八年级几何题

八年级几何题~

证明：
∵AC＝BC
∴∠CAB＝∠CBA
∵等边△BDC、等边△ACE
∴∠CBD＝∠CAE＝60
∵∠BAE＝∠CAB-∠CAE，∠ABD＝∠CBA-∠CBD
∴∠BAE＝∠ABD
∴AF＝BF
∵CF＝CF
∴△ACF≌△BCF （SSS）
∴∠ACG＝∠BCG
∴AG＝BG（三线合一）
∴G为AB的中点



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1)证明:设BC的延长线上有一点D,则角BCA的外角为角ACD.
因为直线MN与BC平行
所以内错角FCD与CFO相等
内错角BCE与CEO相等
因为角OCF与FCD相等
角BCE与OCE相等
所以角OCF与角OFC相等,角OCE与角OEC相等
所以OC=OF
,OC=OE
则OE=OF
2)由(1)可知OE=OF,四边形AECF中AC和EF为对角线
当OA=OC时,两条对角线就互相平分,则四边形AECF为平行四边形.
又由于CE和CF为角的平分线,则角ECF=角BCE+角DCF=90度
所以四边形AECF为矩形.
即当O运动到AC中点时,四边形AECF是矩形
3)在(2)的前提下,即角AEC=90度.若四边形AECF是正方形,则AE=EC,即角ACE=角CAE=45度,则有角ACE+角BCE=90度,
所以当三角形ABC中角C是直角时,四边形AECF是正方形.

（1）证明：过点C作PC垂直CH于C与HF的延长线相交于P
所以角PCH=角PCF+角FCH=90度
因为四边形ABCD是正方形
所以角ADE=角DCF=角B=90度
AD=DC=BC
因为AD垂直AE于H
所以角AHD=角FHE=90度
因为角AHD+角DAH+角ADH=180度
所以角DAH+角ADH=90度
因为角ADE=角ADH+角CDF=90度
所以角ADH=角CDF
因为角ADE=角DCF=90度
所以三角形ADE和三角形DCF全等（ASA)
所以角AED=角DFC
DE=CF
因为点E是CD的中点
所以DE=CE=1/2CD
所以CF=CE
因为角DFC+角PFC=180度
角AED+角HEC=180度
所以角PFC=角HEC
因为角DCF=角HCE+角FCH=角PCF+角FCH=90度
所以角PCF=角EHC
所以三角形PCF和三角形HCE全等（ASA)
所以角P=角EHC
PC=HE
因为角PCH=90度
所以三角形PCH是等腰直角三角形
所以角P=角FHC=45度
所以角EHC=45度
因为角B=90度（已证）
所以角B=2角EHC
（2）

⑴证明：

连接EF

∵∠EHF=∠C=90°

∴E、H、F、C 四点共圆（对角互补的四边形在同一个圆上）

∴∠EFC=∠EHC（在同圆中，同弦对的圆周角相等）

∵DF⊥AE          DC⊥AD               

∴∠CDF=∠DAE（一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等）

又  AD=DC

∴Rt△CDF≌Rt△DAE

∴FC=DE=1/2CD=1/2BC         

即F是BC中点

连接BD              则∠DBC=45°

∵BF=FC                    CE=ED

∴FE∥BD

∴∠EFC=∠DBC=45°=∠EHC

而∠B=2∠DBC=90°

∴∠B=2∠EHC

⑵（时间关系，要上班了，晚上再做吧）

解：（如图）

过H点作HG⊥DC，垂足为G

 ∵DC⊥BC                  DN⊥BN

∴∠EDH=∠NBF（一个角的两边垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等）

又DE=1/2DC=1/2BC=BF

∴Rt△EDH≌Rt△FBN

∴HE=NF

设正方形的边长为 2

其中的有些相似三角形的证明因为比较容易，可能过程略简，其它请参照我的手稿。

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