在一只口袋里装着2个红球，3个黄球和4个黑球．从口袋中任取一个球，请问：（1）这个球是红球的概率有多少

口袋中有a个白球，b个黑球，不放回的摸，求白球最后留在口袋中的概率？~

这个问题实际上是四元递推式，我只能写出递推式，却不会求通式。

设这个问题的解是f(m,n,a,b)

分类讨论摸到的第一个球，第一个球可能是白球也可能是黑球。

如果第一个球是白球，那么剩下的子问题是f(m-1,n,a-1,b).第一个球是白球的概率为 [公式]

如果第一个球是黑球，那么剩下的子问题是f(m,n-1,a,b-1).第一个球是黑球的概率为 [公式]

所以

[公式]

边缘条件是： [公式]



当b=0时，此问题答案很明确：

[公式]

猜测f(m,n,a,b)可能也有某种简单形式。

对于一元递推式，可以用求根+解方程的方式求出通项。对于此题中的多元递推式有没有系统性的解决方法？

f_dict = {}


def f(m, n, a, b):
"""
m个白球，n个黑球，想要摸到a个白球，b个黑球
用递推式的方式计算准确结果，结果使用分数表示
"""
assert a >= 0 and b >= 0 and m >= 0 and n >= 0
assert a <= m and b <= n
param = (m, n, a, b)
if param in f_dict:
return f_dict[param]
if a == 0 and b == 0:
f_dict[param] = 0
return 0
if m == 0 or n == 0:
f_dict[param] = max(a, b)
return max(a, b)
x = Fraction(m, m + n)
y = Fraction(n, m + n)
ans = 1 + x * f(m - 1, n, max(a - 1, 0), b) + y * f(m, n - 1, a, max(b - 1, 0))
f_dict[param] = ans
return ans
问题来源
最近在做一个麻将小游戏，需要实现一个麻将AI。

麻将AI的关键就是评价一个手牌局面的好坏：我用手牌局面到胡牌局面之间的最短距离表示，最短距离就是“期望摸几次牌才能胡牌”。

麻将的牌堆就像一个袋子，袋子里面有34种小球，每种小球的个数若干，期望摸几次才能摸到想要的“球型”。

因为同色球不加以区分先排白球，只有一种排法，4个白球形成了5个空，然后分三类第一类，当黄球插入中间的3个空后，又形成了8个空，任意两个空都可以插入红球有C28=28种，第二类，当选一个黄球排在白球的一边时，中间的3个空任选两个再排黄球，剩下的一个空必须排红球，另一个红球，插在排完4个白球3个黄球1个红球形成的9个空中的7个空（红球和红球不相邻），有C12C23?C17=42种，第三类，当选两个黄球排在白球的两边时，白球中间三个空中任选一个排黄球，剩余的排红球，有C13=3种，根据加法计数原理得不同的方法有28+42+3=73种．故答案为：73．

（1）因为口袋中装有2个红球，3个黄球和4个黑球，
从中任意摸出一个球是红球的概率是

2

2+3+4

=

2

9

（2）因为口袋中装有2个红球，3个黄球和4个黑球，
从中任意摸出一个球是黄球的概率是

3

2+3+4

=

1

3

从中任意摸出一个球是黑球的概率是

4

2+3+4

=

4

9

（3）因为口袋中装有2个红球，3个黄球和4个黑球，
没有绿球，所以这个球是绿球的概率是0，不是绿球的概率是100%．

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华阴市14733025265： 在一只口袋里装着2个红球,3个黄球和4个黑球.从口袋中任取一个球,请问:(1)这个球是红球的概率有多少?(2)这个球是黄球或者是黑球的概率有多少... - ？
马家加味：[答案] (1)因为口袋中装有2个红球,3个黄球和4个黑球, 从中任意摸出一个球是红球的概率是 2 2+3+4= 2 9 (2)因为口袋中装有2个红球,3个黄球和4个黑球, 从中任意摸出一个球是黄球的概率是 3 2+3+4= 1 3 从中任意摸出一个球是黑球的概率是 4 2+3+4...

华阴市14733025265： 一个不透明的袋子里装有除颜色外完全相同的2个红球和3个黄球,从袋子里任意摸出一个球是红球的概率为___. - ？
马家加味：[答案] 根据题意可得:不透明的袋子里装有5个球,其中2个红色的, 任意摸出1个,摸到红球的概率是 2 5. 故答案为 2 5.

华阴市14733025265： 在一只口袋里装着2个红球,3个黄球和4个黑球.从口袋中任取一个球,请问:(1)这个球是红球的概率有多少 - ？
马家加味： (1)因为口袋中装有2个红球,3个黄球和4个黑球,从中任意摸出一个球是红球的概率是2 2+3+4 =2 9 (2)因为口袋中装有2个红球,3个黄球和4个黑球,从中任意摸出一个球是黄球的概率是3 2+3+4 =1 3 从中任意摸出一个球是黑球的概率是4 2+3+4 =4 9 (3)因为口袋中装有2个红球,3个黄球和4个黑球,没有绿球,所以这个球是绿球的概率是0,不是绿球的概率是100%.

华阴市14733025265： 把2个红球,3个黄球,4个白球,装在一个袋子里,甲、乙、丙三人玩摸球游戏.甲先摸一次(一次摸一个球), - ？
马家加味： 方案一 减少一个白球 增加一个红球 方案二 增加甲摸次数为30次 乙不变 丙为15次 另:怎么会有这么白痴的题目,条件都不一样,还要公平!?

华阴市14733025265： 布袋中装有2个红球,3个黄球,4个白球,至少要摸出()个,才保证摸出的球有三种颜色,至少要摸出()个同色.后面是才保证摸出的球有两个同色 - ？
马家加味：[答案] 布袋中装有2个红球,3个黄球,4个白球,至少要摸出(8)个,才保证摸出的球有三种颜色,至少要摸出(8)个 方法:做最坏的打算:前4次摸出的都是白球,接着的3次摸出的都是黄球,下一次才摸到红球,所以,至少要摸到第4+3+1=8次,才能...

华阴市14733025265： 在一个装有3个黄球和两个红球的袋子中摸球,每次摸出两个球,摸到的两个球都是红球的可能性大小为______. - ？
马家加味：[答案] 每次摸出两个,有以下10种可能:(黄1、黄2)、(黄1、黄3)、(黄1、红1)、(黄1、红2)、(黄2、黄3)、(黄2、红1)、(黄2、红2)、(黄3、红1)、(黄3、红2)、(红1、红2),其中摸到都是红球的只有一种情况, 1÷10=110; ...

华阴市14733025265： 一个不透明的袋子中有2个红球.3个黄球和4个篮球,这些球除颜色外完全相同,从袋子中随机摸出一个球,它是红球的概率为           . - ？
马家加味：[答案]根据题意可得:不透明的袋子中有2个红球、3个黄球和4个蓝球,共9个,从袋子中随机摸出一个球,它是红色球的概率为

华阴市14733025265： 小丽和小兰玩摸球比赛.在一个口袋内装有红、黄两种颜色的球,它们的比是2:3,如 - ？
马家加味： 设红球有2x个,黄球有3x个 放入2红,3黄,有:(2x+2):(3x+3)=3:4 可以解出x=(-1) 所以题目是有问题的.

华阴市14733025265： 一道数学题在三个不透明的口袋里,分别装有2个红球,三个黄球,这些球除颜色外都相同甲乙丙三人分别从一个口袋中摸两只球,甲想有两个红球,乙想... - ？
马家加味：[答案] P甲=2/4*5=10% P乙=6/4*5=30% P丙=12/4*5=60% 所以丙最可能实现.

华阴市14733025265： 袋子里装有红、黄两种颜色的球,红球的个数是黄球的2/3.后来放进2个红球,拿出3个黄球,这时红球的个数是 - ？
马家加味： 袋子里装有红、黄两种颜色的球,红球的个数是黄球的2/3.后来放进2个红球,拿出3个黄球,这时红球的个数是黄球的3/4.现在袋子里红球与黄球各有多少个? 黄球(2+3*3/4)÷(3/4-2/3)-3=17/4÷1/12-3=51-3=48个 红球48*3/4=36个