设A为n阶矩阵,且满足AAT=E,A的行列式小于零,证明-1是A的一个特征值
因为AAT=E，所以A为正交矩阵，且|A|<0，所以|A|=-1
|A+E|
=|A+AA^T|
= |A(E+A^T)|
这一步骤是怎么推倒的？
证明假设A特征值为λ，则A^()-1=A^t，特征值相同：λ=1/λ
λ^2=，λ=1.-1
这是特征值的定义推导出来的.
λ是A的特征值的充要条件是 λ 是 |A-λE| = 0 的解.
所以 |A+E|=0 时有 |A-(-E)| = 0
所以 -1 是A的一个特征值
|A+I|=|A+AA^T|=|A|*|I+A^T|=|A|*|I+A|=-|A+I|，其中倒数第二个等号是因为转置得行列式等于本身，移项得结果。n阶行列式等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和，逆序数为偶数时带正号，逆序数为奇数时带负号，共有n!项。
n阶行列式的性质
性质1 行列互换，行列式不变。
性质2 把行列式中某一行（列）的所有元素都乘以一个数K，等于用数K乘以行列式。
性质3 如果行列式的某行(列）的各元素是两个元素之和，那么这个行列式等于两个行列式的和。
性质4 如果行列式中有两行（列）相同，那么行列式为零。（所谓两行（列）相同就是说两行（列）的对应元素都相等）
性质5 如果行列式中两行（列）成比例，那么行列式为零。
性质6 把一行（列）的倍数加到另一行（列），行列式不变。
性质7 对换行列式中两行（列）的位置，行列式反号。
证明:|A+E|
= |A+AA^T|
= |A(E+A^T)|
= |A||(E+A)^T|
= |A||A+E|
所以 |A+E|(1-|A|)=0
因为 |A|
且|^因为AAT=E，所以A为正交矩阵，且|A|<0，所以|A|=-1
|A+E|
=|A+AA^T|
= |A(E+A^T)|
证明假设A特征值为λ，则A^()-1=A^t，特征值相同：λ=1/λ
λ^2=，λ=1.-1
扩展资料：
设A为n阶矩阵，根据关系式Ax=λx，可写出(λE-A)x=0，继而写出特征多项式|λE-A|=0，可求出矩阵A有n个特征值（包括重特征值）。将求出的特征值λi代入原特征多项式，求解方程(λiE-A)x=0，所求解向量x就是对应的特征值λi的特征向量。
[注]：若是的属于的特征向量，则也是对应于的特征向量，因而特征向量不能由特征值惟一确定。反之，不同特征值对应的特征向量不会相等，亦即一个特征向量只能属于一个特征值。
参考资料来源：百度百科-特征值
这个证明很简单，过程如下：
1. 由AAT=E可知，A是一个正交矩阵，那么A中任何一个特征值的模都为1；
2. 假设A的所有特征值都是1，那么A的行列式必然等于1，这与A的行列式小于0矛盾，因此假设不成立，所以-1是A的一个特征值，证毕！
证明: |A+E|
= |A+AA^T|
= |A(E+A^T)|
= |A||(E+A)^T|
= |A||A+E|
所以 |A+E|(1-|A|)=0
因为 |A|<0, 所以 1-|A|≠0
所以 |A+E|=0
所以 -1 是A的特征值.
设A为n阶矩阵,且满足AAT=E,A的行列式小于零,证明-1是A的一个特征值
|A+I|=|A+AA^T|=|A|*|I+A^T|=|A|*|I+A|=-|A+I|，其中倒数第二个等号是因为转置得行列式等于本身，移项得结果。n阶行列式等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和，逆序数为偶数时带正号，逆序数为奇数时带负号，共有n!项。n阶行列式的性质 性质1 行列互换，行列式不变。...
设a为n阶方阵,且满足a^2=a。证明:r(a-e)+r(a)=n,其中e是n阶单位矩阵...
因为A*A=A，所以A(A-E)=0；故A-E的每个列向量都是方程Ax=0的解；由于A-E中的列向量未必构成解空间的基，所以R(A)+R(A-E)小于等于n；又由R(A)+R(B)>=R(A+B)；可得R(A)+R(A-E)=R(A)+R(E-A)>=R(A+E-A)=R(E)=n；所以R(A)+R(A-E)=n。
.设A为n阶方阵,且满足AA^T =E和|A|=-1,证明行列式|E+A|=0.
第一个等式是因为(E+A')=E'+A'=(E+A)'第二个等式是因为一个矩阵的行列式与它的转置的行列式相等。|A显然是正交矩阵，因此特征值只能有1或-1 又因为|A|=-1，因此特征值肯定有-1（否则的话，所有特征值都是1，其乘积也即行列式|A|=1，而不是-1）从而A+E必有特征值-1+1=0 则|A+E...
设A为n阶矩阵,且满足A^2=A,证明R(A -E)+R(A )=n
简单计算一下即可，答案如图所示
设A是N阶矩阵,且满足A的平方=E,证明r(A-E)+r(A+E)=n
A)+r(B)AB=0,有rA+rB<=n r(A+E)+r(A-E)>=r(A+E+A-E)=r(2A)=r(A)因为A^2=E,则|A^2|=|A|^2=1,得到§A§＝\/0,所以r(A)=n 所以r(A+E)+r(A-E）》＝n;又A^2－E=(A+E)(A-E)=0 r(A+E)+r(A-E）<＝n;综上，有结论：r（A-E）+r（A+E）=n ...
设A为n阶矩阵,n为奇数,且满足AA^T=E,|A|=1。求|A-E|。
答案为0。解题过程如下图：
大学线性代数证明题,设A为n阶矩阵,且满足AAT=E,A的行列式小于零,证明...
因为AAT=E，所以A为正交矩阵，且|A|<0，所以|A|=-1 |A+E| =|A+AA^T| = |A(E+A^T)| 这一步骤是怎么推倒的？证明假设A特征值为λ，则A^()-1=A^t，特征值相同：λ=1\/λ λ^2=，λ=1.-1
已知矩阵A为n阶矩阵,且满足A^2=E 则矩阵A的秩为n
简单计算一下即可，答案如图所示
设A为n阶矩阵,且满足A^2=A ,则下列命题中正确的是( ) 为什么
答案是选D。A，B不解释，你自己肯定明白。C的话我给你个反例：A=（1 0；0 0）即第一行是（1，0）第二行是（0，0）的二阶方阵。满足A^2=A且不可逆且A不为0。选D是因为A可逆，从而等式两边同时左乘A逆就有了。
A为n阶矩阵,且rankA=rankA^2,证明:rankA=rankA^3(除约当标准型之外的解...
注意rank(A)=rank(A^2)等价于Ax=0和A^2x=0同解 既然如此，A^3x=A^2(Ax)=0和A^2x=A(Ax)=0也同解 所以rank(A^3)=rank(A^2)=rank(A)
查矩健脾：[答案] 因为AAT=E,所以A为正交矩阵,且|A|
南溪县17358843678： 设A为n阶矩阵,且满足AAT=E,A的行列式小于零,证明 - 1是A的一个特征值 - ？
查矩健脾：[答案] 证明:|A+E| = |A+AA^T| = |A(E+A^T)| = |A||(E+A)^T| = |A||A+E| 所以 |A+E|(1-|A|)=0 因为 |A|
南溪县17358843678： 设A为n阶矩阵,满足AAT=E,lAl - ？
查矩健脾：[答案] |A+E|=|A+AA'|=|A||E+A'|=|A||(E+A)'|=|A||E+A|,而|A|=-1,所以推出|A+E|=0
南溪县17358843678： 若A为n阶方阵且AAT=E,证明|A|= - 1或1.(AAT中的T 为后面的A的上标,即A 乘以A的T次方) - ？
查矩健脾：[答案] AAT=E |AAT|=1 |A||A|=1 |A|=-1/1
南溪县17358843678： 设A是n阶实方阵,且AAT=E,证明|A|=正负1 - ？
查矩健脾：[答案] 因|AAT|=|E|=1 且|A|=|AT| 则|A|^2=1 所以|A|=正负1
南溪县17358843678： 若A是n阶方阵,且AAT=E,|A|= - 1,证明|A+E|=0.其中E为单位矩阵. - ？
查矩健脾：[答案] 证明:∵|A+E|=|A+AAT|=|A||E+AT|=-|(E+A)T|=-|E+A| ∴2|E+A|=0,即|E+A|=0.
南溪县17358843678： 大学线性代数证明题,设A为n阶矩阵,且满足AAT=E,A的行列式小于零,证明 - 1是A的一个特征值 - ？
查矩健脾： 因为AAT=E,所以A为正交矩阵,且|A|<0,所以|A|=-1|A+E| =|A+AA^T|= |A(E+A^T)|这一步骤是怎么推倒的?证明假设A特征值为λ,则A^()-1=A^t,特征值相同:λ=1/λ λ^2=,λ=1.-1
南溪县17358843678： 证明:若 n 阶矩阵 A 满足:AAT = E 且 |A| = - 1,则矩阵 A 必有一特征值为 - 1. - ？
查矩健脾：[答案] 只要证明|A+E|的行列式为0就可以了. |A+E|=|A+AA^T|=|A(E+A^T)|=|A||E+A^T|=-|(A+E)^T|=-|A+E| 移一下项就得到 2|A+E|=0,从而|A+E|=0,即A必有一个特征值为-1. 不清楚再讨论:Q1054 7 2 1 2 4 6
南溪县17358843678： 有关矩阵.设A为n阶矩阵,n为奇数,且AAT=E,|A|=1,求|A - En| - ？
查矩健脾：[答案] |A-En|=|(A-En)^T|=|A^T-E|=|A^T-En||A|=|(A^T-En)A|=|En-A|=(-1)^n|A-En|=-|A-En| 所以|A-En|=0
南溪县17358843678： n阶实矩阵A若AAT=E,则A称为正交矩阵,设A,B都是n阶正交矩阵,若|A|+||B|=0,则|A+B|= - ？
查矩健脾：[答案] 因为A,B为正交矩阵所以 A^TA=AA^T=E,B^TB=BB^T=E.且 |A|^2=|B|^2=1再由 |A|+|B|=0得 |A|^2+|B|^2+2|A||B|=0所以 |A||B|=-1.所以 -|A+B|= |A||A+B||B|= |A^T||A+B||B^T|= |A^T(A+B)B^T|= |A^TAB^T+A^TBB^T|= |B^T+A^T...
