无理数的定义和证明方法

作者&投稿:阎力 (若有异议请与网页底部的电邮联系)
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有理数是整数和分数的集合。有理数的小数部分是有限或为无限循环的数。不是有理数的实数称为无理数,即无理数的小数部分是无限不循环的数。

无理数的定义

在数学中,无理数是所有不是有理数字的实数,后者是由整数的比率(或分数)构成的数字。当两个线段的长度比是无理数时,线段也被描述为不可比较的,这意味着它们不能“测量”,即没有长度。

无理数,也称为无限不循环小数,不能写作两整数之比。若将它写成小数形式,小数点之后的数字有无限多个,并且不会循环。常见的无理数有非完全平方数的平方根、π和e等。

无理数集相当于实数集中有理数集的补集,实数集R,有理数集Q,所以无理数集合符号为CrQ。

证明方法

以 √2为例。证明: √2是无理数

假设√2不是无理数

∴√2是有理

令 √2=p/q (p、q互质)

两边平方得:

2=(p/q)^2

即:

2=p^2/q^2

通过移项,得:

2*q^2=p^2

∴p^2必为偶数

∴p必为偶数

令p=2m

则p^2=4m²

∴2q^2=4m^2

化简得:

q^2=2m^2

∴q^2必为偶数

∴q必为偶数

综上,q和p都是偶数

∴q、p互质,且q、p为偶数

矛盾 原假设不成立

∴√2为无理数




有理数的定义是什么意思?
利用有理数和无理数的主要区别,可以证明√2是无理数。证明:假设√2不是无理数,而是有理数。既然√2是有理数,它必然可以写成两个整数之比的形式:√2=p\/q 又由于p和q有公因数可以约去,所以可以认为p\/q 为既约分数。把 √2=p\/q 两边平方 得 2=(p^2)\/(q^2)即 2(q^2)=p^2 ...

有理数的定义是什么
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有理数是怎么定义的?规范点 的
证明 假设成立,则 ,由于已知a、b均为正有理数,得是有理数。又因为也是有理数,所以为有理数,即是有理数,这与已知矛盾。故不能成立。参考资料:http:\/\/zhidao.baidu.com\/question\/70297565.html

如何证明一个数是有理数
例子:证明根号2是无理数。证明:若根号2是有理数,则设它等于m\/n(m、n为不为零的整数,m、n互质)所以 (m\/n)^2=根号2 ^2 =2 所以 m^2\/n^2=2 所以 m^2=2*n^2 所以 m^2是偶数,设m=2k(k是整数)所以 m^2=4k^2=2n^2 所以 n^2=2k^2 所以 n是偶数 因为 m、n互质...

有理数集的定义是什么?
根据这一点,人们把无理数定义为无限不循环小数.2、所有的有理数都可以写成两个整数之比;而无理数不能。根据这一点,有人建议给无理数摘掉“无理”的帽子,把有理数改叫为“比数”,把无理数改叫为“非比数”。本来嘛,无理数并不是不讲道理,只是人们最初对它不太了解罢了。利用有理数和无理数的主要...

有理数与无理数的定义分别是什么?
2、所有的有理数都可以写成两个整数之比;而无理数不能。根据这一点,有人建议给无理数摘掉“无理”的帽子,把有理数改叫为“比数”,把无理数改叫为“非比数”。本来嘛,无理数并不是不讲道理,只是人们最初对它不太了解罢了。利用有理数和无理数的主要区别,可以证明√2是无理数。

有理数和无理数的关系.
有理数与无理数是并列关系。有理数是整数和分数的集合,整数也可看做是分母为一的分数。有理数的小数部分是有限或为无限循环的数。不是有理数的实数称为无理数,即无理数的小数部分是无限不循环的数。实数包括有理数和无理数。无理数,也称为无限不循环小数,不能写作两整数之比。若将它写成...

如何证明一个数是无理数
无理数是指实数范围内不能表示成两个整数之比的数。[1] 简单的说,无理数就是10进制下的无限不循环小数,如圆周率、√2等。也是开方开不尽的数。而有理数由所有分数,整数组成,总能写成整数、有限小数或无限循环小数,并且总能写成两整数之比,如22\/7等。例如:π 举例证明方法“欧几里得《几何...

怎么判断有理数?
2、无理数不能写成两整数之比,举例不对,1分之根号2,根号2本身就不是整数.利用有理数和无理数的主要区别,可以证明√2是无理数.证明:假设√2不是无理数,而是有理数.既然√2是有理数,它必然可以写成两个整数之比的形式:√2=p\/q 又由于p和q没有公因数可以约去,所以可以认为p\/q 为最简...

如何判断一个数是无理数还是有理数?
能换算成分数的是有理数如2=2\/1,0.1=1\/10等,不能的是无理数,如π,无限不循环小数等。要看根号下的那个数是不是完全平方数,即它能写成另一个数的平方。如果是一个完全平方数,开根号后就是有理数;反之,是无理数。如果根号下是一个分数,得分别对分子、分母进行判别。如果根号下是一...

马尔康县13236532161: 证明一个数是无理数的方法,举例 -
营士瑞欣: 一般采用反正,假设它是有理数,然后把它表示成m/n的形式通过判断不成立,从而证明他不是有理数所以就是无理数

马尔康县13236532161: 无理数的概念 -
营士瑞欣:[答案] 无理数,即非有理数之实数,不能写作两整数之比.若将它写成小数形式,小数点之后的数字有无限多个,并且不会循环.常见的无理数有大部分的平方根、π和e(其中后两者同时为超越数)等.无理数的另一特征是无限的连分数表达式.传说中,无理数...

马尔康县13236532161: 如何判断一个数是无理数? -
营士瑞欣: 无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数,即无限不循环小数. 如圆周率、2的平方根等. 有理数是所有的分数,整数,它们都可以化成有限小数,或无限循环小数.如7/22等. 实数(real munber)分为有理数和无理数(irrational ...

马尔康县13236532161: 如何证明一个数是无理数? -
营士瑞欣: 有理数能表示成分数,无理数却不能不过证明的话因该是不可能的.因为无理数是无限不循环小数要算无限次的话是做不到的所以, 一般来说位数太多而没有规律可循的应该会被当作是无理数吧

马尔康县13236532161: 什么是有理数和无理数? -
营士瑞欣:[答案] 有理数(rational number): 无限不循环小数和开根开不尽的数叫无理数 整数和分数统称为有理数 包括整数和通常所说的分数,此分数亦可表示为有限小数或无限循环小数. 这一定义在数的十进制和其他进位制(如二进制)下都适用. 数学上,有理...

马尔康县13236532161: 如何证明一个数是无理数.请给出尽量多的方法.谢谢. -
营士瑞欣: 这里,你首先要知道想直接证明无理数是不可能的!这里,你只能证明这个数在实数范围内,而且不时有理数!想证明不是有理数,就像是a/b,试图表达,如果不成立,则一个数是无理数 谢谢~

马尔康县13236532161: 无理数的定义是什么?
营士瑞欣: 无理数也称为无限不循环小数,不能写作两整数之比.若将它写成小数形式,小数点之后的数字有无限多个,并且不会循环.常见的无理数有非完全平方数的平方根、π和e...

马尔康县13236532161: 证明2是无理数. -
营士瑞欣:[答案] 证明:用反证法. 假设 2不是无理数,所以 2必为有理数, 设 2= p q(p、q是互质的自然数),两边平方有,p2=2q2,①, 所以p一定是偶数.设p=2m(m是自然数),代入①得 4m2=2q2,q2=2m2, 所以q也是偶数,p、q均为偶数和p与q互质矛盾, 所以 2不...

马尔康县13236532161: 证明根号2是无理数的方法 -
营士瑞欣:[答案] 证明根号2是无理数 如果√2是有理数,必有√2=p/q(p、q为互质的正整数) 两边平方:2=p^/q^ p^=2q^ 显然p为偶数,设p=2k(k为正整数) 有:4k^=2q^,q^=2k^ 显然q业为偶数,与p、q互质矛盾 ∴假设不成立,√2是无理数

马尔康县13236532161: 怎么证明根号5是无理数通俗地说,无理数是不能化为分数的数,严格地说,无理数就是不能写成两个整数比的数.用反证法证明√5是无理数.设√5不是无理... -
营士瑞欣:[答案] 你的推理有错误的.解释如下:对√5那个证明来说, p^2=5q^2(*),看等号右边,q是整数,所以=5q^2必然是5的倍数,既然左右相等,那么 p^2必然也是5的倍数,那么如果p^2是5的倍数,只可能p是5的倍数,所以才有上面的结论.对于你...

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