已知点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1上运动,设D1P/D1B=x,当∠APC为锐角时,求

如图，已知点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的对角线BD1上，∠PDA=60°~

(1)做辅助线DB
cosPDA = cosPDB * cosBDA

cosPDA = cos60°= 1/2
cosBDA = cos45°= 根号2/2

得 cosPDB = 根号2/2
PDB = 45°，即 PDD1 = 45°
所以PD与CC1所成角的大小也为45°

(2)作DP的延长线交B1D1于E，过E作A1D1的垂线EE1，交A1D1于E1
设正方体边长为1
则 ED1=1,ED=根号2,EE1=根号2/2

所以 DE1 = 根号6/2

DP与平面AA1D1D所成角的大小等于∠EDE1(EE1垂直于面AA1D1D)
而 cosEDE1 = DE1/DE = 根号3/2
所以∠EDE1 = 30°

所以所求角为30°

解：
∵棱长为1，
∴AB=BC=1，D1A=D1C=√2，D1B=√3，AC=√2
∠D1AB=∠D1CB=90°
cos∠D1BA=cos∠D1BC=BC/D1B=1/√3=√3/3
D1P/D1B=α
D1P=α·D1B=α√3
BP=D1B-D1P=√3-α√3=(1-α)√3
AP^2=CP^2
=BC^2+BP^2-2BC·BP·cos∠D1BC
=1^2+[(1-α)√3]^2-2×1·(1-α)√3×√3/3
=3(1-α)^2-2(1-a)+1
=3α^2-4α+2
当∠APC为钝角时
cos∠APC=(AP^2+CP^2-AC^2)/(2AP·CP)
=(2AP^2-2)/2AP^2
<0
∵2AP^2>0
∴2AP^2-2<0
AP^2<1
3α^2-4α+2<1
3α^2-4α+1<0
(3α-1)(α-1)<0
1/3<α<1
∴α的取值范围是：(1/3，1)

以D为原点、DC所在直线为x轴、DA所在直线为y轴、DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系，并使点B1位于第一卦限内。
∵ABCD－A1B1C1D1是棱长为1的正方体，∴容易得出：B、D1的坐标依次是：
B（1，1，0）、D1（0，0，1）。得：向量D1B＝（1，1，－1）。
∵D1P/D1B＝x，∴向量D1P＝x向量D1B＝（x，x，－x）。

∵ABCD－A1B1C1D1是棱长为1的正方体，∴容易得出：A、C的坐标依次是：
A（0，1，0）、（1，0，0），又D1的坐标为（0，0，1），
向量D1A＝（0，1，－1）、向量D1C＝（1，0，－1）、向量AC＝（1，－1，0）。

由向量D1P＝（x，x，－x）、向量D1A＝（0，1，－1）、向量D1C＝（1，0，－1），得：
向量PA＝（－x，1－x，x－1）、向量PC＝（1－x，－x，x－1），
∴向量PA·向量PC＝x^2－x＋x^2－x＋x^2－2x＋1＝3x^2－4x＋1，
｜向量PA｜＝√［x^2＋（1－x）^2＋（x－1）^2］＝√［x^2＋2（x－1）^2］，
｜向量PC｜＝√［（1－x）^2＋x^2＋（x－1）^2］＝√［x^2＋2（x－1）^2］，
∴｜向量PA｜｜向量PC｜＝x^2＋2（x－1）^2。

∵∠APC为锐角，∴cos∠APC>0，
∴cos∠APC＝向量PA·向量PC/（｜向量PA｜｜向量PC｜）>0，
∴（3x^2－4x＋1）/［x^2＋2（x－1）^2］>0，
∵x^2＋2（x－1）^2＞0，∴3x^2－4x＋1>0，∴（3x－1）（x－1）>0(因为在正方体内部，所以x>0)
即：满足条件的λ的取值范围是（0，1/3）∪（1，+无穷）解答完毕，请指教

求什么？

图呢？

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