怎么判断级数有界？

~ 级数有界性的判断是数学分析中的一个重要课题。一个数列或函数序列称为有界的，如果存在实数M，使得序列中的每一项的绝对值都不大于这个常数M。对于级数而言，有界性通常指的是其部分和序列的有界性。以下是判断级数是否有界的几种常见方法：
直接比较法：
如果给定的级数是正项级数（即所有项都是非负的），可以通过比较测试来判定其有界性。例如，若已知级数的所有项都小于等于另一个已知有界的级数，则原级数也是有界的。
收敛性准则法：
根据级数的基本性质，如果一个级数是收敛的，那么它的部分和序列是有界的。因此，可以通过判断级数是否收敛来间接判断其有界性。比如利用比较判别法、比值判别法、根植判别法等来确定级数的收敛性。
积分判别法：
对于某些特殊类型的级数，如不定积分的级数，可以通过比较其与相应的积分函数来判定有界性。如果该积分在某个区间上是有界的，那么在相同条件下，原级数也是有界的。
利用已知结论：
对于一些经典类型的级数，可以直接使用已有的结论来判断其有界性。例如，几何级数、调和级数等都有明确的有界性结论。
极限定义法：
根据级数的部分和序列的极限是否存在来判断有界性。如果部分和序列的极限不存在且不是因为振荡造成的，那么该级数通常是无界的。
反证法：
假设部分和序列无界，试图导出矛盾。如果推导出矛盾，则说明假设错误，从而证明部分和序列有界。
利用函数的性质：
如果级数是由某个函数生成的，可以研究这个函数的性质。如果函数在某区间上有界，那么由其生成的级数在该区间内也很可能是有界的。
数值实验法：
通过计算级数的前几项或者部分和，观察数值的变化趋势，尽管这种方法不能严格证明有界性，但在某些情况下可以提供直观的理解。
总结来说，判断一个级数是否有界需要综合运用多种数学工具和技巧。在实际操作中，通常先尝试使用直接比较法和已知结论来判断，如果不适用再考虑其他更为复杂的方法。重要的是要理解各种方法的原理，并能够灵活地应用到具体问题中去。

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诸暨市19197406831： 怎么判断级数的上确界 - ？
冯贫橘红： 证:F'(x)=(xf'(x)-f(x))/x^2, 由lagrange定理及f'(x)的单调性知f(x)=f(x)-f(0)=xf'(t)0,得证.

诸暨市19197406831： 判别级数收敛性的方法有哪些? - ？
冯贫橘红： 上面几楼说的都对,但是都不全.我来说个全一些的.(纯手工,绝非copy党)首先要说明的是:没有最好用的判别法!所有判别法都是因题而异的,要看怎么出,然后才选择最恰当的判别法.下面是一些常用的判别法:一、对于所有级数都...

诸暨市19197406831： 无穷级数的判别法 - ？
冯贫橘红： 正项级数及其敛散性 如果一个无穷级数的每一项都大于或等于0,则这个级数就是所谓的正项级数.正项级数的主要特征就是如果考虑级数的部分和数列,就得到了一个单调上升数列.而对于单调上升数列是很容易判断其敛散性的:正项级数收...

诸暨市19197406831： 判断级数的收敛性 - ？
冯贫橘红： 分享一种解法,应用“斯特林公式lim(n→∞)n!=[√(2nπ)](n/e)^n＂求解.设数列的通项an=(e^n)n!/n^n.∴应用斯特林公式,有lim(n→∞)an=lim(n→∞)(e^n)n!/n^n=lim(n→∞)√(2nπ)→∞.∴级数∑(e^n)n!/n^n发散.供参考.

诸暨市19197406831： 用比较判别法或极限形式判断下列级数的敛散性 - ？
冯贫橘红： (3) lim un/(1/n^2) = 1/2 < ∞,收敛, (4) lim un/(1/n^2) = e < ∞,收敛, (5) lim un/(1/a^n) = {1(a>1);0(0<a<1);1/2(a=1), 所以 a>1 时收敛,0<a≤1 时发散. (6) lim un/(1/n) = 1,发散.

诸暨市19197406831： 无穷级数1/lnn的敛散性怎么判断 - ？
冯贫橘红： 比较法即可,∑1/lnn的一般项1/lnn为正,直接与调和级数∑1/n比较,因为1/lnn>1/n,而∑1/n发散,故原级数发散. 判别法: 正项级数及其敛散性 如果一个无穷级数的每一项都大于或等于0,则这个级数就是所谓的正项级数. 正项级数的主要...

诸暨市19197406831： 怎么判断一个数列的有界性,如怎么看{1/(n^2+1)}是有界的,谢谢老师! - ？
冯贫橘红： 这是p级数,幂数大于1的都是收敛的,收敛的话就是和和有届,级数定义,要是不懂得话再问我~~

诸暨市19197406831： 判别此级数的敛散性,若收敛,条件收敛还是绝对收敛? - ？
冯贫橘红： shongs01 | 10-06-02((-1)^n)((sinn)^2)/n =[(-1)^n 1/(2n)]-[(-1)^n (Cos2n)/2n] ∑[(-1)^n 1/(2n)]和 ∑[(-1)^nCos 2n/2n]都是收敛的 | ((-1)^n)((sinn)^2)/n| =(sin n)^2/n=[1/(2n)]-[Cos 2n/2n] 而∑[1/(2n)]发散,∑[Cos 2n/2n]收敛,所以原级数非...

诸暨市19197406831： 数列有界性判断的问题 - ？
冯贫橘红： 解:由 n-->∞l时, lim(an-an-1)=0 得liman-liman-1=0 即liman=liman-1 又 n-1-->∞时 liman-1≠0 有 liman/liman-1=1 即 lim(an/an-1)=1=lim1 有 an/an-1=1 该数列为常数列. 常数列必为有界数列, ∴该数列为有界数列.

诸暨市19197406831： 高数,第一题判断有界性,算了半天算不出来.. - ？
冯贫橘红： 判断的时候,牢记定义就行了, 关于lnx,它确实是无界的,只是在(0,+无穷)的任意有界子区间内才是有界函数,