已知二次函数y=f(X)满足f(1+x)=f(1-x)

已知二次函数y=f（x），满足f（-2）=f（0）=0，且f（x）的最小值为-1~

设f(x)=ax2+bx+c 由题f（-2）=f（0）=0得c=0,b=2a,f（x）在x=-2a/b时取得最小值，即x=-1时取得最小值，计算得a=1,b=2 f(x)=x2+2x
(1)x>0,f(x)=x2+2x;x<0,f(x)=-f(-x)=-x2+2x
(2)g(x)=(1-λ)x2-2(1+λ)x+1
当λ=1时，成立
当λ=/（不等于）1时，g(x)'=(1-λ)x-2(1+λ)
1-λ>0时，2（1+λ）/(1-λ)>=1得λ属于[-1/3,1)
1-λ1
综上，λ>=-1/3
不知道计算对么，你看看吧，不太会表达，主要是符号不好写

设f(x)=ax²+bx+c
∴f(x+1)=a(x+1)²+b(x+1)+c=ax²+(2a+b)x+a+b+c
f(x)+x+1=ax²+bx+c+x+1=ax²+(b+1)x+c+1
∴2a+b=b+1
a+b+c=c+1
∴a=1/2
b=1/2
c任意
∴f(x)=x²/2+x/2+c

1
设f(x)=ax²+bx+c
∵f(1+x)=f(1-x)
∴a(1+x)²+b(1+x)+c=a(1-x)²+b(1-x)+c
∴ax²+(2a+b)x+a+b+c=ax²-(2a+b)x+a+b+c
∴(2a+b)x=-(2a+b)x
即2(2a+b)x=0恒成立
因为x是变量，只有2a+b=0
∴-b/(2a)=1
即：x=1是y=f(X)图像的对称轴
2
那么可设f(x)=a(x-1)²+k
将（1，1）和（0，3）代入

得 k=1 ，a+k=3,a=2
∴f(x)=2(x-1)²+1
即f(x)=2x²-4x+3

另f(x)=ax^2+bx+c。则f(1+x)=a(1+x)(1+x)+b(1+x)+c。f(1-x)=a(1-x)(1-x)+b(1-x)+c。而f(1+x)=f(1-x)
，联立以上三个式子，可得到a(1-x)(1-x)+b(1-x)+c=a(1+x)(1+x)+b(1+x)+c，即2a+b=0，-2a分之b=1。得证。

第二问只需代入两点坐标，解方程组即可

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遂川县18590527016： 已知二次函数y=f(x)满足f( - 1)=f(3)=0,且最小值为 - 4求y=f(x)的表达式 - ？
许相思真： 设f(x)=a(x+1)(x-3) =a(x^2-2x-3) =a[(x-1)^2-4] x=1 最小值是-4 所以x=1 f(x)=x^2-2x-3

遂川县18590527016： 已知二次函数y=f(x)满足f(1 - √3)=f(1+√3)=0,且最大值为3,则f(x)=?？
许相思真： 解:因为二次函数y = f(x)满足f(1 – √3) = f(1 + √3) = 0,说明二次函数图像上经过两点(1 – √3,0)和(1 + √3,0),而且此两点关于对称轴x = 1对称,由已知函数f(x)的最大值为3,所以顶点坐标为(1,3),而且开口向下,可设二次函数的解析式y = f(x) = a(x – 1)² + 3,(a < 0); 把点(1 + √3,0)代入上式可得:0 = 3a + 3,解得a = -1,代入可得y = f(x) = -(x – 1)² + 3 . 综上所述,f(x) = -(x – 1)² + 3 .

遂川县18590527016： 已知二次函数y=f(x)满足f(1+x)=f(1 - x).(1)求证:x=1是y=f(x)图像的对称轴2.若二次函数y=f(X)图像有过两点(1,？
许相思真： [1] 由函数的性质可知 对称轴=[1+x+1-x]/2所以对称轴=1.[2]设二次函数的方程;y=ax^2+bx+c 然后将两点带入 a+b+c=1 c=3 对称轴x=-b/2a 即可求出a,b,c解析式出来了

遂川县18590527016： 一元二次函数f(x)满足f(1)等于f( - 3),且有最小值2,且过点1,6,求函数解析式 - ？
许相思真： 解:f(1)=f(-3) 对称轴x=[1+(-3)]/2=-1 又函数有最小值2,设函数解析式f(x)=y=a(x+1)²+2,(a>0) 函数过点(1,6),x=1,f(x)=6代入函数方程:a(1+1)²+2=6 整理,得4a=4 a=1 y=1·(x+1)²+2=x²+2x+1+2=x²+2x+3 函数解析式为y=x²+2x+3

遂川县18590527016： 已知二次函数y=f(x)满足条件f(0)=1,f(x+1) - f(x)=2x,试求函数f(x)表达式？
许相思真： 令x=0,则有:f(0+1)-f(0)=2*0 即:f(1)=f(0)=1 令x=1.则有:f(1+1)-f(1)=2*1 即:f(2)=f(1)+2=1+2=3 设二次函数是:y=f(x)=ax^2+bx+c, 所以:f(0)=c=1 f(1)=a+b+c=1 f(2)=4a+2b+c=3 以上三式解得:c=1,b=-1,a=1 所以:f(x)=x^2-x+1

遂川县18590527016： 已知二次项系数为1的二次函数y=f(x)满足条件f(0)=1,f(1 - x)=f(x),试求函数f(x)的表达式. - ？
许相思真：[答案] 设函数的解析式为:f(x)=x2+bx+c, 由f(0)=1,得:c=1, 由f(1-x)=f(x)得: (1-x)2+b(1-x)+1=x2+bx+1, 解得:b=-1, ∴f(x)=x2-x+1.

遂川县18590527016： 已知函数y=f(x)为二次函数,且满足f(0)= - 3 f(1)=0 f( - 3)=0.求这个二次函数的解析式! - ？
许相思真：[答案] 因为该函数是二次函数,所以设f(x)=ax^2+bx+c.当f(0)=-3,代入得c=-3.当f(1)=0,代入得a+b=3.当f(-3)=0,代入得3a-b=1.结合a+b=3和3a-b=1得a=1,b=2.故该二次函数为f(x)=x^2+2x-3.

遂川县18590527016： 已知二次函数y=f(x)满足条件f(0)=1,f(x+1) - f(x)=2x,试求函数f(x)的表达式.希望帮帮忙,答案不重要,重要是理解 - ？
许相思真：[答案] 设二次函数解析式 f(x) = ax² + bx + c ( a ≠ 0) 因为 f( x + 1 ) - f(x) = 2x 所以 a(x + 1)² + b(x + 1) + c - ax² - bx - c = 2x 2ax + a + b = 2x 对应项相等,所以2a = 2 ,a + b = 0 解得:a = 1 ,b = -1 又因为 f(0) = 1 所以 c = 1 所以 f(x) = x² - x + 1

遂川县18590527016： 已知二次函数y=f(x)满足f(0)=1,且有f(x+1)=f(x)+2x - ？
许相思真： 1.设二次函数方程为 f(x)=ax^2+bx+c 因为f(0)=1,带入方程得c=1,所以函数变为f(x)=ax^2+bx+1 由于f(x+1)=f(x)+2x 即 a(x+1)^2+b(x+1)+1 =ax^2+bx+1+2x 展开整理得 ax^2+(2a+b)x+a+b+1=ax^2+(b+2)x+1 根据对应项系数相等,得 2a+b=b+2; a+b+1 =1 解得 a=1,b=-1 所以方程为 f(x)=x^2-x+12.将方程配方得 f(x)=(x-1/2)^2+3/4 则函数对称轴为 x=1/2 所以函数在【-1,1】上的 最大值为 f(-1)=3 最小值是 f(1/2)=3/4

遂川县18590527016： 已知二次函数y=f(x)满足条件f(0)=1和f(x+1) - f(x)=2x 求函？
许相思真： 二次函数y=f(x)满足条件f(0)=1和f(x+1)-f(x)=2x 把x=0代入得 f(1)-f(0)=0 因此,二次函数的对称轴是x=1/2 设二次函数为:y=a(x-1/2)^2+C f(0)=1得1=1/4a+C f(x+1)-f(x)=2x 得a(x+1-1/2)^2-a(x-1/2)^2=2ax=2x a=1,C=3/4 所以,二次函数为y=(x-1/2)^2+3/4 在区间[1,2]上函数单增 最大值在x=2处得y=3 最小值在x=1处得y=1