§6.2 二次型化为标准型的三种方法
作者&投稿：朝吉 （若有异议请与网页底部的电邮联系）
裘昂风诺：[答案] 有两种方法 正交变换和配方法 正交变换: 求出A的所有特征值和特征向量 将特征向量单位正交化 由这些特征向量组成的矩阵Q就可以将A对角化,二次型就化为标准型了 配方法: 就按照完全平方公式配方
龙里县13273971530： 二次型化为标准型 - ？
裘昂风诺： 正交变换和配方法 正交变换: 求出A的所有特征值和特征向量 将特征向量单位正交化 由这些特征向量组成的矩阵Q就可以将A对角化,二次型就化为标准型了 配方法: 就按照完全平方公式配方.但结果不一定能正交(保持图形不变)
龙里县13273971530： 二次型化标准型 - ？
裘昂风诺： 1. 含平方项的情形用配方法化二次型f(x1,X2,X3)=X1^2-2X2^2-2X3^2-4X1X2+12X2X3为标准形解: f=x1^2-2x2^2-2x3^2-4x1x2+12x2x3 --把含x1的集中在第一个平方项中, 后面多退少补 = (x1-2x2)^2 -6x2^2-2x3^2+12x2x3 --然后同样处理含x2的项 = (x1-2x2)^2 -6(x2-x3)^2+4x3^2 2. 不含平方项的情形比如 f(x1,x2,x3) = x1x2+x2x3 令 x1=y1+y2, x2=y1-y2 代入后就有了平方项, 继续按第一种情形处理 3. 特征值方法写出二次型的矩阵求出矩阵的特征值求出相应的特征向量.
龙里县13273971530： 线性代数中,二次型化为标准型的结果是唯一的吗? - ？
裘昂风诺：[答案] 当然不唯一. 化二次型为标准型,有两种方法 1.配方,配方只是用了某种坐标变换,得到标准型的系数,不一定是特征值 2.正交变换,得到的标准型系数一定是特征值. 况且,你可以随意的调换这些系数的位置,只要和你使用的变换矩阵的向量对应就...
龙里县13273971530： 线代二次型化为标准型 - ？
裘昂风诺： 当然不唯一.化二次型为标准型,有两种方法 1.配方,配方只是用了某种坐标变换,得到标准型的系数,不一定是特征值 2.正交变换,得到的标准型系数一定是特征值.况且,你可以随意的调换这些系数的位置,只要和你使用的变换矩阵的向量对应就可以了
龙里县13273971530： 线性代数(二次型化为规范型问题) - ？
裘昂风诺： 配方法得到的标准形, 系数不一定是特征值. 例题中平方项的系数 -2,3,4, 两正一负, 故正负惯性指数分别为2, 1; 所以规范型中平方项的系数为 1,1,-1 (两正一负). 有的二次型可以直接化为规范形,可省去化标准形的过程,比如f(x,y,z)=5x...
龙里县13273971530： 关于二次型化一般为标准型的问题 - ？
裘昂风诺： 1 对于任一实系数n元二次型X'AX,要化为标准型,实际上就是要找一个可逆变换X=CY,将它化为Y'BY的形式,其中B为对角阵.则C'AC=B,B就是A的一个合同矩阵了. 2 如果你想要的是将A经合同变换化为B时的变换矩阵C,常用的方法有3种...
龙里县13273971530： 线性代数中二次型化为标准型,要求用配方法,见问题补充 - ？
裘昂风诺： 配方,原式=x1^2+2x1(2x2+x3)+(2x2+x3)^2-(2x2+x3)^2+x2^2+3x3^2+2x2x3 =(x1+2x2+x3)^2-3x2^2-2x2x3+2x3^2 =(x1+2x2+x3)^2-3(x2^2+2/3*x2x3+1/9*x3^2)+1/3*x3^2+2x3^2 =(x1+2x2+x3)^2-3(x2+1/3*x3)^2+7/3*x3^2 作变换y1=x1+2x2+x3,y2=x2+1/3*x3,y3=x3,则二次型的标准型是y1^2-3y2^2+7/3*y3^2.
龙里县13273971530： 将二次型化为标准型 - ？
裘昂风诺： 解: 令x1=y1+y2, x2=y1-y2, y3=x3 则 f = (y1+y2)(y1-y2)+(y1+y2)y3-3(y1-y2)y3= y1^2-y2^2-2y1y3+4y2y3= (y1-y3)^2-y2^2-y3^3+4y2y3= (y1-y3)^2 - (y2-2y3)^2 + 3y3^2= z1^2-z2^2+3z3^2
龙里县13273971530： 线性代数用配方法将二次型化为标准型 - ？
裘昂风诺： 用配方法得时候不是要凑吗,不断的用新变量替换,每一次替换都对应一个非退化矩阵,多次替换得矩阵相当于每一次对应矩阵的幂.规范型里平方项得系数为-101三个数,这个符号是由你前面非退化线性替换得时候得到的,其实给你一个二次型,那么他的规范型里的正负一和0得个数已经早确定了.关于你说的情况,可能教材跳的太多了,你有具体题目吗?我帮你看看
