1+1=2怎么证明
自然数公理化,最早于1881年,由美国数学家皮尔斯提出,定义如下:
1是最小的数;
x+y,当x=1时,是下一大于y的数,其它情况,是下一个大于x⁻+y的数;
x×y,当x=1时,就是y,其它情况,为y+x⁻y;
其中,x⁻是上一个小于x的数。
因为,减法和除法分别是加法和乘法的逆运算(而且对自然数并不封闭),因此只需要公理化加法和乘法就可以了。
按照皮尔斯公理的定义,1+1是x=1的情况,它的值是下一个大于y=1的数,即,2。
之后,1888年德国数学家戴德金,给出了另外一套公理:
设非空N,给定N中的一个元素e∈N,已经N上的映射S:N→N,若满足:
e不是S的值,即:e∉ranS;
S是单射,即:∀n,m∈N,(S(n)=S(m))⇒(n=m);
归纳原理,即,对于任意子集A⊂N,如果e∈N并且若n∈A则S(n)∈A那么A就是N,即:∀A⊂N,(1∈N)∧((1∈N)⇒(S(n)∈A))⇒(A=N),
则称三元组(N,e,S)是一个自然数系统,N称为自然数集,e称为初始元,S称为后继。
戴德金,从更本质的层次,对自然数进行了公理化,可以通过这套公理,定义自然数的加法和乘法运算从而和皮尔斯公理等价。
但是,这个公理系统表示的有些复杂(当时数理逻辑语言才刚刚建立),于是,没有引人们注意。
注:这里⊂是包含于,真包含于记为⊊。
紧接着第二年,即,1889年,意大利数学家皮亚诺,独立于戴德金,发布了皮亚诺公理:
0是自然数;
任意一个自然数n的后继数n⁺任然是自然数;
0不是任何自然数的后继数;
两个自然数相等当且仅当它们的后继数相等;
对于自然数集的子集A,如果0∈N并且若n∈A则n⁺∈A那么A就是自然数集。
很明显,皮亚诺公理就是戴德金公理的简化版本,因此也称为戴德金-皮亚诺公理。
注:最早,皮亚诺用1作为最小的自然数,并且将等价关系作为公理的一部分,上面是后来的改进版本。
用皮亚诺公理,定义自然数加法如下:
x+0=x
x+y⁺=(x+y)⁺
乘法如下:
x0=0
xy⁺=x+xy
利用上面的加法定义,证明题主的问题:
1+1=1+0⁺=(1+0)⁺=1⁺=2
以上不管是那个公理系统都是抽象的,在不同的数学领域有不同的实例,以皮亚诺公理为例有:
在最古老的算术下:
0=0
x⁺=x+1
在集合论下:
0=Ø
x⁺=x∪{x}
于是有:
1={0},2={0,1},3={0,1,2},...
丘奇数:
0=λ.sλ.zz
x⁺=λ.xλ.sλ.zxs(sz)
于是有:
1=λ.sλ.zsz,2=λ.sλ.zs(sz),3=λ.sλ.zs(s(sz))
在范畴论下:
设C是一个范畴,1是C的终止对象,于是定义范畴US₁(C)如下,
US₁(C)的对象是一个三元组(X,0ᵪ,Sᵪ),其中X是C的对象,0ᵪ:1→X和Sᵪ:X→X都是C的态射;
US₁(C)的态射f:(X,0ᵪ,Sᵪ)→(Y,0ᵧ,Sᵧ)就是C态射f:X→Y,并满足:f0ᵪ=0ᵧ并且fSᵪ=Sᵧf,
如果US₁(C)中可以找到一个初始对象(N,0,S),即,对于任意对象(X,0ᵪ,Sᵪ),有唯一的态射u:(N,0,S)→(X,0ᵪ,Sᵪ),则称C满足皮亚诺公理。US₁(C)中每个三元组对象都是一个皮亚诺公理系统。
可以证明这些实例都满足皮亚诺公理定义的条件,因此这些实例都是良定义的。
(由于本人数学水平有限,出错在所难免,欢迎题主和各位老师批评指正!)
二、1+1=2?哥德巴赫猜想
1、很多人不明白1+1=2为什么要被证明,这不是常识吗?
然而这个问题背后大有来头,看似简单却又奇妙无比。我来回答一下为什么1+1=2需要被证明,以及为什么这么难以被证明。
2、什么是“1+1=2”
所谓“1+1=2”,其实指的是哥德巴赫猜想,被称为世界近代三大数学难题之一。
1742年,哥德巴赫突发奇想:“任一大于2的整数都可写成三个质数之和。”然而哥德巴赫自己却无法证明,于是就给大名鼎鼎的欧拉写了一封信,提出了他的猜想,希望欧拉帮助他解决这个问题。
然而伟大的欧拉面对这个奇妙猜想,一直到去世,也没有办法给出合理的证明。有意思的是,至今几百年过去了,这道连小学生都能理解的题,却难倒了天下所有数学家。
3、一个激动人心的事实
目前最接近完美证明1+1=2的人我国的著名数学家陈景润先生,1966年,陈景润证明了哥德巴赫猜想中的“1+2”理论。这个结论被称为“陈氏定理”,将哥德巴赫猜想的证明大大地推进了一步。
注:在这之前,其他数学家曾从“1+n”逐渐证明到了“1+5”、“1+4”、“1+3”,这也叫筛选法。
而陈景润的“1+2”与“1+1”仅差一步之遥。只要证明了“1+1”理论,哥德巴赫猜想便可以划上一个完美的句号了。
然而,实际上我们距离这个问题的完美证明还有很远的距离。
4、为什么难以被证明
很多人不理解为什么哥德巴赫猜想这么伟大,其实原因就在于这个猜想几乎可以为所有大于2的整数定义。就相当于告诉世人,看,所有的整数都是由质数构成的。
而这,就好像在没有显微镜的时候,突然有人提出原子是构成所有物质的最小要素一样。
证明哥德巴赫猜想的难度,和要在没有显微镜的情况下证明原子是构成万物的难度一样。
5、写在最后
在这个问题下面看到很多不友善的回答,希望题主不用理会,追求真理是一件伟大的事。不过好心提醒一句题主,不要试图自己证明1+1=2,就算你宣称自己证明成功了,多半还是难免被冠以民科的称呼。
6、这个问题涉及到皮亚诺公理。
五个皮亚诺公理分别是:
(1)0是自然数;
(2)每一个自然数a,都有一个确定的后继数a',且a’也是自然数;
(3)0不是任何自然数的后继数;
(4)不同自然数有不同的后继数,如果a、b的后继数都是自然数c,那么a=b;
(5)如果集合S是自然数集合N的子集,且满足两个条件:Ι、0属于S;ΙΙ、如果n属于S,那么n的后继数也属于S;那么S就是自然数集,这条公理也叫做归纳公理。
这个公理的第五条描述的比较恶心。鉴于你这个问题我们就讨论第二条就可以
第二条公理中,假设自然数1的后继数为x',也就是说1+1=x'。然后我们就定义了x'叫做2,也就是说“1+1=2”;当然,你硬要定义为0也行,但是你就需要另外找一个名称,来代替原来的0,不然就和公理(3)矛盾了。
所以1+1=2这是人为定义,无需证明,也无法推翻。如果1+1不等于2,毫不客气的说,当前数学界百分之99以上的定理将全部崩塌,数学就要重新开始。
总结:不过,1+1还有一个含义,是哥德巴赫猜想的究极体形态。这个猜想目前还没有人可以证明,目前最好的证明是陈景润的1+2,所以哥德巴赫猜想1+1目前还无解,我当然也提供不了任何解决的思路。
如您还有其他对特的见解,欢迎留言一起讨论!
1+1=2在目前的数学系统中是不能证的,它是一个经验总结的公理,其他一切定理由它推导而得。1931年哥德尔证明:一个包含公理化的算术的系统中无法证明自己的无矛盾性,也就是说任何相容的形式体系无法证明自身相容性…这就说明像算术这种最简单的公理化命题是无法证明也无法否证的。用目前的数学系统去证明1+1=2就好像用1+1=2去证明1+1=2一样,自身是无法证明自身的正确性的。
In my opinion:
根据 陈氏定理 有
6=2+2*2
即有1+2=3(等式两边同时除以2,等式依然成立)
又3=3*1(一个自然数等于它本身乘以1所得乘积)
又3*1=1+1+1(乘法加法等价性)
根据等量代换有
1+2=3=1+1+1
此时有
1+2=1+1+1(等量代换)
两边同时减去一个相同的量 有
1+2-1=1+1+1-1(等式两别同时减去一个相同的正数,等式依然成立)
两边同时消除单位1
则有 2=1+1
此时有2=1+1
所以又1+1=2(等式的对称性原理)
如何证明1=2?
设a和b是两个相等的正数 那么 a²=ab a²-b²=ab-b²(a+b)(a-b)=b(a-b)a+b=b 但 a=b 即 2b=b ∴2=1 由于 a=b 得 a²=ab(这是根据等量公理)a²-b²=ab-b²(这也是根据等量公理)(a+b)(a-b)=b(a-b)(根据...
求1=2的证明?
例:如果设a=b,且a,b>0,证1=2 证明:①a,b>0 (已知)②a=b (已知)③ab=bb (第2步“=”的两边同“×b”)④ab-aa=bb-aa (第3步“=”的两边同“-aa”)⑤a(b-a)=(b+a)(b-a)(第4步的两边同时分解因式)⑥a=(b+a)(第5步“=”的两边同“÷(b-a)”)⑦a=a+a (第2...
利用数学证明1=2
构造S=1+1+1+1+1+...错位S=0+1+1+1+1+...相减0=1+0+0+0+0+...所以0=1 构造B=2+2+2+2+2+...错位B=0+2+2+2+2+...相减0=2+0+0+0+0+...所以0=2 所以1=2 证明完毕。声明:我不是民科,这个证明我是从某贴吧从某民科言论复制粘贴过来的!
1=2的证明
a=b 所以a-b=0。不能除以等于0的数。一个数除以零可以的任意数。因此这是没意义的
用数学推理1=2
1只能在算错的情况下才能等于2,但是不乏一些诡辩之辞,可是所有证明出1=2的过程都是有破绽的。新加坡留学大师 给出的悖论,问题出在随机模型不明确,因为这个不明确的随机模型,导致了每种证明方式随机样本的不同,各种证明方式不过是从不同的角度先入为主的给随机模型一个默认的定义,导致了最后结论...
“1=2”的证明哪里出了问题?
第6步有问题啊~等式两边同除b-a,根据已知条件a=b,所以b-a=0,任何数除以0都变得没有意义了。(任何数除以0得无限大)
诡辩题,证明2=1?
曽经看到过这个证明,好像是这样的:设 a=b, 两边乘a, 得 a*a=a*b , 两边减 b*b a*a-b*b= a*b-b*b a^2-b^2 = ab - b^2 (a+b)(a-b)= b(a-b) , 约去(a-b)a+b = b 由假设 a=b 2b=b, 约去b, 得 2=1 哈哈,其中是有谬误的, 大家找找吧。
怎么求证角1等于角2呢
证明:∵ O是△ABC三条角平分线的交点 ∴ ∠OAC = ∠BAO,∠OCA = ∠OCE,∠DBO = ∠ABO ∵ 三角形内角和为180° ∴ ∠BAC + ∠ACB + ∠ABC = 180° ∴ ∠ABO + ∠BAO + ∠OCD = 90° 又 ∵ OE⊥BC ∴ △OEC为Rt△ ∴ ∠2 + ∠OCE = 90° 又由图可知,∠1是△...
如何证明2=1!
2不等于1!;1!=1 关于1加1为什么等于2,因为2被定义为1+1,即2=1+1,根据等式互换原则,左右互换,等式仍然成立,所以可以得出,1+1=2。!在数学上表示阶乘。
怎么求证角1等于角2呢
怎么求证角1等于角2呢证明:∵ O是△ABC三条角平分线的交点 ∴∠OAC =∠BAO,∠OCA =∠OCE,∠DBO =∠ABO ∵ 三角形内角和为180° ∴∠BAC + ∠ACB + ∠ABC = 180° ∴∠ABO + ∠BAO
毕话脑立:[答案] 首先有一组公理叫做皮亚诺(Peano)算术公理.它由以下五条公理组成. 1.0是自然数 2.每一个自然数有一个后继是自然数. ... =(0+1)+ (由加法定义2) =1+ (由加法定义1) =2 (由公理2) 建议楼主去看看里面给出了皮亚诺算术公理.然后定义加法.之后...
下陆区13294583112: 如何证明1+1=2(用数学原理回答)? - ?
毕话脑立:[答案] 证明:1+1=2 数学科洪士薰老师 1.先了解peano 公设:所谓自然数,就是满足下列条件, 1.一集合N 中,有元素n,及后续元素n+,n+与n 对应. 2.元素e 必定属于N 中. 3.元素e 在N 中不为任一元素的后续元素. 4.N 中的元素,a+=b+则a=b.(元素唯一)...
下陆区13294583112: 怎么证明一加一等于二呢 - ?
毕话脑立:[答案] 1+1=2这是数学公理系统规定的基本公理,不需要证明. 1+1=2 (十进制运算) 1+1=10(二进制运算) 1+1=1(逻辑运算) 一加一等于田、王(智力游戏)
下陆区13294583112: 如何证明1+1=2? - ?
毕话脑立: 呵呵,其实不是你想的那样的. 所谓的“1+1”或“1+2”都只是个简称.哥德巴赫猜想说的是,任何一个大于 6的偶数都可以表示成两个素数之和,通常表示为“1+1”.我国数学家陈景润于1966年证明:任何充分大的偶数,都是一个质数与...
下陆区13294583112: 1+1=2怎么证明?华罗庚的证明方法 - ?
毕话脑立:[答案] 1+1就是指哥德巴赫猜想,就是每一个大于等于6的偶数都可以表示为两个奇素数的和. 关于哥德巴赫猜想,现在还没有解决,目前最好的结果是陈景润所证明的1+2,即每一个充分大的偶数可以表示成两个奇数的和,这两个奇数中一个是素数,另一...
下陆区13294583112: 1+1=2的详细证明过程?(整齐一点哦) - ?
毕话脑立:[答案] 如果你指的是1+1=2的话,那是基于皮亚诺的自然数公理,不证自明 如果你指的是陈景润研究的那个哥德巴赫猜想(任何充分大的偶数均能分成两个质数之和),很可惜现在也无人能证明,陈景润证出的不过是一个弱化了的命题……
下陆区13294583112: 用最简单的方法证明1+1=2,谁可以?这是证明题.简单而且没法反驳. - ?
毕话脑立:[答案] 1+2=3 〈1〉 2+2=4 〈2〉 1+3=4 〈3〉这三个等式早已经被证明 相信您已经知道怎么做了 但是我还是要来罗嗦一下拉 第一步 〈1〉+〈3〉得到 1+2+1+3=3+4 第二 化简(去掉式子两边相同的数字)得 1+1+2=4 〈4〉 第三用〈2〉式代换〈4〉右边...
下陆区13294583112: 如何证明数学难题1+1=2? - ?
毕话脑立:[答案] 1+1=2,从纯粹不附加任何条件来看的..要说为什么..首先,这两个1是不一样的..第一,第一个1是单位元..(抽象点说,对于运算+和*来说,0和1分别是它们的单位元,因为加0和乘1是不改变数的..更加抽象地说,“+”和“*”都可以...
下陆区13294583112: 1+1=2数学家是怎么证明的 - ?
毕话脑立: 首先,哥德巴赫猜想并不是证明1+1=2.1+1=2运用了借代的修辞手法,给予了哥德巴赫猜想一个易记的名称. 楼主问的是哥德巴赫猜想,则我无法回答. 若是问该等式为什么成立,请先给出1的定义,2的定义
下陆区13294583112: 1+1=2是公理,如何证明,如果是用公理证明,那证明它的公理还需证明,最终证明它的是什么呢? - ?
毕话脑立:[答案] 公理有规定的含意,无需证明!规定把一个苹果与另一个苹果放在一起共有两个苹果,这一过程就叫加法,且1+1=2.