向量的外积表达式与方向。
高数课本里有,我截个图
还是用右手螺旋法则:此时向量V的方向与前者相反。(前者方向垂直向上,后者方向垂直向下)。
向量积,数学中又称外积、叉积,物理中称矢积、叉乘,是一种在向量空间中向量的二元运算。与点积不同,它的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量和垂直。其应用也十分广泛,通常应用于物理学光学和计算机图形学中。
两个向量a和b的叉积写作a×b(有时也被写成a∧b,避免和字母x混淆)。 [1]
定义
向量积可以被定义为:。
模长:(在这里θ表示两向量之间的夹角(共起点的前提下)(0°≤θ≤180°),它位于这两个矢量所定义的平面上。)
方向:a向量与b向量的向量积的方向与这两个向量所在平面垂直,且遵守右手定则。(一个简单的确定满足“右手定则”的结果向量的方向的方法是这样的:若坐标系是满足右手定则的,当右手的四指从a以不超过180度的转角转向b时,竖起的大拇指指向是c的方向。)
也可以这样定义(等效):
向量积|c|=|a×b|=|a||b|sin<a,b>
即c的长度在数值上等于以a,b,夹角为θ组成的平行四边形的面积。
而c的方向垂直于a与b所决定的平面,c的指向按右手定则从a转向b来确定。
*运算结果c是一个伪向量。这是因为在不同的坐标系中c可能不同。 [1]
坐标运算
设=(),=()。i,j,k分别是X,Y,Z轴方向的单位向量,则 [1] :
a×b=(-)i+(-)j+(-)k,为了帮助记忆,利用三阶行列式,写成det
证明
为了更好地推导,我们需要加入三个轴对齐的单位向量i,j,k。
i,j,k满足以下特点:
i=jxk;j=kxi;k=ixj;
kxj=–i;ixk=–j;jxi=–k;
ixi=jxj=kxk=0;(0是指0向量)
由此可知,i,j,k是三个相互垂直的向量。它们刚好可以构成一个坐标系。
这三个向量的特例就是i=(1,0,0)j=(0,1,0)k=(0,0,1)。
对于处于i,j,k构成的坐标系中的向量u,v我们可以如下表示:
u=Xu*i+Yu*j+Zu*k;
v=Xv*i+Yv*j+Zv*k;
那么uxv=(Xu*i+Yu*j+Zu*k)x(Xv*i+Yv*j+Zv*k)
=Xu*Xv*(ixi)+Xu*Yv*(ixj)+Xu*Zv*(ixk)+Yu*Xv*(jxi)+Yu*Yv*(jxj)+Yu*Zv*(jxk)+Zu*Xv*(kxi)+Zu*Yv*(kxj)+Zu*Zv*(kxk)
由于上面的i,j,k三个向量的特点,所以,最后的结果可以简化为
uxv=(Yu*Zv–Zu*Yv)*i+(Zu*Xv–Xu*Zv)*j+(Xu*Yv–Yu*Xv)*k。 [1]
与数量积的区别
注:向量积≠向量的积(向量的积一般指点乘)
一定要清晰地区分开向量积(矢积)与数量积(标积)。见下表。
几何意义及其运用
叉积的长度|a×b|可以解释成这两个叉乘向量a,b共起点时,所构成平行四边形的面积。据此有:混合积[abc]=(a×b)·c可以得到以a,b,c为棱的平行六面体的体积。 [1]
代数规则
1、反交换律:a×b=-b×a
2、加法的分配律:a×(b+c)=a×b+a×c。
3、与标量乘法兼容:(ra)×b=a×(rb)=r(a×b)。
4、不满足结合律,但满足雅可比恒等式:a×(b×c)+b×(c×a)+c×(a×b)=0。
5、分配律,线性性和雅可比恒等式别表明:具有向量加法和叉积的R3构成了一个李代数。
6、两个非零向量a和b平行,当且仅当a×b=0。 [1]
拉格朗日公式
这是一个著名的公式,而且非常有用:
证明过程
(a×b)×c=b(a·c)-a(b·c)
a×(b×c)=b(a·c)-c(a·b)
证明过程如下:
二重向量叉乘化简公式及证明
可以简单地记成“BAC-CAB”。这个公式在物理上简化向量运算非常有效。需要注意的是,这个公式对微分算子不成立。
这里给出一个和梯度相关的一个情形:
这是一个霍奇拉普拉斯算子的霍奇分解的特殊情形。
另一个有用的拉格朗日恒等式是:
这是一个在四元数代数中范数乘法|vw|=|v||w|的特殊情形。 [2]
矩阵形式
给定直角坐标系的单位向量i,j,k满足下列等式:
i×j=k;
j×k=i;
k×i=j;
通过这些规则,两个向量的叉积的坐标可以方便地计算出来,不需要考虑任何角度:设
a=[a1,a2,a3]=a1i+a2j+a3k;
b=[b1,b2,b3]=b1i+b2j+b3k;
则a×b=[a2b3-a3b2,a3b1-a1b3,a1b2-a2b1]。
叉积也可以用四元数来表示。注意到上述i,j,k之间的叉积满足四元数的乘法。一般而言,若将向量[a1,a2,a3]表示成四元数a1i+a2j+a3k,两个向量的叉积可以这样计算:计算两个四元数的乘积得到一个四元数,并将这个四元数的实部去掉,即为结果。更多关于四元数乘法,向量运算及其几何意义请参看四元数(空间旋转)。 [2]
高维情形
七维向量的叉积可以通过八元数得到,与上述的四元数方法相同。
七维叉积具有与三维叉积相似的性质:
双线性性:x×(ay+bz)=ax×y+bx×z;(ay+bz)×x=ay×x+bz×x;
反交换律:x×y+y×x=0;
同时与x和y垂直:x·(x×y)=y·(x×y)=0;
拉格朗日恒等式:|x×y|²=|x|²|y|²-(x·y)²;
不同于三维情形,它并不满足雅可比恒等式:x×(y×z)+y×(z×x)+z×(x×y)≠0。
希望我能帮助你解疑释惑。
其中i,j,k是三个单位向量.
行列式按第一行展开就行.
外积定义
把向量外积定义为:
符号表示:a× b
大小:|a|·|b|·sin<a,b>.
方向:右手定则:若坐标系是满足右手定则的,设z=x×y,|z|=|x||y|*sin<x,y>;则x,y,z构成右手系,伸开右手手掌,四个手指从x轴正方向方向转到y轴正方面,则大拇指方向即为z正轴方向。
外积的坐标表示:
(x1,y1,z1)×(x2,y2,z2)=(y1z2-y2z1,z1x2-z2x1,x1y2-x2y1)
外积的分配律a× (b+c) = a ×b +a ×c
分配律的几何证明方法很繁琐,大意是用作图的方法验证。有兴趣的话请自己参阅参考文献中的证明。
下面给出代数方法。我们假定已经知道了:
1)外积的反对称性:
a× b= - b× a.
这由外积的定义是显然的。
2)内积(即数积、点积)的分配律:
a·(b+ c) = a·b+ a·c,
(a+ b)·c= a·c+ b·c.
这由内积的定义a·b= |a|·|b|·cos<a,b>;,用投影的方法不难得到证明。
3)混合积的性质:
定义(a×b)·c为矢量a,b,c的混合积,容易证明:
i) (a×b)·c的绝对值正是以a,b,c为三条邻棱的平行六面体的体积 外积,其正负号由a,b,c的定向决定(右手系为正,左手系为负)。
简单证明:体积V=底面积S×高h
=|a×b|×|h|
=|a×b|×|c|×(c·h)/(|c||h|)
=|a×b|×(c·h)/|h|
而|h|=|a×b|
所以 V=c·h=c·(a×b)
从而就推出:
ii) (a×b)·c= a·(b×c)
所以我们可以记a,b,c的混合积为(a,b,c).
由i)还可以推出:
iii) (a,b,c) = (b,c,a) = (c,a,b)
我们还有下面的一条显然的结论:
iv) 若一个矢量a同时垂直于三个不共面矢a1,a2,a3,则a必为零矢量。
外积的分配律证明下面我们就用上面的1)2)3)来证明外积的分配律。
设r为空间任意矢量,在r·(a×(b+ c))里,交替两次利用3)的ii)、iii)和数积分配律2),就有
r·(a×(b + c))
= (r×a)·(b+ c)
= (r×a)·b+ (r×a)·c
= r·(a×b) + r·(a×c)
= r·(a×b+ a×c)
移项,再利用数积分配律,得
r·(a×(b+ c) - (a×b+ a×c)) = 0
这说明矢量a×(b+ c) - (a×b+a×c)垂直于任意一个矢量。按3)的iv),这个矢量必为零矢量,即
a×(b+ c) - (a×b+ a×c) = 0
所以有
a×(b+ c) = a×b+a×c.
证毕
矢量相乘法则
2、向量积:向量积也叫叉积,外积,它也是向量与向量的乘积,不过需要注意的是,它的结果是个向量。它的几何意义是所得的向量与被乘向量所在平面垂直,方向由右手定则规定,大小是两个被乘向量张成的平行四边形的面积。所以向量积不满足交换律。设有向量 则其向量积的矩阵表达式可用下列符号表示:...
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向量积坐标表示公式
向量积|c|=|a×b|=|a||b|sin 即c的长度在数值上等于以a,b,夹角为θ组成的平行四边形的面积。而c的方向垂直于a与b所决定的平面,c的指向按右手定则从a转向b来确定。一个简单的确定满足“右手定则”的结果向量的方向的方法是这样的:若坐标系是满足右手定则的,当右手的四指从以不超过180...
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