证明级数(1/n^p)sin(π/n)的敛散性
该级数实为1,0，-1/3，0，1/5，0，-1/7，0，……，1/4t，0，-1/（4t+2），0，……
我们将1/4t，0，-1/（4t+2），0的和组成一项
有an=1/4n-1/（4n+2）=1/4n（2n+1）
由于0<n^2an<1恒成立，有个叫什么定理的知道级数an收敛(同济版高数第五版能查到）
因为当n趋于无穷时，π／2^n趋于0
所以根据等价无穷小的代换：sint〜t（t—＞0）， 有sin[π /(2^n)]〜π /(2^n)（n—＞无穷）
所以[∞ ∑ n=1] sin[π /(2^n)]的敛散性与[∞ ∑ n=1] π /(2^n)相同
因为0＜1／2＜1，所以[∞ ∑ n=1] (π／2^n)收敛（等比级数：|公比|＜1时级数收敛）
从而由比较判别法的极限形式知原级数收敛
所以这时只需考虑1/n^(p+1)的收敛性即可
那么如果一定要用比较判别法，可将其余n^(p+1)作商，
可以发现原理是一样的.
证明级数(1\/2^n+1\/n)发散
证法2:根据Newton的幂级数有：ln(1+1\/x) = 1\/x - 1\/2x^2 + 1\/3x^3 - ...于是：1\/x = ln((x+1)\/x) + 1\/2x^2 - 1\/3x^3 + ...代入x=1,2,...,n，就给出：1\/1 = ln(2) + 1\/2 - 1\/3 + 1\/4 -1\/5 + ...1\/2 = ln(3\/2) + 1\/2*4 - 1\/3*8 ...
证明级数∑(1\\ln(n!))发散(n从2到正无穷)!
简单计算一下即可，答案如图所示
证明级数∑(1\\ln(n!))发散(n从2到正无穷)!请大神赐教!
ln(n!) < n ln(n)而积分∫1\/(x lnx) dx = ∫d(ln(x))\/ln x = ln (ln (x)) |[2,正无穷) = 无穷 由积分判别法知发散
证明级数(1\/n^p)sin(π\/n)的敛散性
注意到当n→∞时候sin π\/n ~ π\/n 所以这时只需考虑1\/n^(p+1)的收敛性即可 那么如果一定要用比较判别法，可将其余n^(p+1)作商，可以发现原理是一样的.
证明级数(1\/2+1\/3)+(1\/2²+1\/3²)+...+(1\/2的n次方+1\/3的n次方...
该级数收敛，简单计算一下即可
级数an发散,证明级数(1+1\/n*an)也发散
不一定吧，如果第一个级数里边，an＝n，第二个级数里边bn＝－n，这样级数当然都是发散的，但是每一项是an＋bn＝0这样的级数显然不发散。例子不太好。一般的讲，应该是考虑an和bn的绝对值，这样有绝对发散性。级数（cn求和），如果每一项都比已知发散的级数绝对值大，那cn也必然发散。这个可能是叫...
证明级数∑(1到无穷)1\/n*inn是发散的
这要用到积分判别法，就是把数列换成相应的函数，再求1到无穷的积分，积分存在则收敛，积分为无穷大则为发散。比如这个题，积分(1,无穷)1\/x*lnx dx=ln(lnx)|1到无穷，显然这个积分为无穷大，所以原级数发散
证明级数(1\/2^n+1\/n)发散
1\/2^n 公比为1\/2的几何级数收敛 1\/n 调和级数发散 收敛级数与发散级数的和发散.1\/2^n与1\/n的前n项部分和分别为sn tn,则sn收敛,tn发散 设wn=sn+tn,如果wn收敛,则tn=wn-sn收敛,矛盾,所以wn发散,即所证级数发散.
证明级数 1+Z \/1+z +(Z\/1+Z)^2+……(z\/1+z)^n
求和就是等比的求和 收敛半径是[-(Z\/1+Z),(Z\/1+Z)]
莫昨洛菲： 注意到当n→∞时候sin π/n ~ π/n 所以这时只需考虑1/n^(p+1)的收敛性即可 那么如果一定要用比较判别法,可将其余n^(p+1)作商,可以发现原理是一样的.
东台市18283983725： 证明级数发散 - ？
莫昨洛菲： 我高中啊来 错了别怪 U1=m>源0 Un+1/un≥n/n+1 得到Un>0 U2/U1≥1/2..... Uk/U(k-1)≥(k-1)/k ∴Uk/U1≥1/k 则∑2113n=1 到无穷5261大4102 un≥m(1+1/2+.....+1/n) 1+1/2+.....+1/n为调和1653级数发散 ∴∑n=1 到无穷大Un发散
东台市18283983725： 级数∑(ln n /n^p)) 的敛散性 用比较判别法证明?请帮忙 - ？
莫昨洛菲： ^利用恒等式: 1 = (n+1) - n = (√(n+1) + √n)(√(n+1) - √n), 级数的通项可以写成 1/(√(n+1) + √n)n^p,而当n->无穷时,这与 1/n^{p+1/2}是同阶的,这又是正项级数,所以收敛性与∑1/n^{p+1/2}相同(比较判别法) 又∵∑1/n^{p+1/2}收敛当且仅当p+1/2 > 1,即p>1/2 ∴p>1/2时级数收敛,否则发散
东台市18283983725： 正项级数的证明 - ？
莫昨洛菲： 由∑√(a[n]/(n²+1))是正来项级数, 只需自证明其有界. 而∵a[n] ≥2113 0, ∴a[n]+1/(n²+1) ≥ 2√5261(a[n]/(n²+1)) (均值4102不等式), ∴∑√(a[n]/(n²+1)) ≤ 1/2·(∑a[n]+∑1/(n²+1)) < +∞ (∑a[n]与∑16531/(n²+1)都收敛).
东台市18283983725： 一道级数的证明题 - ？
莫昨洛菲： 为了求出级数的级数和,我们从幂级数 S(x)= ∑x^n/n (n 从 1 到 +∞,|x|
东台市18283983725： 高等数学常数项级数中的p级数证明问题 - ？
莫昨洛菲： ∫(上限k,下限k-1) ((1/k^p)dx =(1/k^p)∫(上限k,下限k-1) dx [(1/k^p)与x没有关系] =(1/k^p)(上限k-下限(k-1)) =(1/k^p)(k-(k-1) =(1/k^p)
东台市18283983725： 证明一个级数的极限 - ？
莫昨洛菲： 证明要用到傅里叶三角级数 把函数f(x)=-x(-π<=x<=0)=x(0<x<=π)周期延拓到R上,则f(x)是定义到R上的周期T=2π的周期函数.f(x)的三角级数展开为:f(x)=π/2-(4/π)[cosx+(cos3x)/3^2+(cos5x)/5^2+……] 令x=0可得1+1/3^2+1/5^2+……=π^2/8=x1 令1+...
东台市18283983725： 证明级数∑(1到无穷)1/n*inn是发散的 - ？
莫昨洛菲： 这要用到积分判别法,就是把数列换成相应的函数,再求1到无穷的积分,积分存在则收敛,积分为无穷大则为发散.比如这个题,积分(1,无穷)1/x*lnx dx=ln(lnx)|1到无穷,显然这个积分为无穷大,所以原级数发散
东台市18283983725： 证明:一个级数的收敛性. - ？
莫昨洛菲： 这道题只需证∑1/(bk) 收敛,其中b1=1,b2=2……bn为所有满足条件的整数中第n小的. 我们会发现1<=k<=9时1/bk<=1,9<=k<=9^2时1/bk<1/10,……9^n1/bk由于正项级数可以加括号,∑1/(bk) < ∑(9^n)/(10^(n-1))=90.所以∑1/(bk)收敛. 而∑1/(ak)<=∑1/(bk),所以级数∑ 1/(ak)收敛.说得不是很清楚,欢迎追问……
东台市18283983725： 证明级数1/n!收敛 - ？
莫昨洛菲： 当n>2时,n!=1*2*3*...*n>1*2*2*...*2=2^(n-1),则1/n!
