函数项级数与函数序列的一致收敛
函数项级数与函数列的关系可类比数项级数与数列的关系.
函数项级数可以视为函数列的特例, 对应"级数部分和"这个函数列.
反过来, 对任意函数列, 存在唯一的函数项级数, 使函数列为级数的部分和.
因此二者在本质上是一样的.
函数列(或函数项级数)有很多种收敛的概念, 比较基本的是逐点收敛: 即在任意x处收敛.
但是逐点收敛难以保持函数的性质, 例如[0,1]上的连续函数列x^n就逐点收敛到一个不连续的函数.
为此要考虑所谓的一致收敛, 大意是不但在每个x处都收敛, 而且收敛的速度还是一致的.
严格的说就是对任意ε > 0, 存在N, 使|fn(x)-f(x)| N和x成立.
这里一个N同时控制了所有x处的收敛性, 即所谓一致.
对比一下逐点收敛: 对任意ε > 0与x, 存在N, 使|fn(x)-f(x)| N成立.
这里的N是根据ε和x取的, 是可能随x不同而不同的.
所以问题不在于函数列和函数项级数的区别, 而是一致收敛的概念.
(1) 易见对0 ≤ x < 1, fn(x)逐点收敛到0, 但x = 1时, fn(x)收敛到1/2.
由连续函数列的一致收敛极限仍连续, fn(x)不可能为一致收敛.
(2) 由均值不等式, |an(x)| ≤ |nx|/(n^(5/2)|x|) = 1/n^(3/2), 对任意实数x成立.
由∑1/n^(3/2)收敛, 根据Weierstrass判别法, ∑an(x)在全体实数上(绝对)一致收敛.
(3) 部分和∑{0 ≤ k ≤ n} x^k·(1-x) = ∑{0 ≤ k ≤ n} x^k-∑{0 ≤ k ≤ n} x^(k+1)
= ∑{0 ≤ k ≤ n} x^k-∑{1 ≤ k ≤ n+1} x^k = 1-x^(n+1).
对0 ≤ x < 1收敛到1, 而对x = 1收敛到0, 极限函数不连续.
理由同(1), 级数不一致收敛.
为免误解强调一下, 连续函数列一致收敛是极限函数连续的充分非必要条件.
即由极限函数连续不能反过来得到函数列一致收敛.
个人感觉楼主对一致收敛的概念还比较陌生, 也许难以理解上面的证明过程.
建议再好好看看教材, 看几个不一致收敛的例子, 掌握一致收敛的性质和几个基本的判别法.
再回来看这几道题就很容易了.
2. 没看明白你是什么意思。因为两个概念都是一样的。
在讨论一致收敛性的概念时，最重要的是明确是哪个区间上讨论。同样的函数序列，在不同的区间上，是否一致收敛的情况不一样。
第一例：说的不严谨。没有说在某一点处不一致收敛的说法。只能说，fn(x)在区间[0,1]上不一致收敛。又注意到，对于任意的a<1，fn(x)在[0,a]上一致收敛，所以你可以感觉到是"x=1"这个点破坏了一致收敛性。但是无论如何，一致收敛性只能对于某个区间来讨论，无所谓在某一点处不一致收敛的说法（如果只在单点集上，函数肯定是一致收敛的，因为x的取值只有一个点)
第二例，在实轴上一致收敛，没问题。因为n^5*x^2 + 1 >= 2*n^{5/2}*|x|，所以
|an(x)| <= 1/n^{3/2}，但是级数1/n^{3/2}是收敛的，所以函数项级数an(x)的尾项可以被1/n^{3/2}的尾项控制住（所谓“一致”就是指这个“控制”与x无关）
第三例，为简单起见，你要先把an(x)的部分和算出来，即
sn(x) = a1(x) + ... + an(x) = x(1-x^n)
其实你可以看到，sn(x)的一致收敛性就是-x^{n+1}的一致收敛性，而由1的讨论，sn(x)是不一致收敛的（在[0,1]区间上)，所以原函数项级数不一致收敛
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函数项级数和数项级数的区别明天就要考数分了.尽量
举个例子吧 1 - 1\/2 + 1\/3 - 1\/4 + 1\/5 - ...1 - (1\/2)x + (1\/3)x^2 - (1\/4)x^4 + (1\/5)x^5 - ...第一个是数项级数.它的通项是个“数”,即an=[(-1)^(n-1)]\/n.第二个是函数项级数 它的通项是个函数,说白了就是通项里含有变量x,即an=[(-x)^(...
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常数项级数和函数项级数有什么区别呢?
常数项级数---就是组成级数的每一项都是常数，函数项级数--就是组成级数的每一项都是某一变量的函数，由于都属于级数范畴，就应该都满足级数的一些基本性质
简单函数项级数问题
若x= -1，则Sn(x)=n，当n→∞时，Sn(x)→∞；若x=1，则Sn(x)=(1\/2)[1+(-1)ⁿ]，当n为奇数时，Sn(x)=0；当n为偶数时，Sn(x)=1，所以当n→∞时，Sn(x)的极限不存在。Sn(x)就是数列{(-x)^(n-1)}的前n+1项的和，为有限项的和，只有当n→∞时才是无穷项的...
季迹顺铂：[答案] 函数项级数与函数列的关系可类比数项级数与数列的关系.函数项级数可以视为函数列的特例,对应＂级数部分和＂这个函数列.反过来,对任意函数列,存在唯一的函数项级数,使函数列为级数的部分和.因此二者在本质上是一样的.函...
阳新县15837851404： 函数项级数的一致收敛问题 - ？
季迹顺铂： “函数列不一致收敛于0则函数项级数不一致收敛”,这个与“函数项级数一致收敛的必要条件是函数列一致收敛于0＂互为逆否命题,因此它们同时成立. 你应该问:函数列收敛于0是否能保证函数级数一致收敛,这个却不一定!
阳新县15837851404： 函数项级数一致收敛的有关问题.我知道函数项级数一致收敛的必要条件是函数列一致收敛于0,那么如果函数列不一致收敛于0,则对应的函数项级数就不一... - ？
季迹顺铂：[答案] 当然,用反证法
阳新县15837851404： 函数项级数一致收敛问题级数[fn(x)]一致收敛于f(x).若fn(x)对任意n有界(a,b),则f(x)有界. - ？
季迹顺铂：[答案] 证明:由于fn(x)有界,存在M>0,使得)|fn(x)|0,由于级数[fn(x)]一致收敛于f(x). 则有|f(x)-fn(x)|
阳新县15837851404： 请问函数列一致收敛和函数项级数一致收敛有什么关联吗? - ？
季迹顺铂： 函数列和函数项级数是可以互化的,所以研究清楚一种一致收敛另一种也就清楚了.
阳新县15837851404： 函数项级数的处处收敛与一致收敛有什么关系 - ？
季迹顺铂：[答案] 有一个很形象的比喻:有两个班级的同学要去体育场参加运动会,A班的同学自由散步每个人都能到达目标,只是有先后,就是处处收敛;B班的同学齐步走也到达目标,一路很整齐且同时到达,就是一致收敛. 一致收敛必处处收敛,反之不然.
阳新县15837851404： 函数项级数一致收敛问题 - ？
季迹顺铂： 是对的,因为,如果在(a,b)内一致收敛,则,由Un的连续性,可以得到级数在【a,b】上一致收敛,这与a,b点不是收敛点矛盾. PS,你的条件有问题,不是级数和在闭区间连续,而是单个函数在闭区间连续
阳新县15837851404： 叙述函数列一致收敛的柯西(Cauchy)准则___. - ？
季迹顺铂：[答案] 函数列{fn(x)}在数集D上一致收敛⇔∀ɛ>0,∃N∈N*,∀n,m>N,∀x∈D,有 |fn(x)-fm(x)|<ɛ
阳新县15837851404： 高数函数项级数一致收敛的证明题! 求详细过程 - ？
季迹顺铂： 这是正项级数,用比试判别法,x
阳新县15837851404： 判断是否一致收敛 - ？
季迹顺铂： 第一个是一致收敛的,因为|sin(nx)/n^2|∑|sin(nx)/n^2| 第二个不是一致收敛.用反证法.令f(x)=∑x/(1+x)^n显然 f(0)=0;若x不等于0,由于 这是一个等比级数,我们有求和 f(x)=x∑1/(1+x)^n=x*{1/(1+x)/[1-1/(1+x)]}=1,即:f(x)是这样一个分段函数f(x)=0当x=0时;而f(x)=1当x>0时.所以如果这个函数项级数一致收敛的话,它应当收敛于一个连续函数,矛盾!
