(在有限数列{an}中,Sn是{an}的前n项和,若把(S1+S2+S3+…+Sn)/n称为数列{an}的“优化和”,现有一个
解答:
首先,共2010项的数列{an}:a1,a2,a3,…,a2010,若其“优化和”为2011
如果{an}的前n项和表示为Sn:
则有:S1=a1
S2=a1+a2
S3=a1+a2+a3
S4=a1+a2+a3+a4
-----------------
Sn=a1+a2+a3......an (对于该数列,n≤2010 )
并: (S1+S2+S3+S4+…+Sn)/n
=(S1+S2+S3+S4+…+S2010)/2010 =2011
也就是说:(S1+S2+S3+S4+…+S2010)=2010 ×2011
下面研究2011项数列
对于有2011项的数列1,a1,a2,a3,…,a2010的数列
假设,其前n项和表示为An:
则有:A1=1
A2=1+a1=1+S1
A3=1+a1+a2=1+S2
A4=1+a1+a2+a3=1+S3
-----------------
An=1+a1+a2+a3......an=1+S(n-1) (对于该数列,n≤2011 )
进而,有: A1+A2+A3+…+An
=1+(1+S1)+(1+S2)+(1+S3)+........+(1+S(n-1))
=n+(S1+S2+S3+........+S(n-1))
所以n=2011时
A1+A2+A3+…+A2011=2011+(S1+S2+S3+........+S2010)=2011+2010 ×2011=2011 ×2011
(A1+A2+A3+…+An)/n=(A1+A2+A3+…+A2011)/2011=2011
所以答案是 2011
由题意得,S1+S2+S3+…+S20062006=2007,所以S1+S2+…+S2006=2006×2007,其中S1=a1,S2=a1+a2,…,S2006=a1+a2+a3+…a2006.所以数列1,a1,a2,a3,…,a2006的优化和:S=[1+(1+a1)+(1+a1+a2)+…+(1+a1+…+a2005)+(1+a1+…+a2006)]÷2007=[1+( 1+S1)+(1+S2)+…+(1+S2005)+(1+S2006)]÷2011=[2007×1+(S1+S2+…+S2006)]÷2007=[2007+2006×2007]÷2007=1+2006=2007,故选:C.
呵呵,很高兴受到你的求助,这道题发现规律很简单哦。解:∵(S1+S2+S3+…+S2006)/2006=2007
∴(S1+S2+S3+…+S2006)=2006*2007
第二个2007项的数列是1,a1,a2,a3,…,a2006是这样的。
则它的优化和是(1+S1+S2+S3+…+S2006)/2007
发现吗,其实分子只是比前面那个2006项的数列多加了2007个1,就是加上了2007而已。
∴式子可变为(S1+S2+S3+…+S2006)+2007/2007
又∵S1+S2+S3+…+S2006)=2006*2007
∴原式=2006*2007+2007/2007=2007 所以优化和还是2007,是没变的哦。
呵呵,不懂再问吧,望采纳,谢谢。
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答案见图片
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高中数学的数列问题
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蚌埠市19871553500: (在有限数列{an}中,Sn是{an}的前n项和,若把(S1+S2+S3+…+Sn)/n称为数列{an}的“优化和”,现有一个 - ?
坚睿希美: 按照定义[S1+S2+...+S2010]/2010=2011 所以S1+S2+...+S2010=2010*2011 优化和=[1 + (1+a1) + (1+a1+a2)+...+(1+a1+...+a2009)+(1+a1+...+a2010)]/2011[ 1 + ( 1+S1) + (1+S2) +... + (1+S2010-1) + (1+S2010)]/2011 新的S1 新的S2 新的S3 新的...
蚌埠市19871553500: 在数列{an}中,Sn是其前n项和,若a1=1,a2=2,an*a(n+1)*a(n+2)=an+a(n+1)+a(n+2),且a(n+1)*a(n+2)≠1 - ?
坚睿希美: .(1) 由题意: a5=2 于是根据前面规律显然有: a6=3, a7=1, a8=2, a9=3, a10=1: a1+a2+a3=a1*a2*a3 即 3+a3 = 2a3 解得 a3 =3 所以 a1+a2+a3 = 6 (2) 由(1): 同理 a2+a3+a4 = a2*a3*a4 即5+a4=6a4 得到 a4=1; 同理 a3+a4+a5 = a3*a4*a5 即4+a5=3a5 得到....+a2010 = (a1+a2+a3)+(a4+a5+a6)+...+(a2008+a2009+a2010) (共有:2010/., a2009=2 a2010=3 则: S2010 = a1+a2+.
蚌埠市19871553500: 在数列an中sn是前n项和,若a1=1,an+1=1/3sn则an - ?
坚睿希美: 由题意Sn 1一Sn=1/3Sn Sn 1=4/3Sn 所以Sn成等比,首项s1=a1=1,公比为4/3 Sn=4/3(n-1) 当n≥2时an=Sn-Sn-1=4/3(n-1)一4/3(n-2) 所以an=1[n=1] an=4/3(n-1)一4/3(n-2) [n≥2] {(n-1)和(n-2)均为指数}
蚌埠市19871553500: 在数列{an}中,Sn是其前n项和,Sn=1 - an(1)求数列an通项公式.设cn=3an/(2 - an)(1 - an),{cn}的前n项和 - ?
坚睿希美: 当n=1时,a1=S1=1-a1,得:a1=1/2 当n≥2时,an=S(n)-S(n-1)=[1-a(n)]-[1-a(n-1)] 得: an=a(n-1)-an [an]/[a(n-1)]=1/2=常数,其中n≥2 则数列{an}是以a1=1/2为首项、以q=1/2为公比的等比数列. 则:an=(1/2)^nCn=[3an]/[(2-an)(1-an)]=[3*2^n]/{[2^(n+1)-1]*[2^n-1]=(3)*{1/[2^n-1]-1/[2^(n+1)-1]} 则: 数列{Cn}的前n项的和是Tn,得: Tn=(3)*[(1/1)-1/[2^(n+1)-1] Tn=[3*2^(n+1)]/[2^(n+1)-1]
蚌埠市19871553500: 已知数列{an}的前n项和Sn=a的n次 - 1(a不等于0)则{an}是什么数列? - ?
坚睿希美: 已知数列{an}的前n项之和为Sn=a^n-1(a≠0) 那么,a1=a-1 且,当n≥2时,S=a^(n-1)-1 所以,an=Sn-S=(a^n-1)-[a^(n-1)-1]=a...
蚌埠市19871553500: 在有限数列{an}中,Sn是数列{an}的前n项和,我们把(S1+S2+S3+......+Sn)/n称为数列{an}的“均和”?
坚睿希美: (S1+S2+...+S2010)/2010 = 2011,则S1+S2+...+S2010 = 2011*2010 则(1 + 1+S1 + 1+S2 + ... + 1+S2010)/2011 = (2011 + S1+S2+...+S2010)/2011 = 1 + (S1+S2+...+S2010)/2011 = 1 + 2011*2010/2011 = 2011
蚌埠市19871553500: 已知数列{an}中,a1=1,Sn是它的前n项和,S(n+1)=4an+2(n是正整数) - ?
坚睿希美: 呵呵!~1) 由S(n+1)=4an+2,知S(n)=4a(n-1)+2,两者相减,得 S(n+1)-S(n)=a(n+1)=4[an-a(n-1)] 由bn=a(n+1)-2an知,b(n-1)=an-2a(n-1) 因bn=a(n+1)-2an=4[an-a(n-1)]-2an=2an-4a(n-1)=2*b(n-1) 所以:bn是公比为2的等比数列,由a1=1,s2=4...
蚌埠市19871553500: 数列{an}中,Sn是数列{an}前n项和,a1=1,当n大或等于2,Sn2=(Sn - 1/2)求an - ?
坚睿希美: 依题意:Sn2=(Sn-Sn-1)(Sn-1/2) Sn2=Sn2-1/2Sn-Sn-1Sn+1/2Sn-1 1/2Sn-(1/2Sn-1 )+Sn-1Sn=O 1/(2Sn-1)-1/2Sn+1=0 Sn-Sn-1=1/2∴Sn是以1为首项,1/2为公差的等差数列 ∴Sn=1+(n-1)*1/2=(1/2)n+1/2
蚌埠市19871553500: 已知数列{an}中,a1=1, sn是{an}的前项的和, 当n>=2时,sn=an(1 - 2/sn). - ?
坚睿希美: 1.Sn=an-(2an)/Sn,则,Sn-1=Sn-an=-2an/Sn 即Sn-1 * Sn = -2an 所以 1/Sn - 1/Sn-1 =(Sn-1 - Sn)/Sn-1*Sn=(-an)/(-2an)=1/2 2.令1/Sn=bn,bn-b(n-1)=1/2 bn=b1+d(n-1)=b1+1/2(n-1) b1=1/S1=1/a1=1 ∴bn=(n+1)/2 ∴Sn=2/(n+1) ∴Tn=2[1/2*3+1/3*...