数学有哪些表现形式？

~ 数学是研究客观事物的空间形式与数量关系的科学。它不受任何时间和空间的限制，强烈地显现这一本质属性。然而，在古代各个时期不同的文化传统中，数学的表现形式往往也不尽相同，各自呈现出自己的特征。比如中国古典数学在表现形式、思维模式、与社会实际的关系、研究的中心以及发展的历程等许多方面与其他文化传统，特别是古希腊数学有较大的区别。

　　首先是其表现形式，这里主要指数学经典的著作形式。古希腊数学常常采取抽象的公理化的形式，而中国古典数学则是以术文统率例题的形式。两种不同的形式，代表着迥然不同的两种风格。这两种形式和风格同样可以阐发数学理论的基础。有人往往忽略了这一点，把中国古代数学著作笼统地概括成应用问题集的形式。只要仔细分析、比较一下数学著作本身，就不难发现这个结论是极不正确的。比如最重要的著作《九章算术》，它的九章中，方田、粟米、少广、商功、盈不足、方程六章的全部及衰分、均输、勾股三章的部分，要么先列出一个或几个例题，然后给出十分抽象的“术”；要么先列出十分抽象的“术”，然后给出若干例题。这里的“术”都是些公式或抽象的计算程序；前者的例题只有题目及答案，后者的例题则包括题目、答案与“术”。所谓“术”就是阐述各种算法及具体应用，类似于后世的细草。《九章算术》中只有约五分之一的部分，即衰分、均输、勾股三章的约50个题目，可以说是应用问题集的形式。由此就得出《九章算术》是一部应用问题集的结论是不恰当的，正确的提法应是术文统率例题的形式。后来的《孙子算经》等的主体应该说是应用问题集的形式，但把一些预备知识放到了卷首。宋元数学高潮中的著作，贾宪《黄帝九章算经细草》的抽象性更高于《九章算术》，其它著作由于算法更为复杂，算法的抽象性有时达不到《九章》的程度，但是也作了可贵的努力，如《数书九章》的“大衍总数术”及其核心“大衍求一术”就是同余式解法的总术；“正负开方术”用抽象的文字阐述了开四次方的方法后，又声明“后篇效此”，说明也是普遍方法。朱世杰的两部著作都把大量预备知识、算法放在卷首，《四元玉鉴》的卷首还载有天元术、二元术、三元术、四元术的解法范例。《测圆海镜》更是把“圆城图式”及后面要用到的定义、命题列入卷一的“识别杂记”。因此，总的说来，算法(术)是解应用题的关键，“术”自然就成为中国古代数学的核心。中国数学著作是以算法为核心，算法统率例题的形式。中国传统文化

　　其次是关于数学理论的研究。古希腊数学使用演绎推理，使数学知识形成了严谨的公理化体系。许多学者夸大了中国古算与古希腊数学的差别，认为中国古代数学成就只是经验的积累，没有推理，尤其是没有演绎推理。这是对中国古代数学缺乏起码了解的肤浅之见。遗憾的是，这种肤浅之见被某些科学泰斗所赞同而颇为流行，甚至成为论述现代科学没有在中国产生的出发点。诚然，中国古代数学与哲学结合得不像古希腊那么紧密，中国古代数学大家也不像古希腊数学大师那样大多是思想界的头面人物或思想流派的首领。一般说来，中国思想家对数学的兴趣远逊于古希腊的同仁，先秦诸子中即使数学修养最高的墨家，其数学成就也难望古希腊思想家的项背。同样，中国数学家，就整体而言，对数学理论研究的关注，也远不如古希腊数学家。比如，《九章算术》和许多数学著作对数学概念没有定义，许多数学问题的表述，并不严谨。这就要求读者必须站在作者的立场上，与作者共处于一个和谐的体系中，才能理解其内容，这或多或少也阻碍了数学理论的发展。硬说中国古代与古希腊同样重视数学理论研究，固然是不妥的。反之，说中国古代数学没有理论，没有推理，也是不符史实的。《周髀算经》记载，先秦数学家陈子在教诲荣方时，指出他之所以对某些数学原理不能理解，在于他“之于数未能通类”，他认为数学的“道术”，“言约而用博”，必须做到“能类以合类”。陈子大约处于《九章算术》编纂过程的初期。实际上，《九章》的编纂正是贯穿了“通类”、“类以合类”的思想。《九章算术》的作者把能用同一种数学方法解决的问题归于一类，提出共同的、抽象的“术”，如方田术、圆田术、今有术、衰分术、返衰术、少广术、开方术、盈不足术、均输术、方程术、勾股术等等，又将这些术及例题按其性质或应用分成方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股九类。刘徽进一步挖掘《九章》许多方法的内在联系，又将衰分术、均输术、方程新术等归结到今有术。刘徽正是通过“事类相推”，找出了各种方法的归宿，发现数学知识是“枝条虽分而同本干”，并“发自一端”的一株大树，形成了自己完整的数学理论体系。贾宪总结开方法，创造开方作法本源。杨辉总结出勾股生变十三名图，李冶探讨了各种容圆关系，给出600多条公式，也都是通过归纳、类比做到通类，进而“类以合类”，进行数学的理论概括。

　　通过“合类”，归纳出抽象的公式之后，将这些公式应用于解某些数学问题，实际上是从一般到特殊的演绎过程，这里要特别谈一下中国古代数学中有没有演绎推理的问题。大家知道，数学知识的获得，要通过类比、归纳、演绎各种推理途径，而证明一个数学命题的正确性，则必须依靠演绎推理。中国古代数学著作正是大量使用演绎推理。以中国古代最为发达的高次方程这一分支为例，刘徽、王孝通都提出了方程的推导过程，金元数学家更创造了设未知数列方程的天元术，李冶将用天元术列方程所需要的定理、公式大都在卷一的“识别杂记”中给出。刘徽、王孝通、秦九韶、李冶、朱世杰等推导高次方程的过程都是依靠演绎推理的，因而是正确的。至于刘徽用极限思想和无穷小分割对圆面积公式的证明，对锥体体积公式的证明；用出入相补原理对解勾股形诸公式的证明，对大量面积、体积公式的证明，对开方术的证明；利用齐同原理对方程术、盈不足术及许多算法的证明，都是演绎推理的典范。只要不带偏见，都会认识到刘徽在拓展数学知识时以归纳、类比为主，而在论证《九章算术》的公式、算法的正确性时，在批驳《九章算术》的某些错误时，则以演绎推理为主，从而把他自己掌握的数学知识建立在可靠的理论基础之上。

　　说数学研究与思想界结合得不密切，是就整体而言的，并不是说每个数学家都如此，比如刘徽就例外。他深受魏晋辩难之风的影响，他对《九章算术》“析理以辞，解体用图”，“析理”正是辩难之风的要件，刘徽析理的原则、析理的方法都是与当时辩难之风合拍的。当然，即使是刘徽对许多数学概念的探讨还没达到古希腊那么深入的地步。比如，刘徽将无穷小分割引入数学证明是前无古人的贡献，却从未考虑过潜无穷小与实无穷小的区别。不过，这未必是坏事。古希腊数学家无法圆满解决潜无限与实无限的问题，不得不把无穷小概念排除在数学研究之外，因此，他们在证明数学命题时，从未使用过极限思想和无穷小分割。刘徽则不然，他认为圆内接正多边形边数无限增多，最后必定“与圆周合体”，因此可以对与圆周合体的正多边形进行无穷小分割并求其面积之和；他认为对阳马与鳖臑组成的堑堵进行无穷分割，可以达到“微则无形”的地步；刘徽在极限思想的运用上远远超过了古希腊的同类思想，达到了文艺复兴前世界数学界的最高峰。古希腊数学家认为正方形的对角线与其边长没有公度，即与1没有公度，导致数学史上的第一次危机，使古希腊数学转向，把计算排除在数学之外，只注重空间形式的研究，因而在无理数面前束手无策。而刘徽、祖冲之等则不然，他们对“开之不尽”的“不可开”的数，敢于继续开方，“求其微数”，以十进分数无限逼近无理根的近似值。没有陷入哲学的争论，从数学计算的实际出发，使中国数学家能够绕过曾导致希腊数学改变航向或裹足不前的暗礁，在数学理论和实践上达到古希腊数学家所不曾达到的高度。

　　长于计算，以算法为中心，是中国古代数学的显著特点。古希腊数学只考虑数和形的性质，而不考虑具体数值。比如，他们很早就懂得，任何一个圆的周长与直径之比是个常数，但这个常数的数值，几百年无人问津，直到阿基米德才求出其值的范围。相反，中国古典数学几乎不研究离开数量关系的图形的性质，而通过切实可行的方法把实际问题化为一类数学模型，然后用一套程序化即机械化的算法求解。算经中的“术”全是计算公式与计算程序，或应用这些公式、程序的细草，所有的问题都要算出具体数值作为答案，即使几何问题，也要算出有关因素的长度、面积、体积。这就是几何方法与算法相结合，或几何问题的算法化。刘徽说：“以法相传，亦犹规矩、度量可得而共”(《九章算术注·序》)，清楚地表达了中国古算形、数结合的特点。《九章算术》的开方术、方程术、盈不足术、衰分术、均输术，刘徽计算圆周率的割圆术、计算弧田面积近似值的方法，贾宪求贾宪三角各廉的增乘方法，贾宪开创而秦九韶使之完备的求高次方程正根的正负开方术，秦九韶的同余式解法，朱世杰的四元术，等等，都有相当复杂的计算程序。数学运算的程序化使复杂的计算问题易于掌握，即使不懂其数学原理，也可掌握其程序，于是产生了程序的辅助用表“立成”。上述这些程序都具有完全确定性、对一整类问题适用性及有效性等现代算法的三个特点。许多程序几乎可以一字不差地搬到现代电子计算机上实现。

　　先进的记数制度，强烈的位置值制是促成中国算法理论充分发展的重要因素。中国最早发明了十进位置值制记数法，这种记数法十分有利于加减乘除四则运算及分数、小数的表示。加之汉语中数字都是单音节，便于编成口诀，促成筹算乘除捷算法向口诀的转化。而筹算的使用使分离系数表示法成为顺理成章。线性方程组的分离系数表示法、开方式的记法、天元多项式、四元式的记法，实际上也是一种位置值制。未知数的幂次完全由其在表达式中的位置决定，而不必写出未知数本身，如开方式中，自上而下依次是“商”、“实”(常数项)、“方”(一次项)、“一廉”、“二廉”(二、三次项系数)……隅(最高次项系数)。天元式也是如此，只是因为运算中有正幂也有负幂，才需要在常数项旁标一“太”字，或在一次项旁标一“元”字，未知数幂次完全由与“太”或“元”的相对位置决定。这种表示法特别便于开方或加减乘除运算，尤其是用天元的幂次乘(或除)，只要上下移动“太”或“元”字的位置即可。

　　数学理论密切联系实际，是中国古代数学的又一显著特征。不能把古算经的所有题目都看成日常生产生活的应用题，有些题目只是为了说明算法的例题，《九章算术》和《测圆海镜》中都有此类题目。但是，中国古算确实是以应用为目的的，这是与古希腊数学的显著区别之一。后者公开申明不以实际应用为目的，而是看成纯理念的精神活动，欧几里得几乎抹去了《几何原本》的实际来源的所有蛛丝马迹。而中国数学家却从不讳言研究数学的功利主义目的。自《汉书·律历志》到刘徽、秦九韶，都把数学的作用概括为“通神明”、“类万物”两个方面。这里神明的意义既可作神秘主义来理解，也可以看作说明物质世界的变化性质的范畴，或二者兼而有之。《九章算术》刘徽为其注没有任何神秘主义的成份，对通神明的作用也没作任何阐发，刘徽倒是明确指出了《九章算术》各章在实际生产生活中的应用范围：方田以御田畴界域，粟米以御交质变易，衰分以御贵贱禀税，少广以御积幂方圆，商功以御功程积实，均输以御远近劳费，盈不足以御隐杂互见，方程以御错糅正负，勾股以御高深广远，显然是“类万物”方面。秦九韶把“通神明”看作数学作用之大者，并且其理解是神秘主义与世界变化的性质二者兼而有之的，而把类万物、经世务看成数学作用之小者。尽管他表示要将数学“进之于道”，但他的数学研究实践使他感到对于大者仍“肤末于见”，而注重于小者，认识到“数术之传，以实为体”，因此“设为问答以拟于用”。他的《数书九章》除第一问外，大都是实际生活、生产及各种工程的应用题，反映南宋经济活动之翔实远胜于《九章算术》等著作对当时现实经济活动的反映。总之，中国数学密切联系实际，并在实际应用中得到发展。也许正因为有这个长处，中国数学从《九章算术》到宋元高潮，基本上坚持了唯物主义传统，未受到数字神秘主义的影响。明朝著作有一些神秘主义的东西，具有穿靴戴帽的性质，但仍不能改变以实际应用为目的这一总的特征。

　　统治者对数学的态度造成了中国与希腊数学不同的发展特点。古希腊统治者非常重视数学，造成希腊数学有很强的连续性、继承性。而中国古代的统治者，除个别者外，大都不重视数学。秦始皇统一中国，较为重视数学的墨家遭到镇压，汉朝以后独尊儒术，儒法合流，读经学礼，崇尚文史，成为一种社会风气。由于数学对国计民生的重大作用，统治阶级又不得不承认“算术亦六艺要事”(《颜氏家训·杂艺》)，但却主张“可以兼明，不可以专业”(同上)。数学一直被视为“九九贱技”。刘徽哀叹“当今好之者寡”，(《九章算术注·序》)秦九韶说“后世学者鄙之不讲”，(《数书九章序》)李冶以大儒研究数学，自谓“其悯我者当百数，其笑我者当千数”。(《测圆海镜序》)刘徽所处之魏晋，秦、李所处之宋元，都是中国数学兴盛时期，尚且如此，何论其他！二十四史，林林总总，列入无数帝王将相，以及文学家、思想家，甚至烈女节妇，却没有为一个数学家立传，祖冲之、李冶有传，却是以文学家、名臣的身份入传的。社会的需要，以及世代数学家不计悯笑，刻苦钻研，自汉迄元，使中国数学登上了世界数坛的一个又一个高峰，然而中国数学的发展常常大起大落，艰难地前进。更使人觉得奇怪的是，高潮往往出现在战乱时期，如战国时期《九章算术》主要成就的奠基，魏晋南北朝数学理论的建立，宋辽金元筹算数学的高潮；相反，低谷往往出现在大一统的太平盛世，如唐、明两代，不仅数学建树甚少，甚至到了大数学家看不懂前代成果的可笑地步！这当然丝毫不意味着战乱、分裂比安定、统一更有利于数学的发展，而是因为战乱时期，儒家思想的统治地位往往受到冲击，社会思潮较为活跃，思想比较解放。同时由于战乱，读经入仕的道路被堵，知识分子稍稍能按自己的兴趣和社会的需求发挥自己的才智，所蕴藏的数学才能也得到较充分展示，致使处于夹缝中的数学研究状况反而比大一统的太平盛世更好一些罢了。

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