证明级数1/（nlnn)发散还是收敛

证明级数1/（nlnn)发散还是收敛~

发散的，请参照N平方分之一的证明过程

　　利用积分判别法可证：由于
　　　　∫[2,+∞][1/(xlnx)]dx = (lnx)²|[2,+∞] = +∞,
利用积分判别法可知该级数发散.

p<=1时发散，p>1是收敛，这是一个很著名的结论，要证明的话，就用柯西积分审敛法则

过程如下：

由于是非负递减序列,1/n(lnn)^p与∫[2->∞]1/x(lnx)^pdx有相同的敛散性

∫[2->∞]1/x(lnx)^pdx=∫[2->∞]lnx^(-p)d(lnx)=[1/(1-p)](lnx)^(1-p) | [2->∞]

=[1/(1-p)][(∞)^(1-p)-2^(1-p)]

其中关键项(∞)^(1-p)，当p>1时，为0，p<1时为∞,

即证得p>1收敛，p<1时发散。

当p=1时，1/nlnn与∫[2->∞]1/xlnxdx有相同的敛散性

∫[2->∞]1/xlnxdx=∫[2->∞]1/lnxd(lnx)=lnlnx | [2->∞] = lnln∞-lnln2发散

故∑1/nlnn发散

柯西极限存在准则又叫柯西收敛原理，给出了收敛的充分必要条件。

扩展资料：

数列的柯西收敛准则：

数列  收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数ε，总存在正整数N，使得当m>N，n > N时，且m≠n，有

我们把满足该条件的{xn}称为柯西序列，那么上述定理可表述成：数列{xn}收敛，当且仅当它是一个柯西序列。

该准则的几何意义表示，数列{xn}收敛的充分必要条件是：该数列中的元素随着序数的增加而愈发靠近，即足够靠后的任意两项都无限接近。

由于数列的柯西收敛准则是实数连续性的体现之一，所以用实数公理——戴德金定理证明{xn}收敛。

首先证明柯西序列是有界的。根据柯西序列的定义，对任意ε>0，存在正整数N，当m,n>N时，有|xn-xm|<ε。

于是取m=N+1，则当n>N时，|xn-xN+1|<ε。

解得xN+1-ε<xn<xN+1+ε，即当n>N时，{xn}既有上界又有下界，所以是有界的。

向上述数列中添加{xn}的前N项得到{xn}本身，则由于前N项都是确定的实数，不会改变{xn}的有界性（即使此时{xn}的上、下界发生变化）。故对任意正整数n，{xn}都是有界的。

其次证明柯西序列收敛。设{xn}⊆[a,b]，有一个实数集A，A中的任一元素c满足：区间(-∞,c)中最多有{xn}中的有限项（注意用词“最多”，意味着可以有0项），而{xn}中的无限项都落在[c,+∞)。并把A在R中的补集设为B，则：

①由取法可知a∈A，并且显然b∈B。即A和B都是非空数集。

②A∪B=R。

③根据集合A、B的定义，A中任意元素都小于B中的任意元素。

参考资料：百度百科——柯西审敛原理

具体回答如下：

利用积分判别法可证：

由于∫[2,+∞][1/(xlnx)]dx

= (lnx)²|[2,+∞] 

= +∞

利用积分判别法可知该级数发散。

发散函数和收敛函数区别：

发散与收敛对于数列和函数来说，它就只是一个极限的概念，一般来说如果它们的通项的值在变量趋于无穷大时趋于某一个确定的值时这个数列或是函数就是收敛的，所以在判断是否是收敛的就只要求它们的极限就可以了，对于证明一个数列是收敛或是发散的只要运用书上的定理就可以了。

对于级数来说，它也是一个极限的概念，但不同的是这个极限是对级数的部分和来说的，在判断一个级数是否收敛只要根据书上的判别法就行了。

p<=1时发散，p>1是收敛，这是一个很著名的结论，要证明的话，就用柯西积分审敛法则

过程如下：

由于是非负递减序列,1/n(lnn)^p与∫[2->∞]1/x(lnx)^pdx有相同的敛散性

∫[2->∞]1/x(lnx)^pdx=∫[2->∞]lnx^(-p)d(lnx)=[1/(1-p)](lnx)^(1-p) | [2->∞]

=[1/(1-p)][(∞)^(1-p)-2^(1-p)]

其中关键项(∞)^(1-p)，当p>1时，为0，p<1时为∞,

即证得p>1收敛，p<1时发散。

当p=1时，1/nlnn与∫[2->∞]1/xlnxdx有相同的敛散性

∫[2->∞]1/xlnxdx=∫[2->∞]1/lnxd(lnx)=lnlnx | [2->∞] = lnln∞-lnln2发散

故∑1/nlnn发散

柯西极限存在准则又叫柯西收敛原理，给出了收敛的充分必要条件。

绝对收敛

一般的级数u1+u2+...+un+...

它的各项为任意级数。

如果级数Σu各项的绝对值所构成的正项级数Σ∣un∣收敛，

则称级数Σun绝对收敛

经济学中的收敛，分为绝对收敛和条件收敛

绝对收敛，指的是不论条件如何，穷国比富国收敛更快。

条件收敛，指的是技术给定其他条件一样的话，人均产出低的国家，相对于人均产出高的国家，有着较高的人均产出增长率，一个国家的经济在远离均衡状态时，比接近均衡状态时，增长速度快。

p<=1时发散，p>1是收敛，这是一个很著名的结论，要证明的话，就用柯西积分审敛法则

过程如下：
由于是非负递减序列,1/n(lnn)^p与∫[2->∞]1/x(lnx)^pdx有相同的敛散性
∫[2->∞]1/x(lnx)^pdx=∫[2->∞]lnx^(-p)d(lnx)=[1/(1-p)](lnx)^(1-p) | [2->∞]
=[1/(1-p)][(∞)^(1-p)-2^(1-p)]
其中关键项(∞)^(1-p)，当p>1时，为0，p<1时为∞,
即证得p>1收敛，p<1时发散。

当p=1时，1/nlnn与∫[2->∞]1/xlnxdx有相同的敛散性
∫[2->∞]1/xlnxdx=∫[2->∞]1/lnxd(lnx)=lnlnx | [2->∞] = lnln∞-lnln2发散
故∑1/nlnn发散

发散的，请参照N平方分之一的证明过程

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上虞市15693182020： 一个级数题画了圈的题,求解释;我觉得不好判断;能举例子吗?怎么证明后级数(1/(nlnn))发散? - ？
鲜雨薄芝：[答案] 有一下两种情况: u(n)=1/n²,满足nu(n)→0,此时,u(n)作为一般项的级数收敛. u(n)=1/[nlnn],满足nu(n)→0,此时,u(n)作为一般项的级数发散.(其中lnn是n的自然对数) 所以选C

上虞市15693182020： 证明级数1/(nlnn)发散还是收敛 - ？
鲜雨薄芝：[答案] p1是收敛,这是一个很著名的结论,要证明的话,就用柯西积分审敛法则由于是非负递减序列,1/n(lnn)^p与∫[2->∞]1/x(lnx)^pdx有相同的敛散性∫[2->∞]1/x(lnx)^pdx=∫[2->∞]lnx^(-p)d(lnx)=[1/(1-p)](lnx)^(1-p) | [2->...

上虞市15693182020： 证明 级数 ∑1/(nlnn) 是发散的 - ？
鲜雨薄芝：[答案] 利用积分判别法可证:由于 ∫[2,+∞][1/(xlnx)]dx = (lnx)²|[2,+∞] = +∞, 利用积分判别法可知该级数发散.

上虞市15693182020： 级数∑1/nlnn 是发散的 怎么证明呢 - ？
鲜雨薄芝： |这题用积分判别法很方便: 因为积分:∫(2,+∞)dx/(xlnx)=∫(2,+∞)dlnx/(lnx)=lnlnx|(2,+∞)=+∞ 积分∫(2,+∞)dx/(xlnx)发散 所以:级数∑(2,+∞)1/nlnn 发散

上虞市15693182020： 证明 级数 ∑1/(nlnn) 是发散的 - ？
鲜雨薄芝： 利用积分判别法可证:由于 ∫[2,+∞][1/(xlnx)]dx = (lnx)²|[2,+∞] = +∞, 利用积分判别法可知该级数发散.

上虞市15693182020： an= 1/(nlnn) 证明 级数 求和符号an 是发散 - ？
鲜雨薄芝：[答案] 利用Cauchy积分判别法,该级数的敛散性和反常积分 ∫1/(x lnx)dx一样. 注意到∫1/(x lnx)dx=∫1/lnx d(ln x)=∫1/t dt 显然发散

上虞市15693182020： 判断级数1/ln(n!)的敛散性 - ？
鲜雨薄芝： 级数1/ln(n!)的发散. 解法一: 显然有lnn!=ln1+ln2+ln3+...+lnn<nlnn, 于是1/lnn!>1/(nlnn) 而级数求和(n从2到无穷)1/(nlnn)发散 因此原级数发散. 解法二: 在【2,+∞】上有: ∑1/ln(n!)=1/ln2+1/(ln2+ln3)+1/(ln2+ln3+ln4)+.....+1/(ln2+ln3+ln...

上虞市15693182020： 有关级数的问题?如何证明级数(从2到无穷求和)1/(NlnN)与1/lnN发散?感激不尽! - ？
鲜雨薄芝：[答案] n≥2 0

上虞市15693182020： 级数收敛性题.为何发散?级数1/(n*lnn),n:无穷 - ？
鲜雨薄芝：[答案] ∑ 1/(nlnn) 的敛散性与 ∫dx/(xlnx) 相同, 而 ∫dx/(xlnx) = [lnlnx] = ∞, 故级数发散.

上虞市15693182020： 为什么级数 (n.ln(n))分之一 发散? - ？
鲜雨薄芝： 啥呀?应该是 ∑[1/(nlnn)], 用积分判别法可判别其发散.