已知A=[aij]n*n,其中aij=1(i=1,2,…,n;j=1,2,…,n),求可逆阵P，使P的逆乘以A再乘以P=对角阵。

n阶矩阵A=(aij)n×n.其中aij=1 i.j=1 2…n。证明A可对角~

n阶矩阵A=(aij)n×n.其中aij=1 i.j=1 2…n。

说明A的元素全为1，它显然是对称的，而对称矩阵必定可以对角化（一般教材中均有此结论）

但是我猜提问者还会不满足，那么就展开多说几句：

如果能够证明A有n个线性无关的特征向量w1，w2，。。。wn（克赛敲不出，凑合吧），即可证明A可对角

因为假设这n个特征向量对应的特征值分别为t1，t2，。。。，tn（兰姆达敲不出，别苛责；还要注意ti中可能有相同的，本题中t1=n，t2=t3=tn=0，为什么，请往下看），则有Awi=ti×wi，i=1，2，。。。，n

合并起来，就有
A(w1，w2，。。。，wn)
=（Aw1，Aw2，。。。，Awn）
=(t1w1，t2w2，。。。，tnwn)
=（w1，w2，。。。，wn）×对角阵T

注意
首尾就是A(w1，w2，。。。，wn)=（w1，w2，。。。，wn）×对角阵T （*）


其中对角阵T对角线上元素依次为t1，t2，。。。，tn

因为w1，w2，。。。，wn线性无关，它们组成的矩阵(w1，w2，。。。，wn)可逆，从而（*）式子两边同时左乘矩阵(w1，w2，。。。，wn)的逆矩阵，就得到

(w1，w2，。。。，wn)的逆×A×（w1，w2，。。。，wn)=对角阵T


这就说明A可以对角化



好了，闲话休提，下面就尝试求出A的特征值，为什么t1=n，t2=t3=tn=0

还有为什么A有n个线性无关的特征向量w1，w2，。。。wn，均在下面给出证明

求特征值的方法一：用E代表单位矩阵

写出特征方程|tE-A|=0，求出特征值

|t-1 -1 -1 。。。 -1 -1 |
|-1 t-1 -1 。。。 -1 -1 |
| 。。。 。。。 。。。 |=0，各列都加到首列上，得到
|-1 -1 -1 。。。 t-1 -1 |
|-1 -1 -1 。。。 -1 t-1 |

|t-n -1 -1 。。。 -1 -1 |
|t-n t-1 -1 。。。 -1 -1 |
| 。。。 。。。 。。。 |=0，提取首列公因子t-n，得到
|t-n -1 -1 。。。 t-1 -1 |
|t-n -1 -1 。。。 -1 t-1 |

|1 -1 -1 。。。 -1 -1 |
|1 t-1 -1 。。。 -1 -1 |
| 。。。 。。。 。。。 |×（t-n）=0，
|1 -1 -1 。。。 t-1 -1 |
|1 -1 -1 。。。 -1 t-1 |


用首行的-1倍分别加到其下各行上，得到

|1 -1 -1 。。。 -1 -1 |
|0 t 0 。。。 0 0 |
| 。。。 。。。 。。。 |×（t-n）=0，
|0 0 0 。。。 t 0 |
|0 0 0 。。。 0 t |


得到上三角行列式，整理得[t^(n-1)]×(t-n)=0


解之得A的特征值为n（1重），0（n-1重）

求特征值的方法二：

因为A的特殊构造，可以取巧求其特征值：A中元素全为1，

它相似于对角阵，且该对角阵上元素即为A的n个特征值，

A和该对角阵的秩相等，显然A的秩为1（直接用秩的定义：非零子式最高阶数或者通过初等行变换均可），从而对角阵的秩也为1，说明对角阵的对角元素为n-1个零和一个非零数，该数可以通过两个相似矩阵的迹（对角线元素之和）相等

得到，A的迹为n，从而对角阵上非零数是n

因此，A的n个特征值为n（1重），0（n-1重）


最后再求A的n个特征向量，并说明它们线性无关：


当t=n时，求对应n的特征向量

就是求解（nE-A）x=0

（n-1 -1 -1 。。。 -1 -1 ） （x1 ）
（-1 n-1 -1 。。。 -1 -1 ） （x2 ）
（ 。。。 。。。 。。。 ）× （x3 ）=0向量
（-1 -1 -1 。。。 n-1 -1 ） （。 ）
（-1 -1 -1 。。。 -1 n-1 ） （。 ）
（。 ）
（xn-1 ）
（xn ）

求解该方程组，也是可以利用行变换，得到一个非零解向量

我敲字太累了，以下过程（包括求出t=0所对应的特征向量，应该可以得到n-1个无关的）省略。。。

以上两组解向量（1个和n-1个）对应不同的特征值合起来也是无关的，因此。。。。

假定你的Aij表示代数余子式，结论里的是R(A)而不是R(a)
条件即adj(A)=A^T≠0
由adj(A)≠0得R(A)>=n-1

当n>2时，如果R(A)=n-1，那么R(adj(A))=1，矛盾，所以R(A)=n
当n=2时直接算出det(A)就行了

n阶矩阵A=(aij)n×n.其中aij=1 i.j=1 2…n。

对角矩阵(diagonal matrix)是一个主对角线之外的元素皆为0的矩阵，常写为diag（a1，a2,...,an) 。对角矩阵可以认为是矩阵中最简单的一种，值得一提的是。

对角线上的元素可以为 0 或其他值，对角线上元素相等的对角矩阵称为数量矩阵；对角线上元素全为1的对角矩阵称为单位矩阵。对角矩阵的运算包括和、差运算、数乘运算、同阶对角阵的乘积运算，且结果仍为对角阵。

数值分析的主要分支致力于开发矩阵计算的有效算法，这是一个已持续几个世纪以来的课题，是一个不断扩大的研究领域。 矩阵分解方法简化了理论和实际的计算。 针对特定矩阵结构（如稀疏矩阵和近角矩阵）定制的算法在有限元方法和其他计算中加快了计算。

无限矩阵发生在行星理论和原子理论中。 无限矩阵的一个简单例子是代表一个函数的泰勒级数的导数算子的矩阵。

A的特征值为 n, 0,...,0
A-nE =
1-n 1 ... 1
1 1-n ... 1
...
1 1 ... 1-n

r1+r2+...+rn --第一行化为0行
ri - rn, i=2,3,...,n-1
0 0 0 ... 0
0 -n 0 ... n
0 0 -n ... n
...
1 1 1 ... 1-n

ri * (-1/n)
0 0 0 ... 0
0 1 0 ... -1
0 0 1 ... -1
...
1 1 1 ... 1-n

rn - r2 - r3 - ... -rn-1
0 0 0 ... 0
0 1 0 ... -1
0 0 1 ... -1
...
1 0 0 ... -1

所以 (1,1,...,1)^T 是A的属于特征值 n 的特征向量.

化是这样化, 但这样太笨了, 下面是特殊做法:
A是秩为1的矩阵, A = (1,1,...,1)^T (1,1,...,1) = ab^T 形式
则 b^Ta = n 是A 的特征值, a=(1,...,1)^T 是 A=ab^T 的特征向量.

这是由于 Aa = ab^Ta = na

首先特征值为n和0。
特征值为0对应的特征向量满足
A.x=0
x1+x2+...+xn=0
x有(n-1)个线性独立解，比如(1,-1,0,...,0)，(1,0,-1,0,...,0)...(1,0,...,0,-1)共n-1个
特征值为n对应的特征向量满足
Ax=nx
x1+x2+....+x_n=n*x_m，其中m=1,...,n
所以x=(1,...,1)

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浔阳区13664956912： 已知A=[aij]n*n,其中aij=1(i=1,2,…,n;j=1,2,…,n),求可逆阵P,使P的逆乘以A再乘以P=对角阵.已知A=[aij]n*n,其中aij=1(i=1,2,…,n;j=1,2,…,n),求可逆阵... - ？
职眉甲磺：[答案] A的特征值为 n, 0,...,0A-nE =1-n 1 ... 11 1-n ... 1...1 1 ... 1-n r1+r2+...+rn --第一行化为0行ri - rn, i=2,3,...,n-10 0 0 ... 00 -n 0 ... n0 0 -n ... n...1 1 1 ... 1-n ri * (-1/n)0 0 0 ... 0...

浔阳区13664956912： 高等代数度量矩阵问题 - ？
职眉甲磺： 我知道!!度量矩阵的定义是:取定n维欧式空间的基,a1,...,an.写矩阵A=(aij)n*n,其中aij=(ai,aj)(这是一个内积);在欧式空间可见度量矩阵是一个对称矩阵.那么我们只要做出上三角部分,利用对称性就可以得到整个了.2 0 2/30 2/3 02/3 0 2/5

浔阳区13664956912： 设A=(aij)n*n为实矩阵,n元二次型f(x1,x2,...,xn)=(ai1x1+ai2x2+...+ainxn)^2 证明:f的矩阵为A^TA - ？
职眉甲磺： 证明: 设αi=(ai1,...,ain) --A的第i行 则 A=(α1;...;αn) --竖着写, 分号表示换行 则 A^T=(α1^T,...,αn^T) 所以 A^TA=(α1^T,...,αn^T)(α1;...;αn)=∑αi^Tαi 记 X=(x1,...,xn)^T 则 αiX=X^Tαi^T=ai1x1+ai2x2+...+ainxn 所以 f(x1,x2,...,xn) = ∑(ai1x1+ai2x2+...+ainxn)^2 = ∑ (αiX)^2 = ∑ αiXαiX = ∑ X^Tαi^TαiX = X^T(∑αi^Tαi)X = X^T(A^TA)X 即有f的矩阵为A^TA.

浔阳区13664956912： 设A=(aij)n*n为实矩阵,n元二次型f(x1,x2,...,xn)=(ai1x1+ai2x2+...+ainxn)^2 证明:f的矩阵为A^TA - ？
职眉甲磺：[答案] 证明: 设αi=(ai1,...,ain) --A的第i行则 A=(α1;...;αn) --竖着写, 分号表示换行则 A^T=(α1^T,...,αn^T)所以 A^TA=(α1^T,...,αn^T)(α1;...;αn)=∑αi^Tαi记 X=(x1,...,xn)^T则 αiX=X^Tαi^T=ai1x1+ai2x2...

浔阳区13664956912： 已知矩阵A=(aij)n*n aij∈R, 对任意的α∈Rn - ？
职眉甲磺： 题目有小问题,还应要求要求a不是零向量.在此条件下,证明 (1)对任意i=1,2,...,n;有aii>∑[j=1 to n j≠i] |aij| (2)|A|>0(1)的证明是初等而繁琐的,只要取某些特定的a即可. 在(1)下,为了(2)正确,只需简单应用下述命题,命题:设A是实数域上的n级矩阵,如果对任意i=1,2,...,n;有aii>∑[j=1 to n j≠i] |aij|,则|A|>0 证明:用数学归纳法易得(或见丘爷爷的《高代学习指导书(上)》,P145,第一题)

浔阳区13664956912： 矩阵A=(aij)n*n的全体特征值的和等于ni=1aiini=1aii,全体特征值的积等于______. - ？
职眉甲磺：[答案] 由于矩阵的特征值之和就等于矩阵的迹,即主对角线上的元素之和,因而 A=(aij)n*n的全体特征值的和等于 n i=1aii 矩阵的特征值之积等于矩阵的行列式,因而全体特征值的积等于|A|.

浔阳区13664956912： 线性代数 AAT相乘的结果?若实对称矩阵A满足A^2=O,证明A=O解答:设A=[aij] n*n 则AT=AA^2=A AT=O即 a11^2+a12^2...+a1n^2 0 ... 0 0 a21^2+a22^2...... - ？
职眉甲磺：[答案] 其他位置不用管 只用看主对角线

浔阳区13664956912： 设λ1,λ2,…,λn为A=(aij)n*n的n个特征值.证明:∑λ^2=∑∑aij*aji - ？
职眉甲磺： 因为λ1,λ2,…,λn为A=(aij)n*n的n个特征值 所以λ1^2,λ2^2,...,λn^2是A^2的n个特征值 而=∑∑aij*aji=tr(A^2) 所以:∑λ^2=∑∑aij*aji

浔阳区13664956912： 设A=(aij)nxn是正交矩阵,且A的行列式大于零,Aij是aij的代数余子式(i,j=1,2,....n), 证明:Aij=aij,i,j=1,2, - ？
职眉甲磺： 由A正交得 AA' = E. 即 A^(-1) = A'. 等式两边求行列式得 |A|^2 = 1. 由已知 A的行列式大于零, 所以 |A| = 1. 所以有 AA* = |A|E = E. 所以 A^(-1) = A*. 所以 A* = A'.即 Aij = aij.

浔阳区13664956912： 已知矩阵A=(aij)n*n aij∈R,对任意的α∈Rn有α,Aα>0,证明:A的行列式大于0.(注:α,表示向量α的转置) - ？
职眉甲磺：[答案] 题目有小问题,还应要求要求a不是零向量. 在此条件下,证明 (1)对任意i=1,2,...,n;有aii>∑[j=1 to n j≠i] |aij| (2)|A|>0 (1)的证明是初等而繁琐的,只要取某些特定的a即可. 在(1)下,为了(2)正确,只需简单应用下述命题, 命题:设A是实数域上...