求阿波罗尼斯圆的几何证明方法

求阿波罗尼斯圆的几何证明~

定义
在平面上给定相异两点a、b，设p点在同一平面上且满足pa/pb= λ， 当λ>0且λ≠1时，p点的轨迹是个圆，这个圆我们称作阿波罗尼斯圆。这个结论称作阿波罗尼斯轨迹定理。设m、n分别为线段ab按定比λ分割的内分点和外分点，则mn为阿波罗尼斯圆的直径，且mn=〔2λ／（λ^2-1）〕ab。
证明
我们可以通过公式推导出an的长度：an:bn＝ap:bp ，其中bn=an+ab，所以an:(an+ab)＝ap:bp=>an=ap×ab÷(bp-ap)，以np为直径的圆就是我们所求的轨迹圆。
性质
由阿波罗尼斯圆可得阿波罗尼斯定理，即：
设三角形的三边和三中线分别为a、b、c、ma(a为下标，下同）、mb、mc，则有以下关系：
b^2+c^2=a^2/2+2ma^2；
c^2+a^2=b^2/2+2mb^2；
a^2+b^2=c^2/2+2mc^2。
（此定理用余弦定理和勾股定理可以证明）。
o(∩_∩)o
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我们可以通过公式推导出AN的长度 AN/BN == AP/BP 其中BN=AN+AB 所以 AN/(AN+AB) == AP/BP ===> AN=AP*AB/(BP-AP) 以NP为直径的圆就是我们所求的轨迹圆。

解答

令B为坐标原点，A的坐标为(a,0)。则动点P(x,y)满足

 =k（k>0且k≠1）

且PA=

PB=

整理得(k2﹣1)(x2+y2)﹢2ax-a2=0

当k>0且k≠1时,它的图形是圆。

当k=1时，轨迹是两点连线的中垂线。

扩展资料

阿波罗尼斯（Apollonius of Perga Back），古希腊人（262BC~190BC），写了八册圆锥曲线论（Conics）著，其中有七册流传下来，书中详细讨论了圆锥曲线的各种性质，如切线、共轭直径、极与极轴、点到锥线的最短与最长距离等，

阿波罗尼斯圆是他的论著中一个著名的问题。他与阿基米德、欧几里德被誉为古希腊三大数学家。

阿波罗尼斯问题

用圆规和直尺作出与三个已知圆相切的圆。这就是几何学中有名的作图问题，通常称它为阿波罗尼斯问题（简称AP）。这个问题可用反演方法来解决。证明：

1、若三个圆中的每个圆都在其它两个圆之外，则AP有8解；

2、若三个圆相切于一个公共点，则AP有无数解；

3、若一个圆处在另一个圆内部，则AP无解。

AP的特殊情况，即一个著名问题：作出与两条已知直线（相交或平行）相切并过已知点的圆。

参考资料来源：百度百科-阿波罗尼斯

参考资料来源：百度百科-阿氏圆

定义
在平面上给定相异两点A、B，设P点在同一平面上且满足PA/PB= λ， 当λ>0且λ≠1时，P点的轨迹是个圆，这个圆我们称作阿波罗尼斯圆。这个结论称作阿波罗尼斯轨迹定理。设M、N分别为线段AB按定比λ分割的内分点和外分点，则MN为阿波罗尼斯圆的直径，且MN=〔2λ／（λ^2-1）〕AB。

证明
我们可以通过公式推导出AN的长度：AN:BN＝AP:BP ，其中BN=AN+AB，所以AN:(AN+AB)＝AP:BP=>AN=AP×AB÷(BP-AP)，以NP为直径的圆就是我们所求的轨迹圆。

性质
由阿波罗尼斯圆可得阿波罗尼斯定理，即：
设三角形的三边和三中线分别为a、b、c、ma(a为下标，下同）、mb、mc，则有以下关系：
b^2+c^2=a^2/2+2ma^2；
c^2+a^2=b^2/2+2mb^2；
a^2+b^2=c^2/2+2mc^2。
（此定理用余弦定理和勾股定理可以证明）。

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