三角形重心的性质需要证明么？

三角形重心的性质需要证明么？~

重心是三角形三边中线的交点,三线交一点可用燕尾定理证明,十分简单.证明过程又是塞瓦定理的特例。
已知：△abc中,d为bc中点,e为ac中点,ad与be交于o,co延长线交ab于f。
求证：f为ab中点.
三角形重心
证明：根据燕尾定理,s△aob=s△aoc,又s△aob=s△boc,∴s△aoc=s△boc,再应用燕尾定理即得af=bf,命题得证。
重心的几条性质：
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中,重心的坐标是顶点坐标的算术平均,即其坐标为((x1+x2+x3)/3,(y1+y2+y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(x1+x2+x3)/3
纵坐标：(y1+y2+y3)/3
竖坐标：（z1+z2+z3）/3
5、重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分.
证明：刚才证明三线交一时已证。
6、重心是三角形内到三边距离之积最大的点。

重心是三角形三边中线的交点,三线交一点可用燕尾定理证明,十分简单.证明过程又是塞瓦定理的特例。
已知：△ABC中,D为BC中点,E为AC中点,AD与BE交于O,CO延长线交AB于F。
求证：F为AB中点. 三角形重心
证明：根据燕尾定理,S△AOB=S△AOC,又S△AOB=S△BOC,∴S△AOC=S△BOC,再应用燕尾定理即得AF=BF,命题得证。
重心的几条性质：
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中,重心的坐标是顶点坐标的算术平均,即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（Z1+Z2+Z3）/3
5、重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分. 证明：刚才证明三线交一时已证。
6、重心是三角形内到三边距离之积最大的点。

三角形重心

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三角形重心是三角形三边中线的交点。当几何体为匀质物体时，重心与形心重合。

中文名：三角形重心
定义：是三角形三边中线的交点
性质比例：重心到对边中点的距离之比为2：1
应用领域：几何
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性质证明

1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

证明一

例：已知：△ABC，E、F是AB，AC的中点。EC、FB交于G。

求证：EG=1/2CG

证明：过E作EH∥BF交AC于H。

∵AE=BE，EH//BF

∴AH=HF=1/2AF(平行线分线段成比例定理)

又∵ AF=CF

∴HF=1/2CF

∴HF:CF=1/2

∵EH∥BF

∴EG:CG=HF:CF=1/2

∴EG=1/2CG

证明二

2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

证明方法：

在△ABC内，三边为a，b，c，点O是该三角形的重心，AOA'、BOB'、COC'分别为a、b、c边上的中线。根据重心性质知，OA'=1/3AA'，OB'=1/3BB'，OC'=1/3CC'，过O，A分别作a边上高OH'，AH,可知OH'=1/3AH 则，S△BOC=1/2×OH'a=1/2×1/3AHa=1/3S△ABC；同理可证S△AOC=1/3S△ABC，S△AOB=1/3S△ABC，所以，S△BOC=S△AOC=S△AOB

3、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。 (等边三角形）

证明方法：

不需要

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金牛区13776831285： 关于三角形重心性质的证明 - ？
夷璧益坦：[答案] 三角形中线的性质秒杀: 三角形任意两边的平方和等于第三边上的中线与第三边的一半的平方和的两倍 由此可得: AB^2+AC^2=2(AE^2+BE^2)=2(9/4AG^2+1/4BC^2) ∴AG^2=2/9AB^2+2/9AC^2-1/9BC^2 同理可得: BG^2=2/9AB^2+2/9BC^2-1/9...

金牛区13776831285： 三角形重心是什么?怎样证明三点共面和共线,用空间向量又怎么证? - ？
夷璧益坦： 重心:在三角形中,三条中线交于一点,该点叫做这一三角形的重心.性质:三角形的重心把每一条中线分成两部分,这两部分之比为2:1,即重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的二倍.外心:三角形的三边的垂直平分线交于一点,该点叫做三角形的外心.也是三角形外接圆的圆心 .性质:三角形的外心到各顶点的距离相等.垂心:在一个三角形中,三条边上的高(或其延长线)交于一点,该点叫做这一三角形的垂心. 内心:三角形的三内角平分线交于一点,该点叫做三角形的内心.也是三角形内切圆的圆心.性质:内心到两边的距离相等. 旁心:三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点,该点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.旁心就是三角形旁切圆的圆心.

金牛区13776831285： 如何证明三角形重心的性质? - ？
夷璧益坦： 三角形ABC中,D为AC边上中点,E为AB边上中点,连接BD,CE,DE.BD,CE交于点O.找到OB,OC的中点G,H,连接GH.这样DE,GH分别为三角形ABC,OBC的中位线.所以DE,GH都平行且等于BC的一半.于是DGHE为平行四边行.所以BG等于GO,于是也等于OE,即OE等于二分之一BE.所以重心把中线以1:2分割. 证明就这些,可惜不能插图.

金牛区13776831285： 三角形重心证明(详细) - ？
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