...

宽甸满族自治县17756315967： 在△ABC中,若三边a、b、c成等比数列,求公比的取值范围? - ？
费琦风湿：[答案] 三边a、b、c成等比数列,即ac=b²公比q=b/a=c/b首先q>0(1)当q=1时,三角形为等边三角形,(2)当q>1时,c>b>a,需要满足a+b>c,即(a/c)+(b/c)>11/q²+1/q>11+q>q²q²-q-1<0∴1
宽甸满族自治县17756315967： 在三角形ABC中,角 A,B,C成等比数列或成等差数列分别可以得出什么结论? - ？
费琦风湿： 等差能得到的结论是B=60度; 因为A+B+C=180度,A,B,C成等差,则A+C=2B;所以3B=180度,所以:B=60度;等比:只能得到B≦60度;(所以角度成等比是很少出现的) AC=B²,又A+C=180-B 由基本不等式:A+C≧2√AC=2B, 即:180-B≧2B,得:B≦60 如果是既等差又等比,则得到的结论是该三角形是等边三角形.希望能帮到你,如果不懂,请Hi我,祝学习进步!

宽甸满族自治县17756315967： 若三角形ABC三边成等差数列也成等比数列 分别求角B范围 等差时 .. 等比时.... - ？
费琦风湿： 设三边为a-b、a、a+b(等差,差为b),因为又等比,所以a/(a-b)=(a+b)/a,所以(a+b)(a-b)=a^2,所以a^2-b^2=a^2,b=0,为等边三角形.角为60度.