一个最小三位数除以9余6,除以4余2,除以5余1,这个数是几?

如果一个自然数除以7余4，除以5余2，除以6余3，那么这个自然数最小是多少~

这个题目属于韩信点兵问题。
有一天，韩信来到操练场，检阅士兵操练。他问部将，今天有多少士兵操练，部将回答：“大约两千三百人。”韩信走上点兵台，他先命全体士兵排成七路纵队，最后一排剩下2人；他又命全体士兵排成5路纵队，问最后一排剩几人，部将说，剩3人；最后，他又让全体士兵排成3路纵队，问最后一排剩几人，部将说，剩2人。韩信告诉部将，今天参加操练的士兵有2333人。
因为这个数除以5余2除以6余3除以7余4，可以理解为这个数加3可以整除5、6、7所以这个数是5,6,7的最小公倍数减3。所以这个数最小是：210-3=207。
希望我能帮助你解疑释惑。

除以9余6，说明这个数可以被3整除除以4余2，说明这个数是偶数除以5余1，说明这个数尾数是1或6先看这3条，得到个位数是6，再看除以4余2，除以4的结果和百位是没有关系的，那么末尾两位除以4余2的尾数有06、26、46、66、86再考虑最小的话，首先应考虑百位数，百位数为1时，能被3整除的有126、186，其中除以9余6的是186所以这个数就是186了

一个最小三位数除以9余6,除以4余2,除以5余1,这个数是几?
解：
原题转化为
x为尽可能小的整数，100<=x<1000。且满足同余式组
x==6 mod 9
x==2 mod 4
x==1 mod 5
首先解得x==6 mod 180
进而得x=186.

下面是我的解答思想、过程、改进方案。
AAA 用中国剩余定理的等价表述来解答。容易从中看出中国剩余定理的本质。
（A1A）
设x=a*4*5+b*9*5+c*9*4+t*9*4*5，亦即 x==a*4*5+b*9*5+c*9*4 mod 9*4*5
下面对这两种表述不作区分。
(
注：可以严格证明，任意整数均可以表示为这种形式，因此这种设定是可行的。
略证：易见gcd(4*5, 9*5, 9*4)=1，故a*4*5+b*9*5+c*9*4可表示出1,自然能表示出任意整数。
)
（A2A）
代入原同余式组，得
a*4*5==6 mod 9
b*9*5==2 mod 4
c*9*4==1 mod 5
解得
（A3A）
a==3 mod 9
b==2 mod 4
c==1 mod 5
(A4A)
任取满足上面的同余式的一组a,b,c值，代入(A1A)中，即得解。
例如，x==3*4*5+2*9*5+1*9*4 mod 9*4*5
x==60+90+36 mod 180
x==6 mod 180.

BBB 我的改进方案。请与AAA中的同序号的子项对应。
（B1B）将x=a*4*5+b*9*5+c*9*4+t*9*4*5写成如下二列的矩阵形式，或者认为是两个向量。
x=
a@9
b@4
c@5
我将这种描述称为模积记数法。这种形式表现出了对称性与简明性。当然还可以理解为是两个向量的某种函数。
（B2B）
将(A1A)中的式子写成
a==6/(4*5) mod 9
b==2/(9*5) mod 4
c==1/(9*4) mod 5
这种表述我最早接触是在研习张玉华先生赠我的《洪伯阳·数学宝山上的明珠》一书时看到。我称之为洪伯阳同余记法。
我有时也有//表示将后面的有效算式整体作为分母，相当于/()，从而省略括号.
这种表述方便而统一，可以利用约分而简化计算，可以不必计算模逆(同余逆，乘率，大衍求一）。
(B3B)
利用洪伯阳表述及同余式的性质，可以快速解出上面的表达式。
求得的a,b,c，我们应当知道，它不必是一个固定的数。这是对中国剩余定理的灵活理解，是本质上的理解。
但是，还需要用简明的形式才能方便转化。利用B1B中的模积记数法，其形式与同余式组相似对应，容易让我们直观对应，从而灵活变换和计算。
(B4B)
x=
3@9
2@4
1@5

以上三式具有对称性，任意组合计算均可。如
x
=
3@9
2*5+1*4 @20
=
3@9
-6@20
=6 mod 180

也可以
x=
3*4+2*9 @9*4
1 @5
=
-6 @36
1 @ 5
=-6*5+1*36 mod 36*5
=6 mod 180

(AAABBB)
过程综述：
从本质上理解中国剩余定理，用洪伯阳同余表示简化同余式求解的形式与过程、用何冬州模积记数法直观灵活处理中间变量，进行简化计算。
x=
6 mod 9
2 mod 4
1 mod 5
mod符号我也记成 |||或 %，等等。

x=
6//4*5 @9
2//9*5 @4
1//9*4 @5
把这个过程在大脑中建立映像，不必书写在纸上，将它认为是上面的同余式组的直接直观对应的等价式。
然后写出心算的结果

x=
3 @9
2 @4
1 @5
然后直接写出其中两式的模式转化式如前两式
-6 @36
然后再与第三式心算，立得x==6 mod 180

CCC。渐进式解法，类似牛顿插值法。
令x=6+k.
于是k==0，0，0 mod 9,4,5
立得x=6 mod 9*4*5.

DDD 我的一整套同余式理论，已大体形成。将上面讲到渐进式解法、插值法、线性代数理论的形式简化及在数论中的应用、同余式的矩阵或向量述、线性方程组的拉格朗日插值式解法等等熔为一炉。
注意到
上面
x=
-6@36
1@5
下一步计算结果也可写成
x=6 @ 180
因为这里的 @,称为模积运算符号,同时具有模运算性质与交错积的性质.
事实上
相当于
x=
6 @180
0 @1
=6 mod 180.
而x=0@1 是公共的性质，可以省略。因为每个数都被1整除，即模1余0.

这个数是186

71*45de值

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察布查尔锡伯自治县17177821895： 一个三位数除以9余6,除以4余2,除以5余1,这个三位数最小是几? - ？
嬴克皮炎： 除以9余6,说明这个数可以被3整除 除以4余2,说明这个数是偶数 除以5余1,说明这个数尾数是1或6先看这3条,得到个位数是6,再看除以4余2,除以4的结果和百位是没有关系的,那么末尾两位除以4余2的尾数有06、26、46、66、86再考虑最小的话,首先应考虑百位数,百位数为1时,能被3整除的有126、186,其中除以9余6的是186所以这个数就是186了

察布查尔锡伯自治县17177821895： 一个三位数除以9余6,除以4余2,除以5余1,这个三位数最大是多少?要有过程!十万火急! - ？
嬴克皮炎：[答案] 9*5*4+6=186 除4余2也相当于除4余6 除5余1也相当于除5余6

察布查尔锡伯自治县17177821895： 一个三位数除以9余6,除以4余1,除以5余2,这个三位数最小是几?？
嬴克皮炎： 先算出最小公倍数是180,在仔细一看发现他们离被整除都少3,所以答案就是180减3等于177

察布查尔锡伯自治县17177821895： 一个三位数除以9余6,除以4余1,除以5余2,这样的三位数中,最大的是几 - ？
嬴克皮炎： 因为除以5余2,所以个位数为2或7又除以4余1,个位数只能为7.试算997,997÷9,余7987,满足除以9余6. 所以最大的是987.

察布查尔锡伯自治县17177821895： 一个三位数 除以九余六 除以四余二 除以五余一 这个数是什么?急`````````````````````````````````````````````` - ？
嬴克皮炎：[答案] 以前有个什么除7余2答案是23的,那个题有个很奇怪的方法,我到现在没明白,我帮你凑了一个906,因为9,5,4两两互素,所以906-n*9*5*4也是答案 所以三位数的答案有906,726,546,366,186

察布查尔锡伯自治县17177821895： 一个三位数除以9余6,除以4余1,除以5余2,这样的三位数中,最大的是几具体过程回答 - ？
嬴克皮炎：[答案] 因为除以5余2,所以个位数为2或7又除以4余1,个位数只能为7.试算997,997÷9,余7987,满足除以9余6.所以最大的是987.

察布查尔锡伯自治县17177821895： 六年级奥数题?？
嬴克皮炎： 给这个数加上3之后能被4,5,9整除 所以最小就是180-3=177

察布查尔锡伯自治县17177821895： 一个三位数用9除少6,用4除余3.这个三位数最小是多少?？
嬴克皮炎： 这个数减3后可以被9和4整除 而9与4的最小公倍数为36 所以这个数为36+3=39. 最小三位数就是36*3+3=111.

察布查尔锡伯自治县17177821895： 一个三位数除以9余7,除以4余3,这样的三位数共有几个 - ？
嬴克皮炎：[答案] 方法一:用剩余定理做:7*100+2*36+3*45=907 9、5、4的最小公倍数是:180 907/180=5...7 所以这样的三位数是:180*1+7=187 180*2+7=367 180*3+7=547 180*4+7=727 180*5+7=907 共有:五个 方法二:枚举法:类似题型若...

察布查尔锡伯自治县17177821895： 一个数字的问题一个三位数除以9余7,除以5余2,除以4余3,这样的三位数共有多少个?看到有个解法:第一个数:能够同时被9和5整除,但除以4余3,即... - ？
嬴克皮炎：[答案] 方法一:用剩余定理做:7*100+2*36+3*45=907 9、5、4的最小公倍数是:180 907/180=5.7 所以这样的三位数是:180*1+7=187 180*2+7=367 180*3+7=547 180*4+7=727 180*5+7=907 共有:五个 方法二:枚举法:类似题型若无...