用二重积分计算:由曲线xy=a^2 x+y=5/2a(a>0) 所围成图形

用二重积分计算由曲线xy=a^2,x+y=2.5a所围成的图形的面积~

过程如图向左转|向右转

先利用韦达定理
求出两个交点坐标
再利用定积分求面积

过程如下图：

二曲线方程联立,解出二线交点
A(a/2,2a),B(2a,a/2),
积分区域:a/2<=x<=2a, a^2/x<=y<=5a/2-x,
I=∫ [-a/2,2a] dx∫ [a^2/x,-x+5a/2]dy
=∫ [-a/2,2a] ( 5a/2-x-a^2/x)dx
= [-a/2,2a] ( 5ax/2-x^2/2-a^2ln|x|)
=(5a^2-2a^2-ln(2a)-(-5a^2/4-a^2/2-ln|a/2|)
=19a^2/4-2ln2.

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呼兰县18753587320： 用二重积分计算:由曲线xy=a^2 x+y=5/2a(a>0) 所围成图形 - ？
茆庙紫轩： 二曲线方程联立,解出二线交点 A(a/2,2a),B(2a,a/2),积分区域:a/2I=∫ [-a/2,2a] dx∫ [a^2/x,-x+5a/2]dy=∫ [-a/2,2a] ( 5a/2-x-a^2/x)dx= [-a/2,2a] ( 5ax/2-x^2/2-a^2ln|x|)=(5a^2-2a^2-ln(2a)-(-5a^2/4-a^2/2-ln|a/2|)=19a^2/4-2ln2.

呼兰县18753587320： D是由双曲线xy=a^2与直线x+y=5a/2所围的闭区域,求闭区域的面积,用2重积分 - ？
茆庙紫轩：[答案] 封闭区域的面积=0.409a²

呼兰县18753587320： 用二次积分求面积,急求 - ？
茆庙紫轩： 答案是ln{2}*a^2/2.记曲线 y1=a^2/x,y2=2a^2/x,y3=x,y4=2x.当a=0时,区域是原点,面积是0.当a0时,不妨设a>0.在第一、三象限分别有一个闭区域,形状相同,以下只求第一象限的那一个.在以上两个假设下,Step 1. 确定区域形状:曲线y1...

呼兰县18753587320： 利用二重积分求下列曲线所围成区域的面积. xy=a,xy=b,y=px,y=qx.(0<a<b)(0<p<q) - ？
茆庙紫轩： 1)先画个示意图,4个函数都是奇函数,所围成的区域关于原点对称,计算在第一象限的部分面积,再乘以2.x>0时 y=a/x与y=px交于点A(√(a/p),√(ap)),与y=qx交于点B(√(a/q),√(aq)); y=b/x与y=px交于点D(√(b/p),√(bp)),与y=qx交于点C(√(b/q),√(bq)). 由0<a<b,0<p<q,无法确定xA,xC的大小,需讨论. 2)作曲线坐标变换:xy=u,y/x=v,计算雅可比行列式,J=2/v, ∴所求面积=2∫<a,b>du∫<p,q>2dv/v=4(b-a)ln(q/p). 仅供参考.

呼兰县18753587320： 利用二重积分计算曲线所围成的面积y=x^2,y=√x - ？
茆庙紫轩：[答案] 利用二重积分计算曲线所围成的面积y=x^2, y=√x 两曲线交点是 O(0,0)与 (1,1) 且y=√x在上边,y=x²在下边, 所以所求积分形式为 ∫(0--1)[(√x)-x²]dx=(0--1)(2/3)x^(3/2)-(x³/3) =2/3-1//3=1/3 注意,求面积不用二重积分,求体积才用.

呼兰县18753587320： 求由曲面x^2=a^2 - az,x^2+y^2=a^2,z=0(a>0)所围立体的体积 - ？
茆庙紫轩： 该立体是在xoy面的上方,由于该立体的对称性,只需求出该立体在第1挂限的那部分图形的体积,然后4倍即得全部立体的体积.草图中画的是该立体在第1挂限的那部分图形,这个图形是由5个面围成的,简要地说,其中红黄线界定的,是由圆柱面xx+yy=aa构成的右侧面,红绿线界定的,是由抛物柱面xx=aa-az构成的顶部.采用二重积分极坐标计算体积V如下:(本题也可以采用三重积分柱面坐标来计算.本题也可以不用4倍而直接求全部立体的体积.)

呼兰县18753587320： 用二重积分求下列曲线所围成的面积y=x^2,y=x+2 - ？
茆庙紫轩：[答案] 先求直线与抛物线两个交点横坐标 y = x^2 y = x+2 x^2 -x -2 = 0 (x-2)(x+1) = 0 x1 = -1,x2 = 2 所求面积 = 直线从x1到x2 与X轴围成面积 - 抛物线从x1 到x2与X轴围成面积 S = ∫(x+2)dx -∫x^2 dx = (x^2 /2 + 2x) - x^3/3 || 从x1 到x2 = [(2^2 /2 + 2*2) - 2^3/3 ] - [(-1)...

呼兰县18753587320： 二重积分的计算 题目是求∫∫(e的y/x次方)dxdy 其中D是由曲线y=x^2直线y=x以及x=1/2围成的区域 - ？
茆庙紫轩： ∫∫(e^(y/x)dxdy =∫[0,1/2] dx∫[x^2,x] (e^(y/x)dy =∫[0,1/2] dx {(xe^(y/x)|[x^2,x]} =∫[0,1/2] (xe-xe^x) dx =ex^2/2|[0,1/2] -∫[0,1/2] xe^xdx =e/8 -∫[0,1/2] xde^x=e/8 - xe^x|[0,1/2]+∫[0,1/2] e^xdx =e/8-√e/2 +[√e -1]=e/8 +√e/2 -1

呼兰县18753587320： 二重积分的计算应用,由曲线xy=1,xy=2,y=x,y=3x 在第一象限内所围图形的面积等于最好能写个步骤,开头写写就好了,但也不要太短了,. - ？
茆庙紫轩：[答案] 在第一象限内直线y=x在直线y=3x的下方,xy=1在xy=2下方. 直线y=x与xy=1、xy=2分别交与点(1,1)、(√2,√2),而直线y=3x与xy=1、xy=2分别交与点(√3/3,√3)、(√6/3,√6),按x坐标排序是 (√3/3,√3)、(√6/3,√6)、(1,1)、(√2,√2) ...

呼兰县18753587320： 选用合适的坐标计算下列二重积分:∫∫D(x^2/y^2)dδ,其中D是由直线x=2,y=x及曲线xy=1所围成的区域选用合适的坐标计算下列二重积分:∫∫D(x^2/y^2)dδ,其... - ？
茆庙紫轩：[答案] xy坐标即可,先对y积分,再积分x,范围: 1