有关高中数列的典型例题
一、
等差数列
如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差常用字母d表示。
等差数列的通项公式为:
an=a1+(n-1)d
(1)
前n项和公式为:
Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2(2)
从(1)式可以看出,an是n的一次数函(d≠0)或常数函数(d=0),(n,an)排在一条直线上,由(2)式知,Sn是n的二次函数(d≠0)或一次函数(d=0,a1≠0),且常数项为0。
在等差数列中,等差中项:一般设为Ar,Am+An=2Ar,所以Ar为Am,An的等差中项。
,
且任意两项am,an的关系为:
an=am+(n-m)d
它可以看作等差数列广义的通项公式。
从等差数列的定义、通项公式,前n项和公式还可推出:
a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1,k∈
若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则有
am+an=ap+aq
Sm-1=(2n-1)an,S2n+1=(2n+1)an+1
Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…,Snk-S(n-1)k…或等差数列,等等。
和=(首项+末项)*项数÷2
项数=(末项-首项)÷公差+1
首项=2和÷项数-末项
末项=2和÷项数-首项
项数=(末项-首项)/公差+1
例题:已知是等差数列,a2=8,S10=185,从数列中依次取出偶数项组成一个新的数列,求数列的通项公式
解:(Ⅰ)设首项为a1,公差为d,则
a1+d=8
10(2a1+9d)/2=185,解得
a1=5
d=3
∴an=5+3(n-1),即an=3n+2
(Ⅱ)设b1=a2,b2=a4,b3=a8,
则bn=a2^n
=
3×2^n+2
二
等比数列
如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示。
(1)等比数列的通项公式是:An=A1*q^(n-1)
(2)前n项和公式是:Sn=[A1(1-q^n)]/(1-q)
且任意两项am,an的关系为an=am·qn-m
(3)从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出:
a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1,k∈
(4)若m,n,p,q∈N*,则有:ap·aq=am·an,
等比中项:aq·ap=2ar
ar则为ap,aq等比中项。
记πn=a1·a2…an,则有π2n-1=(an)2n-1,π2n+1=(an+1)2n+1
另外,一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列;反之,以任一个正数C为底,用一个等差数列的各项做指数构造幂Can,则是等比数列。在这个意义下,我们说:一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。
性质:
①若
m、n、p、q∈N,且m+n=p+q,则am·an=ap*aq;
②在等比数列中,依次每
k项之和仍成等比数列.
“G是a、b的等比中项”“G^2=ab(G≠0)”.
在等比数列中,首项A1与公比q都不为零.
注意:上述公式中A^n表示A的n次方。
例题:前n项和为s=3^n+a
当a为多少时
an为等比数列
解:
当n>1时,
Sn=3^n+a
Sn-1=3^(n-1)+a
故an=Sn-Sn-1=3^n-3^(n-1)=2*3^(n-1)
所以an应该是以2为首项,3为公比的等比数列,但这是n>1的情况,必须保证n=1也符合上面的通项公式.
所以a1=2*3^0=2……(1)
又S1=a1=3^1+a……(2)
根据(1)(2)式得
a=-1
你没有Sn的定义,Bn是求不出来的,而且你求的a肯定是求不出来的,因为这个问题里没有a,有的是a1,a2,....an
一、 等差数列如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差常用字母d表示。
等差数列的通项公式为:
an=a1+(n-1)d (1)
前n项和公式为:
Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2(2)
从(1)式可以看出,an是n的一次数函(d≠0)或常数函数(d=0),(n,an)排在一条直线上,由(2)式知,Sn是n的二次函数(d≠0)或一次函数(d=0,a1≠0),且常数项为0。
在等差数列中,等差中项:一般设为Ar,Am+An=2Ar,所以Ar为Am,An的等差中项。
,
且任意两项am,an的关系为:
an=am+(n-m)d
它可以看作等差数列广义的通项公式。
从等差数列的定义、通项公式,前n项和公式还可推出:
a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1,k∈
若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则有
am+an=ap+aq
Sm-1=(2n-1)an,S2n+1=(2n+1)an+1
Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…,Snk-S(n-1)k…或等差数列,等等。
和=(首项+末项)*项数÷2
项数=(末项-首项)÷公差+1
首项=2和÷项数-末项
末项=2和÷项数-首项
项数=(末项-首项)/公差+1
例题:已知是等差数列,a2=8,S10=185,从数列中依次取出偶数项组成一个新的数列,求数列的通项公式
解:(Ⅰ)设首项为a1,公差为d,则 a1+d=8
10(2a1+9d)/2=185,解得 a1=5 d=3
∴an=5+3(n-1),即an=3n+2
(Ⅱ)设b1=a2,b2=a4,b3=a8,
则bn=a2^n = 3×2^n+2
二 等比数列
如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示。
(1)等比数列的通项公式是:An=A1*q^(n-1)
(2)前n项和公式是:Sn=[A1(1-q^n)]/(1-q)
且任意两项am,an的关系为an=am·qn-m
(3)从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出: a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1,k∈
(4)若m,n,p,q∈N*,则有:ap·aq=am·an,
等比中项:aq·ap=2ar ar则为ap,aq等比中项。
记πn=a1·a2…an,则有π2n-1=(an)2n-1,π2n+1=(an+1)2n+1
另外,一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列;反之,以任一个正数C为底,用一个等差数列的各项做指数构造幂Can,则是等比数列。在这个意义下,我们说:一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。
性质:
①若 m、n、p、q∈N,且m+n=p+q,则am·an=ap*aq;
②在等比数列中,依次每 k项之和仍成等比数列.
“G是a、b的等比中项”“G^2=ab(G≠0)”.
在等比数列中,首项A1与公比q都不为零.
注意:上述公式中A^n表示A的n次方。
例题:前n项和为s=3^n+a 当a为多少时 an为等比数列
解:
当n>1时,
Sn=3^n+a
Sn-1=3^(n-1)+a
故an=Sn-Sn-1=3^n-3^(n-1)=2*3^(n-1)
所以an应该是以2为首项,3为公比的等比数列,但这是n>1的情况,必须保证n=1也符合上面的通项公式.
所以a1=2*3^0=2……(1)
又S1=a1=3^1+a……(2)
根据(1)(2)式得
a=-1
高中数学 根据递推关系求通项 构造等比数列求通项 典型题
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等比数列是什么?如何求和
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连云区18983833459: 一道关于高中数学等比数列的题已知等比数列{a的第n项}的前n项和Sn=(2^n) - 1,则a1方+a2方+a3方+……+(a的第n项)方=? - ?
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连云区18983833459: 需要一些数列方面的典型题目越多越好,最好能带解答.不带也可以~就这样 - ?
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连云区18983833459: 哪位高人帮我列一下高中数学常见的数列题型 - ?
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长孙狗奥广:[答案] 归纳:An=A1+(A2-A1)+.+(An-An-1) 你要倒过来看就会明白了.An=(An-An-1)+(An-1-An-2)+.+(A2-A1)+A1 例题:若数列An满足A1=1,An=3^n-1(3的n-1次方)+An-1,n>=2. 求A2,A3;证明An=二分之3^n-1(二分之3的N次方减1)[解析]因为A1=1,所以A...
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连云区18983833459: 求高中数列问题的解题思想例题:等差数列D不为0,a4是a3与a7的等比中项,S8等于32,求S10.例2:{an}是公差不为0的差数列,a=2且a1a2a6成等比数列,... - ?
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连云区18983833459: 高中数学数列常见题型 - ?
长孙狗奥广:[答案] 如果是高考的数列题型,可以参考近3年的所在省份的高考题. 如果普通的高中数列题,下面是本人回答过的一些数列题型, 可以参考一下(有两个链接内容是一样的):