1+1=2怎么证明

~ 1+1=2背后代表的是自然数公理化的历史。
自然数公理化，最早于1881年，由美国数学家皮尔斯提出，定义如下：
1是最小的数；
x+y，当x=1时，是下一大于y的数，其它情况，是下一个大于x⁻+y的数；
x×y，当x=1时，就是y，其它情况，为y+x⁻y；
其中，x⁻是上一个小于x的数。
因为，减法和除法分别是加法和乘法的逆运算（而且对自然数并不封闭），因此只需要公理化加法和乘法就可以了。
按照皮尔斯公理的定义，1+1是x=1的情况，它的值是下一个大于y=1的数，即，2。
之后，1888年德国数学家戴德金，给出了另外一套公理：
设非空N，给定N中的一个元素e∈N，已经N上的映射S:N→N，若满足：
e不是S的值，即：e∉ranS；
S是单射，即：∀n,m∈N，（S(n)=S(m)）⇒（n=m)；
归纳原理，即，对于任意子集A⊂N，如果e∈N并且若n∈A则S(n)∈A那么A就是N，即：∀A⊂N，(1∈N)∧((1∈N)⇒(S(n)∈A))⇒(A=N)，
则称三元组(N,e,S)是一个自然数系统，N称为自然数集，e称为初始元，S称为后继。
戴德金，从更本质的层次，对自然数进行了公理化，可以通过这套公理，定义自然数的加法和乘法运算从而和皮尔斯公理等价。
但是，这个公理系统表示的有些复杂（当时数理逻辑语言才刚刚建立），于是，没有引人们注意。
注：这里⊂是包含于，真包含于记为⊊。
紧接着第二年，即，1889年，意大利数学家皮亚诺，独立于戴德金，发布了皮亚诺公理：
0是自然数；
任意一个自然数n的后继数n⁺任然是自然数；
0不是任何自然数的后继数；
两个自然数相等当且仅当它们的后继数相等；
对于自然数集的子集A，如果0∈N并且若n∈A则n⁺∈A那么A就是自然数集。
很明显，皮亚诺公理就是戴德金公理的简化版本，因此也称为戴德金-皮亚诺公理。
注：最早，皮亚诺用1作为最小的自然数，并且将等价关系作为公理的一部分，上面是后来的改进版本。
用皮亚诺公理，定义自然数加法如下：
x+0=x
x+y⁺=(x+y)⁺
乘法如下：
x0=0
xy⁺=x+xy
利用上面的加法定义，证明题主的问题：
1+1=1+0⁺=(1+0)⁺=1⁺=2
以上不管是那个公理系统都是抽象的，在不同的数学领域有不同的实例，以皮亚诺公理为例有：
在最古老的算术下：
0=0
x⁺=x+1
在集合论下：
0=Ø
x⁺=x∪{x}
于是有：
1={0},2={0,1},3={0,1,2},...
丘奇数：
0=λ.sλ.zz
x⁺=λ.xλ.sλ.zxs(sz)
于是有：
1=λ.sλ.zsz，2=λ.sλ.zs(sz)，3=λ.sλ.zs(s(sz))
在范畴论下：
设C是一个范畴，1是C的终止对象，于是定义范畴US₁(C)如下，
US₁(C)的对象是一个三元组(X,0ᵪ,Sᵪ)，其中X是C的对象，0ᵪ:1→X和Sᵪ:X→X都是C的态射；
US₁(C)的态射f:(X,0ᵪ,Sᵪ)→(Y,0ᵧ,Sᵧ)就是C态射f:X→Y，并满足：f0ᵪ=0ᵧ并且fSᵪ=Sᵧf，
如果US₁(C)中可以找到一个初始对象(N,0,S)，即，对于任意对象(X,0ᵪ,Sᵪ)，有唯一的态射u:(N,0,S)→(X,0ᵪ,Sᵪ)，则称C满足皮亚诺公理。US₁(C)中每个三元组对象都是一个皮亚诺公理系统。
可以证明这些实例都满足皮亚诺公理定义的条件，因此这些实例都是良定义的。
（由于本人数学水平有限，出错在所难免，欢迎题主和各位老师批评指正！）
二、1+1＝2？哥德巴赫猜想
1、很多人不明白1+1＝2为什么要被证明，这不是常识吗？
然而这个问题背后大有来头，看似简单却又奇妙无比。我来回答一下为什么1＋1＝2需要被证明，以及为什么这么难以被证明。
2、什么是“1+1＝2”
所谓“1+1=2”，其实指的是哥德巴赫猜想，被称为世界近代三大数学难题之一。
1742年，哥德巴赫突发奇想：“任一大于2的整数都可写成三个质数之和。”然而哥德巴赫自己却无法证明，于是就给大名鼎鼎的欧拉写了一封信，提出了他的猜想，希望欧拉帮助他解决这个问题。
然而伟大的欧拉面对这个奇妙猜想，一直到去世，也没有办法给出合理的证明。有意思的是，至今几百年过去了，这道连小学生都能理解的题，却难倒了天下所有数学家。
3、一个激动人心的事实
目前最接近完美证明1＋1＝2的人我国的著名数学家陈景润先生，1966年，陈景润证明了哥德巴赫猜想中的“1+2”理论。这个结论被称为“陈氏定理”，将哥德巴赫猜想的证明大大地推进了一步。
注：在这之前，其他数学家曾从“1+n”逐渐证明到了“1+5”、“1+4”、“1+3”，这也叫筛选法。
而陈景润的“1+2”与“1+1”仅差一步之遥。只要证明了“1+1”理论，哥德巴赫猜想便可以划上一个完美的句号了。
然而，实际上我们距离这个问题的完美证明还有很远的距离。
4、为什么难以被证明
很多人不理解为什么哥德巴赫猜想这么伟大，其实原因就在于这个猜想几乎可以为所有大于2的整数定义。就相当于告诉世人，看，所有的整数都是由质数构成的。
而这，就好像在没有显微镜的时候，突然有人提出原子是构成所有物质的最小要素一样。
证明哥德巴赫猜想的难度，和要在没有显微镜的情况下证明原子是构成万物的难度一样。
5、写在最后
在这个问题下面看到很多不友善的回答，希望题主不用理会，追求真理是一件伟大的事。不过好心提醒一句题主，不要试图自己证明1＋1=2，就算你宣称自己证明成功了，多半还是难免被冠以民科的称呼。
6、这个问题涉及到皮亚诺公理。
五个皮亚诺公理分别是：
（1）0是自然数；
（2）每一个自然数a，都有一个确定的后继数a'，且a’也是自然数；
（3）0不是任何自然数的后继数；
（4）不同自然数有不同的后继数，如果a、b的后继数都是自然数c，那么a=b；
（5）如果集合S是自然数集合N的子集，且满足两个条件：Ι、0属于S；ΙΙ、如果n属于S，那么n的后继数也属于S；那么S就是自然数集，这条公理也叫做归纳公理。
这个公理的第五条描述的比较恶心。鉴于你这个问题我们就讨论第二条就可以
第二条公理中，假设自然数1的后继数为x'，也就是说1+1=x'。然后我们就定义了x'叫做2，也就是说“1+1=2”；当然，你硬要定义为0也行，但是你就需要另外找一个名称，来代替原来的0，不然就和公理（3）矛盾了。
所以1＋1＝2这是人为定义，无需证明，也无法推翻。如果1＋1不等于2，毫不客气的说，当前数学界百分之99以上的定理将全部崩塌，数学就要重新开始。
总结：不过，1＋1还有一个含义，是哥德巴赫猜想的究极体形态。这个猜想目前还没有人可以证明，目前最好的证明是陈景润的1＋2，所以哥德巴赫猜想1＋1目前还无解，我当然也提供不了任何解决的思路。
如您还有其他对特的见解，欢迎留言一起讨论！

1+1=2在目前的数学系统中是不能证的，它是一个经验总结的公理，其他一切定理由它推导而得。1931年哥德尔证明：一个包含公理化的算术的系统中无法证明自己的无矛盾性，也就是说任何相容的形式体系无法证明自身相容性…这就说明像算术这种最简单的公理化命题是无法证明也无法否证的。用目前的数学系统去证明1+1=2就好像用1+1=2去证明1+1=2一样，自身是无法证明自身的正确性的。
In my opinion：
根据 陈氏定理 有
6=2+2*2
即有1+2=3(等式两边同时除以2，等式依然成立）
又3=3*1(一个自然数等于它本身乘以1所得乘积）
又3*1=1+1+1(乘法加法等价性）
根据等量代换有
1+2=3=1+1+1
此时有
1+2=1+1+1（等量代换）
两边同时减去一个相同的量 有
1+2-1=1+1+1-1（等式两别同时减去一个相同的正数，等式依然成立）
两边同时消除单位1
则有 2=1+1
此时有2=1+1
所以又1+1=2（等式的对称性原理）

---

下陆区13294583112： 一加一等于二是如何证明出的? - ？
毕话脑立：[答案] 首先有一组公理叫做皮亚诺(Peano)算术公理.它由以下五条公理组成. 1.0是自然数 2.每一个自然数有一个后继是自然数. ... =(0+1)+ (由加法定义2) =1+ (由加法定义1) =2 (由公理2) 建议楼主去看看里面给出了皮亚诺算术公理.然后定义加法.之后...

下陆区13294583112： 如何证明1+1=2(用数学原理回答)? - ？
毕话脑立：[答案] 证明:1+1=2 数学科洪士薰老师 1.先了解peano 公设:所谓自然数,就是满足下列条件, 1.一集合N 中,有元素n,及后续元素n+,n+与n 对应. 2.元素e 必定属于N 中. 3.元素e 在N 中不为任一元素的后续元素. 4.N 中的元素,a+=b+则a=b.(元素唯一)...

下陆区13294583112： 怎么证明一加一等于二呢 - ？
毕话脑立：[答案] 1+1=2这是数学公理系统规定的基本公理,不需要证明. 1+1=2 (十进制运算) 1+1=10(二进制运算) 1+1=1(逻辑运算) 一加一等于田、王(智力游戏)

下陆区13294583112： 如何证明1+1=2? - ？
毕话脑立： 呵呵,其实不是你想的那样的. 所谓的“1+1”或“1+2”都只是个简称.哥德巴赫猜想说的是,任何一个大于 6的偶数都可以表示成两个素数之和,通常表示为“1+1”.我国数学家陈景润于1966年证明:任何充分大的偶数,都是一个质数与...

下陆区13294583112： 1+1=2怎么证明?华罗庚的证明方法 - ？
毕话脑立：[答案] 1+1就是指哥德巴赫猜想,就是每一个大于等于6的偶数都可以表示为两个奇素数的和. 关于哥德巴赫猜想,现在还没有解决,目前最好的结果是陈景润所证明的1+2,即每一个充分大的偶数可以表示成两个奇数的和,这两个奇数中一个是素数,另一...

下陆区13294583112： 1+1=2的详细证明过程?(整齐一点哦) - ？
毕话脑立：[答案] 如果你指的是1+1=2的话,那是基于皮亚诺的自然数公理,不证自明 如果你指的是陈景润研究的那个哥德巴赫猜想(任何充分大的偶数均能分成两个质数之和),很可惜现在也无人能证明,陈景润证出的不过是一个弱化了的命题……

下陆区13294583112： 用最简单的方法证明1+1=2,谁可以?这是证明题.简单而且没法反驳. - ？
毕话脑立：[答案] 1+2=3 〈1〉 2+2=4 〈2〉 1+3=4 〈3〉这三个等式早已经被证明 相信您已经知道怎么做了 但是我还是要来罗嗦一下拉 第一步 〈1〉+〈3〉得到 1+2+1+3=3+4 第二 化简(去掉式子两边相同的数字)得 1+1+2=4 〈4〉 第三用〈2〉式代换〈4〉右边...

下陆区13294583112： 如何证明数学难题1+1=2? - ？
毕话脑立：[答案] 1+1=2,从纯粹不附加任何条件来看的..要说为什么..首先,这两个1是不一样的..第一,第一个1是单位元..(抽象点说,对于运算+和*来说,0和1分别是它们的单位元,因为加0和乘1是不改变数的..更加抽象地说,“+”和“*”都可以...

下陆区13294583112： 1+1=2数学家是怎么证明的 - ？
毕话脑立： 首先,哥德巴赫猜想并不是证明1+1=2.1+1=2运用了借代的修辞手法,给予了哥德巴赫猜想一个易记的名称. 楼主问的是哥德巴赫猜想,则我无法回答. 若是问该等式为什么成立,请先给出1的定义,2的定义

下陆区13294583112： 1+1=2是公理,如何证明,如果是用公理证明,那证明它的公理还需证明,最终证明它的是什么呢? - ？
毕话脑立：[答案] 公理有规定的含意,无需证明!规定把一个苹果与另一个苹果放在一起共有两个苹果,这一过程就叫加法,且1+1=2.