什么是微分方程的“基本解”,基本解在偏微分方程的研究中起着什么作用。
金融本科生和研究生要学习《偏微分方程》,而且相对来说对经济类的本科生都要学习这门学科,其实这门学习对以后工作的帮助程度则要看你今后从事的职业而言,若果你是从事经济类的职业,那么还是有一点帮助的,至于帮助多大则看你自己的造化,因为每个人运用知识的能力不一样。而如果你想不学这门学科的话,在你考研的时候你可以选其他一些研究生的方向,如:法律。
偏微分方程,是研究生阶段比较复杂的课程。如果你的数学基础比较好,是可以去研究的。但是请不要把工程学科的数学和数学系的数学混淆。 相对于常微分方程(独立课程)偏微分方程的解通常难以有精确的解析解。 这门课程要求有数学分析,微风方程,积分原理(比如 关于 lebesgue integration), 泛函(我们老实说, 这课不学,就像汽车没有发动机, 你可以推车走,但是很费劲。)
偏微分方程的课通常分为理论部分 还有, 数值部分(求数值解,因为只有解析解通常难以获得)。所以并不是一门课程。如果你是工程学科,那么我想侧重数值部分就好,研究偏微分方程的数值解就需要 数值分析的基础, 最好学过 有限元,有限体积。
偏微分方程的解一般有无穷多个,但是解决具体的物理问题的时候,必须从中选取所需要的解,因此,还必须知道附加条件。因为偏微分方程是同一类现象的共同规律的表示式,仅仅知道这种共同规律还不足以掌握和了解具体问题的特殊性,所以就物理现象来说,各个具体问题的特殊性就在于研究对象所处的特定条件,就是初始条件和边界条件。拿弦振动为例子来说,对于同样的弦的弦乐器,如果一种是以薄片拨动弦,另一种是以弓在弦上拉动,那么它们发出的声音是不同的。原因就是由于“拨动”或“拉动”的那个“初始”时刻的振动情况不同,因此产生后来的振动情况也就不同。天文学中也有类似情况,如果要通过计算预言天体的运动,必须要知道这些天体的质量,同时除了牛顿定律的一般公式外,还必须知道我们所研究的天体系统的初始状态,就是在某个起始时间,这些天体的分布以及它们的速度。在解决任何数学物理方程的时候,总会有类似的附加条件。就弦振动来说,弦振动方程只表示弦的内点的力学规律,对弦的端点就不成立,所以在弦的两端必须给出边界条件,也就是考虑研究对象所处的边界上的物理状况。边界条件也叫做边值问题。当然,客观实际中也还是有“没有初始条件的问题”,如定场问题(静电场、稳定浓度分布、稳定温度分布等),也有“没有边界条件的问题”,如着重研究不靠近两端的那段弦,就抽象的成为无边界的弦了。在数学上,初始条件和边界条件叫做定解条件。偏微分方程本身是表达同一类物理现象的共性,是作为解决问题的依据;定解条件却反映出具体问题的个性,它提出了问题的具体情况。方程和定解条件合而为一体,就叫做定解问题。求偏微分方程的定解问题可以先求出它的通解,然后再用定解条件确定出函数。但是一般来说,在实际中通解是不容易求出的,用定解条件确定函数更是比较困难的。偏微分方程的解法还可以用分离系数法,也叫做傅立叶级数;还可以用分离变数法,也叫做傅立叶变换或傅立叶积分。分离系数法可以求解有界空间中的定解问题,分离变数法可以求解无界空间的定解问题;也可以用拉普拉斯变换法去求解一维空间的数学物理方程的定解。对方程实行拉普拉斯变换可以转化成常微分方程,而且初始条件也一并考虑到,解出常微分方程后进行反演就可以了。应该指出,偏微分方程的定解虽然有以上各种解法,但是我们不能忽视由于某些原因有许多定解问题是不能严格解出的,只可以用近似方法求出满足实际需要的近似程度的近似解。常用的方法有变分法和有限差分法。变分法是把定解问题转化成变分问题,再求变分问题的近似解;有限差分法是把定解问题转化成代数方程,然后用计算机进行计算;还有一种更有意义的模拟法,它用另一个物理的问题实验研究来代替所研究某个物理问题的定解。虽然物理现象本质不同,但是抽象地表示在数学上是同一个定解问题,如研究某个不规则形状的物体里的稳定温度分布问题,在数学上是拉普拉斯方程的边值问题,由于求解比较困难,可作相应的静电场或稳恒电流场实验研究,测定场中各处的电势,从而也解决了所研究的稳定温度场中的温度分布问题。随着物理科学所研究的现象在广度和深度两方面的扩展,偏微分方程的应用范围更广泛。从数学自身的角度看,偏微分方程的求解促使数学在函数论、变分法、级数展开、常微分方程、代数、微分几何等各方面进行发展。从这个角度说,偏微分方程变成了数学的中心。
基本解也叫特解。比如说一个微分方程,代入y=exp(x)满足,代入y=x也满足,那么对任意的k1,k2,y=k1exp(x)+k2x也必然满足这个微分方程,因此也是方程的解。那么方程的通解就是由两个基本解,也就是特解,任意线性组合得到的。要想找到方程所有的解,通常先设法求出基本解,然后如此这般一组合就行。好像是这样的,要得到严格答案题主还是要看教材啊。举例:y“=-y,代入y=cosx满足,代入y=sinx也满足,实际上代入cosx+sinx也满足。那么方程的所有解的形式是什么样呐?就是k1cosx+k2sinx+C。这里cosx和sinx就是基本解,特解。
基本就是特解
学习微分方程的基础有哪些?
1.高等数学:微分方程是高等数学的一个重要分支,因此首先需要掌握高等数学的基本概念和方法,如极限、导数、积分、级数等。2.线性代数:微分方程中的一些概念和方法是线性代数的直接应用,如矩阵、向量、线性变换等。3.解析几何:微分方程与解析几何有着密切的联系,许多微分方程可以通过解析几何的方法来求...
什么是微分方程的“基本解”,基本解在偏微分方程的研究中起着什么作用...
如果一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量,这个方程叫做常微分方程,也简称微分方程;如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数,或者说如果未知函数和几个变量有关,而且方程中出现未知函数对几个变量的导数,那么这种微分方程就是偏微分方程。偏微分方程的一种具有特定奇异性的解,由它可以构造出一...
微分方程的基本概念
微分方程是描述自然现象和工程问题中变量之间关系的数学方程,其中包含未知函数及其导数。微分方程可分为常微分方程和偏微分方程两类。常微分方程中,未知函数只依赖于一个自变量,而偏微分方程中,未知函数依赖于多个自变量。解微分方程的过程通常需要确定未知函数,使得方程成立,并满足给定的初始条件或边界条...
解微分方程需要掌握哪些基本数学概念?
解微分方程需要掌握以下基本数学概念:1.导数和微分:导数是函数在某一点的切线斜率,表示函数在该点的变化率。微分是函数在某一点的局部线性逼近,表示函数在该点的微小变化。2.积分:积分是对导数的反向操作,将函数在某区间内的微小变化累积起来,得到函数在该区间的总变化。3.常微分方程:常微分方程...
微分方程的基本理论
微分方程的基本理论:动力系统理论。微分方程,是指含有未知函数及其导数的关系式。解微分方程就是找出未知函数。微分方程是伴随着微积分学一起发展起来的。微积分学的奠基人Newton和Leibniz的著作中都处理过与微分方程有关的问题。微分方程的应用十分广泛,可以解决许多与导数有关的问题。物理中许多涉及变力...
微分方程的基本概念
A和C不含函数的导数不是微分方程,D是偏微分方程,只有B是偏微分方程
什么是微分方程,形式是什么?
微分方程 含有未知函数的导数,如dy\/dx=2x、ds\/dt=0.4都是微分方程。 一般的、凡是表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程,叫做微分方程。未知函数是一元函数的,叫常微分方程;未知函数是多元函数的、叫做偏微分方程。微分方程有时也简称方程。定义式:f(x,y',y'',……y(n))=0...
微分方程是怎么来的?
微分方程是伴随着微积分学一起发展起来的。微积分学的奠基人Newton和Leibniz的著作中都处理过与微分方程有关的问题。微分方程的应用十分广泛,可以解决许多与导数有关的问题。物理中许多涉及变力的运动学、动力学问题,如空气的阻力为速度函数的落体运动等问题,很多可以用微分方程求解。微分方程研究的来源:...
微分方程的相关知识有哪些?
微分方程是数学中的一个重要分支,主要研究包含未知函数及其导数的方程。以下是一些关于微分方程的基本知识:1.分类:微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程两大类。常微分方程主要研究一元函数的导数或者几个自变量的函数的导数之间的关系;偏微分方程则研究多元函数的偏导数之间的关系。2.阶数:根据微分...
微分方程组
微分方程组是一种包含多个未知函数的导数的方程。具体来说,如果一个方程中包含了两个或更多的未知函数及其导数,那么这个方程就被称为微分方程组。解释如下:微分方程组的基本构成 微分方程组通常包含多个微分方程,这些方程可以是一阶的,也可以是多阶的。一阶微分方程涉及到一个未知函数和其导数,而高...
怀呼加味: 如果一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量,这个方程叫做常微分方程,也简称微分方程;如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数,或者说如果未知函数和几个变量有关,而且方程中出现未知函数对几个变量的导数,那么这种微分...
南岳区17556641903: 什么是微分方程的通解和特解? - ?
怀呼加味: 通解中含有任意常数,而特解是指含有特定常数.比如y=4x^2就是xy'=8x^2的特解,但是y=4x^2+C就是xy'=8x^2的通解,其中C为任意常数. 求微分方程通解的方法有很多种,如:特征线法,分离变量法及特殊函数法等等.而对于非齐次方程而...
南岳区17556641903: 什么叫微分方程?如何理解?包含哪些形式? - ?
怀呼加味: 微分方程的的相关概念2. 微分方程的形式 (1)1阶微分方程 (2)高阶微分方程 刚才百度吞了第一张图,现在补上
南岳区17556641903: 微分方程通解 - ?
怀呼加味: 解微分方程y'-3xy=2x 解:这是一个典型的一阶线性微分方程.其基本解法(程式化解法)如下:先求一阶线性齐次方程y'-3xy=0的通解:dy/dx=3xy;分离变量得dy/y=3xdx;积分之,得lny=(3/2)x²+lnC₁;即得y=C₁e^[(3/2)x²;将C₁换成x的函...
南岳区17556641903: 什么是微分方程的解析解和数值解? - ?
怀呼加味: 解析解指能够根据题意,得出在一定条件下的能够以数学表达式直接表达出来的的解.而数值解指在题中所给出的条件下难以用数学表达式表达出来,或者能够表达出来但需要每个给定自变量值下的数字结果,而通过计算(手算或计算机计算)的出来的以表格或图形表示的结果.数值解一般是近似结果,它与微分方程的真实结果有偏差.
南岳区17556641903: 微分方程的基本概念 - ?
怀呼加味: 微分方程指含有自变量,自变量的未知函数及其导数的等式. 微分方程(differential equation)是常微分方程和偏微分方程的总称. 同志,一般有问题,就百度一下吧,百度百科里全都是这种概念问题.
南岳区17556641903: 什么是微分方程的定态解 - ?
怀呼加味: 我知道有定态解这个术语,可是不太清楚它的定义.我知道有一个叫法和它比较相似的,是驻定解,就是微分方程Dx=v(x)在向量场v中过奇点的那个解,也叫平衡位置.查了一些资料,觉得他们比较相似.不过我不确定,你还是问问你们学校的教授吧
南岳区17556641903: 什么是微分方程,形式是什么? - ?
怀呼加味: 什么是微分方程? 答: 1、首先,它是一个方程,equation;方程就是一个等式,equality,等式不是自然成立,而是需要条件才能成立,这个条件就是解 root;汉译中,会按照中文的意思想当然,把解说成 solution.其实 solution 是一个解...
南岳区17556641903: 微分方程的数值解是什么意思? - ?
怀呼加味: 顾名思义,就是方程的数值结果.微分方程的解,分为解析解和数值解,前者反映的是微分方程的解,可以用一个函数表示;后者同常不能表为初等函数,但是很多问题,我们并不需要解析解,而是能求出一个数值结果就满足了.举例说,我们希望知道,一个质点从竖直平面内的光滑半圆轨道一端,从静止开始下滑,求质点转过45度经历的时间.这个问题导致一个貌似很简单的一个微分方程:y'=1/sqrt(sin(x)),即导函数为正选函数平方根的倒数,其解析解不能表示为初等函数形式,但是对于这个问题,我们倒是可以得到任意精确的数值解.
南岳区17556641903: 微分方程的通解是什么?什么意思? - ?
怀呼加味: 怎么说呢,微分方程的解往往不止一个,通解就是这些解的集合