正方形ABCD内接于圆内，P是劣弧CD上一动点，PA与BD交于点M，PB与AC交于点N，设∠MAN为α，求当AM⊥MN时

巳知，四边形ABCD是正方形角MAN=45度，它的两边AM、AN分别交cD与点M、N连接MN，~

证明：
∵四边形ABCD是正方形
∴AB=AD，∠BAD=∠D=∠ABC=90°
将△ADN顺时针旋转90°，使AD与AB重合，得到三角形ABE
则AE=AN
∵∠MAN=45°
∴∠BAM+∠DAM=90°-∠MAN=45°
∴∠EAM=45°=∠MAN
又∵AM=AM
∴△AME≌△AMN（SAS）
∴ME =MN，S△AME=S△AMN
∵S△AME=½ME×AB
S△AMN=½MN×AH
∴AB=AH

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以OC,OD为x,y轴建立直角坐标系，易知∠COP=2∠MAN=2a,设AO=OC=1，则P(cos2a,sin2a),A(-1,0),
AP:y=(x+1)sin2a/(cos2a+1)交y轴于M(0，sin2a/(cos2a+1)),
B(0,-1),BP:y=x(sin2a+1)/cos2a-1交x轴于N(cos2a/(sin2a+1),0),
当AM⊥MN时,sin2a/(cos2a+1)*{-sin2a(sin2a+1)/[cos2a(cos2a+1)]}=-1,
∴(sin2a)^2*(sin2a+1)/[cos2a(cos2a+1)^2]=1,
sin2a=2sinacosa,sin2a+1=(cosa+sina)^2,cos2a=(cosa+sina)(cosa-sina),cos2a+1=2(cosa)^2,
∴(sina)^2*(cosa+sina)/[(cosa-sina)(cosa)^2]=1,
分子分母都除以(cosa)^3,去分母得(tana)^2*(1+tana)=1-tana,
整理得(tana)^3+(tana)^2+tana-1=0,
∴1+(tana)^2=2-tana-(tana)^3,
∴2(cosα)^2-tanα=2/[1+(tana)^2]-tana=[2-tana-(tana)^3]/[1+(tana)^2]=1.

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达坂城区14783587456： 如图p是圆内接正方形ABCD劣弧BC上一点,求证:PA+PD/PB+PC=根号2+1 - ？
爰亚鸡血： 不需要过程的话可以想象点P运动到点B

达坂城区14783587456： 正方形ABCD内接于圆o,P为劣弧BC上一点,AP交BD于Q,QP=QO,求QD/QO= - ？
爰亚鸡血： 连接BP,DP,OP,由等弧对等角得:∠APD=∠ABD=45° ∵OP=OD ∴∠ODP=∠OPD ∵QP=QO ∴∠QPO=∠POQ=∠ODP+∠OPD=2∠ODP ∴∠APD=3∠ODP=45° ∴∠ODP=15° ∴BP=BDsin15°=√2 AD(√6-√2)/4=AD(√3-1)/2 △AQD∽△BQP QD/QP=AD/BP=2/(√3-1)=√3+1 ∴QD/QO=QD/QP=√3+1

达坂城区14783587456： 如图,正方形ABCD内接于圆O,点P在劣弧AB上,连接DP,交AC于点Q.若QP=QD,则 QC/QA的值为 - ？
爰亚鸡血： 当QP=QD时,点P与B重合,点Q与O重合.此时,QC/QA=OC/OA=1.

达坂城区14783587456： 正方形ABCD内接于圆O,点P在劣弧AB上,连接PD交AC于Q,且PQ=OQ则QC/QA的值 - ？
爰亚鸡血： 根据相交弦定理;QC=QP•,所以QD=r2-m2/m. 连接DO设⊙O的半径为r,QA=r-m. 在⊙O中,得QA•QD. 即(r-m)(r+m)=m•QD,由勾股定理,QO=m,则QP=m,QC=r+m

达坂城区14783587456： 正方形ABCD内接于○O,点P是劣弧AD上的一点,连接AP、BP、CP、求(AP+CP)/BP,不用三角函数 - ？
爰亚鸡血：[答案] 根号3/3+1

达坂城区14783587456： 如图,正方形ABCD内接于圆O,点P在劣弧AB上,连接DP,交AC于点Q.若QP=QD,则 QC/QA的值为图没法上传, - ？
爰亚鸡血：[答案] 设⊙O的半径为r,QO=m,则QP=m,QC=r+m, QA=r-m. 在⊙O中,根据相交弦定理,得QA•QC=QP•QD. 即(r-m)(r+m)=m•QD,所以QD= . 连接DO,由勾股定理,得QD2=DO2+QO2, 即 , 解得 所以,

达坂城区14783587456： 1.正方形ABCD内接于圆O点P为劣弧CD上任意一点.求证:(PC+PA)/PB为定值. - ？
爰亚鸡血： 证明∶连接AC交BP于E ∵ABCD是正方形∴弧AB=弧BC∴∠APE=∠BPC∵∠PAE=∠PBC∴△PAE∽△PBC ∴PA/PB=AE/BC① ∵弧AB=弧BC∴∠ECB=∠BPC∵∠EBC=∠CBP∴△EBC∽△CBP ∴BC/PB=CE/PC∴PC/PB=CE/BC② ①+②得∶PA/PB+PC/PB=AE/BC+CE/BC∴﹙PC+PA﹚/PB=﹙AE+CE﹚/BC=AC/BC 在RT△ACB中∠ACB=45º∴cos∠ACB=BC/AC∴√2/2=BC/AC∴AC/BC=√2 ∴﹙PC+PA﹚/PB=√2

达坂城区14783587456： 如图,正方形ABCD是⊙O的内接正方形,点P是劣弧 AB 上不同于点B的任意一点,则∠BPC= - ---- - ？
爰亚鸡血： 连接OB、OC,则∠BOC=90°;由圆周角定理可得:∠BPC=12 ∠BOC=45°.

达坂城区14783587456： 如图,正方形ABCD内接于接O,点P在劣弧AB上,连接DP,交AC于点Q.若QP=QA,则QC/QA的值为? - ？
爰亚鸡血： 解:设⊙O的半径为r,QO=m,则QP=m,QC=r+m,QA=r-m.在⊙O中,根据相交弦定理(圆内两弦相交于圆内一点,各弦被这点所分得的两线段的长的乘积相等),得QAQC=QPQD. 即(r-m)(r+m)=mQD,∴QD=r的平方-m的平方/m 连接DO,由勾股定理,得QD的平方=DO的平方+QO的平方,即(r的平方-m的平方/m)的平方=r的平方+m的平方,∴QC/QA=r+m/r-m=根号3+1/根号3-1=根号3+2