问一道线性代数题，在这道题中请问在线性空间中如何求解空间的一组基及其维数呢？
最简单最快速的方法是利用欧氏空间的一个定理：如果空间的维数为n，则空间内任意n个线性无关的向量可以做该空间的基底。矩阵的行秩等于列秩。
来看这道题：首先初等行变换矩阵变为阶梯型，发现该矩阵的秩为3。那么，这个矩阵中任意三个线性无关的行向量就是该矩阵行空间的基底，这个矩阵只有3个行向量，那这三个行向量就是基底。
然后看列空间，第一列与第四列明显线性无关。记这两条列向量为a1,a4，为了验证a2,a3中哪条向量与这两条线性无关，做出假设，a2与a1,a4线性相关，则存在数x,y,使得xa2+ya3=a2。得到x+y=3,2x+2y=1,3x+6y=4，光看前两个式子就知道这样的x,y不存在。所以a1,a2,a4线性无关，所以a1,a2,a4就是列空间的基底。
这个方法是极为快速简洁的方法，总比换底公式快的多的多。
零空间的基实际上笨法子就是最好的办法：初等行变换得如下矩阵
1 3 -2 1
0 -5 7 0
0 0 16 4
令x4=1,解得x3=-1/4,x2=-7/20,x1=-9/20
(-9/20 -7/20 -1/4 1)就是零空间的基底。实际上求零解空间的基底就是求Ax=0的基础解系。
2 1 4 -1
1 1 5 -5
3 3 3 3
第1行交换第2行
1 1 5 -5
2 1 4 -1
3 3 3 3
第2行,第3行, 加上第1行×-2,-3
1 1 5 -5
0 -1 -6 9
0 0 -12 18
第1行, 加上第2行×1
1 0 -1 4
0 -1 -6 9
0 0 -12 18
第2行, 提取公因子-1
1 0 -1 4
0 1 6 -9
0 0 -12 18
第1行,第2行, 加上第3行×-1/12,1/2
1 0 0 5/2
0 1 0 0
0 0 -12 18
第3行, 提取公因子-12
1 0 0 5/2
0 1 0 0
0 0 1 -3/2
则向量组秩为3，且α1, α2, α3是一个极大线性无关组，是向量空间的一组基，其维数是3
因此也是V的一组基
最后随便令x3、x4为一个数，这里是10、01，就解出来了
一道线性代数的题目
α1,α2线性无关，β1,β2也线性无关！所以 由向量α1,α2生成的子空间：x1α1+x2α2=x1(1,2,1,0)+x2(-1,1,1,1)=(x1-x2,2x1+x2,x1+x2,x2)由向量β1,β2生成的子空间：y1β1+y2β2=y1(2,-1,0,1)+y2(1,-1,3,7)=(2y1+y2,-y1-y2,3y2,y1+7y2)子空间...
一道简单的线性代数题,悬赏
0 21 -6 0 + 0 1 0 = 21 -5 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 补充：在做A^2的时候，应该可以看出来，每增加一次方，主对角线上的前两个元素变好，第1列中间的元素+1后变号，根据这个规律，后面就不用算了，直接可以得出A^3,A^4,A^5甚至A^6...都知道了 ...
求线性代数题一道。。。会解的麻烦了!!
, r1-3r3,r2-3r3 0 1 0 -1 2 3 1 0 0 0 3 3 0 0 1 1 1 0 交换行 1 0 0 0 3 3 0 1 0 -1 2 3 0 0 1 1 1 0 B = 0 3 3 -1 2 3 1 1 0 好几个人问这个题目了, 这是谁写的哪本教材上的题目?
一道线性代数的问题 求大神解答!!!1
有表达式：AA*=det(A)E，分情况：若A非奇异，det(A)不等于0，等式取行列式得|A||A*|=|A|^n，约掉一个得|A*|=|A|^(n-1)若A为0矩阵，显然成立。若A是不等于0的奇异阵，此时|A|=0，要证明|A*|=0，反证法，若|A*|不为0，则A*非奇异，在等式中右乘A*^(-1)，得A＝0，...
一道线性代数的题目,急
1, -5, 2, 1| -1 3, 1, -1, +2| 2 2, 6, -3, -3|λ+1 -1,-11, 5, 4| -4→行初等变换→ 1, 0, -3\/16, -9\/16|9\/16 0, 1, -7\/15, -5\/16|5\/16 0, 0, 0, 0 |λ-2,0, 0, 0, 0 |0 λ＝2时，方程有解，通解...
一道线性代数证明题,与线性表示有关,见问题补充,谢谢啦
∵A是n阶可逆矩阵，a1,a2,...,as(s<=n)都是n维非零列向量 ∴Aaj≠0 (j=1,2,……,s)ajtAtAaj≠0 (j=1,2,……,s)作线性组合 k1a1+k2a2+...,+ksas 令 k1a1+k2a2+...,+ksas＝0 在上式两端作用ajtAtA (j=1,2,……,s) 得：kjajtAtAaj=0 (j=1...
一道线性代数的题
2A^2-2A=A^3,A^3-2A^2+2A=0 A^3-2A^2+2A-E=-E A^3-E-2A(A-E)=-E (A-E)[(A^2+AE+E)-2A]=-E (A-E)(A^2-A+E)=-E 所以（A-E）是可逆的，也就是E-A可逆 E-A的逆矩阵就是(A^2-A+E)
一道线性代数的题目!!
方法一：相似于对角阵当且仅当最小多项式无重根。现在A^m=0，所以A有化零多项式f(x)=x^m。最小多项式p(x)整除化零多项式x^m，所以存在n<=m，p(x)=x^n。若此多项式无重根，则必有n=1，p(x)=x，从而0=p(A)=A，矛盾。方法二：设A相似于对角阵，则存在可逆矩阵P使得A=P*diag{a1,...
一道线性代数的题
aa^T显然是对称阵，且有n-1个特征值0，和1个非0特征值是1（因为单位向量a，满足迹tr(aa^T)=1）因此根据特征值的定义，得知必有|E-aa^T|=0，从而立即选A 如果不懂特征值的性质，也可以用排除法来做这道题：a为单位列向量，则不妨设a=(0,...,1,0,...,0)^T 则aa^T只有在对角线...
一道线性代数证明题?
根据题意：∃(β1,β2,...βs)∈B，使得∀(α1,α2,...αm)∈A，满足：(α1,α2,...αm)=(β1,β2,...βs)K，其中：K是s×m矩阵 又∵ (α1,α2,...αm)=(α1,α2,...αr)P，其中α1,α2,...αr是A的一个极大线性无关组 ∴ (α1,α2,......
宦兰加味： r(A)=1(为什么?因为第234行都可以用第一行表示) |A|=0可以推出0是A的一个特征值,又因为AX=0的基础解析包含3个向量(线性无关),所以A对应于特征值λ=0有3个线性无关的特征向量,所以λ1=λ2=λ3=0是A的三重特征根..
新民市13616088784： 问一道线性代数的题目设α1,α2,α3是四元非齐次线性方程组Ax=b的三个解向量,且秩 r(A) = 3,α1=(1,0,2,0)T,α2+α3=(0,2,3,4)T,c 表示任意常数,则线性方程组... - ？
宦兰加味：[答案] 首先α1为Ax=b的一个特解 下面只需要求Ax=0的通解就可以了 由r(A) = 3,而A是4阶矩阵,所以Ax=0的通解是1维线性空间,即基的个数为1 而α1,α2,α3是四元非齐次线性方程组Ax=b的三个解向量 所以α1-α2,α1-α3都是Ax=0的解向量 所以α1-α2+α1-α3=2α1...
新民市13616088784： 线性代数 这道题中的abc怎么处理 - ？
宦兰加味： 将第4行分别乘-1,-2,-3加到前三行,可得到一个分块下三角行列式,答案就是对角线上两个小行列式的乘积,与a,b,c无关.最终答案是-4.
新民市13616088784： 请问一道线性代数题 a ,b, c 均为三维列向量,记矩阵A=(a ,b, c )B=(a+2b+4c,a+3b+9c,a+4b+16c),则|B|=? - ？
宦兰加味： 以A'表示A的转置.注意到:B=(a+2b+4c,a+3b+9c,a+4b+16c) 以下,引入矩阵F,它由B中a,b,c的系数构成.F= 1 2 41 3 9 1 4 16 则B=FA'.故:|B|=|F||A'|= |F||A|.容易求得|F|=2,.即|B|=2|A|.
新民市13616088784： 问一道关于线性代数的数学题 非齐次线性方程组Ax=b中未知量的个数为n,方程个数为m,系数矩阵A的秩为r,则() - ？
宦兰加味：[选项] A. r=m时方程组Ax=b有解 B. r=n时,方程组Ax=b有唯一解 C. m=n时,方程组Ax=b 有唯一解 D. rr时 增广矩阵的秩有可能不等于系数矩阵的秩 出现无解
新民市13616088784： 问一道线性代数的题目 - ？
宦兰加味： 回答: 应该说通解是不唯一的.但在ABCD这4个选项中,只有B正确. 非齐次线性方程组的通解由它的一个特解和对应的齐次线性方程的通解构成.所以求解此题,要找到对应的齐次线性方程的通解. 由秩 r(A) = 3可知对应齐次线性方程有4-3...
新民市13616088784： 一道线性代数题设α,β是n元齐次线性方程组AX=b的两个不同的解,秩(A)=n - 1,那么方程组Ax=b所对应的齐次线性方程组AX=0的全部解为多少? - ？
宦兰加味：[答案] 秩(A)=n-1, 所以只有α,β是n元齐次线性方程组AX=b的两个不同的解 Aα=b;Aβ=b; A(α-β)= 0 又因为秩(A)=n-1,所以r(kernel(A)) = 1 所以以(α-β)为基底的一维线性空间就是解空间
新民市13616088784： 一道线性代数题目设A是mxn矩阵,非齐次线性方程组Ax=b有解的充分条件是? - ？
宦兰加味：[答案] Ax=b有解 r(A)=r(A,b) r=n时,方程组不一定有解 r=m时,因为 m = r(A)
新民市13616088784： 一道线性代数的题目A是一个M X N型的矩阵,B 是一个n阶矩阵,若B的秩为N 那么AB的秩为什麽? - ？
宦兰加味：[答案] AB的秩就是A的秩. 证明: 法一: 用秩的不等式, r(A)+r(B)-N
新民市13616088784： 一道线性代数题,若A为三阶方阵,且|A+2E|=0,|2A+E|=0,|3A - 4E|=0,则|A|= - ？
宦兰加味：[答案] 因为 |A+2E|=0,|2A+E|=0,|3A-4E|=0 所以 -2,-1/2,4/3 是A的特征值 又A是3阶方阵 所以 -2,-1/2,4/3 是A的全部特征值 所以 |A| = (-2)*(-1/2)*(4/3) = 4/3
