正十四边形可以用尺规作图做出，那为什么正七边形不可以

证明正七边形不能尺规作图~

要做正七边形，就要做出 2π/7 这个角度，因此就要做出 cos(2π/7)；
令 x = 2*cos(2π/7)，再根据三角函数和角公式，可得：
x^3 + x^2 - 2x - 1 = 0
可以看出，x 的解是一个三次根式；
但是，尺规作图只能做五种运算：加、减、乘、除、开平方；
所以，尺规作图只能做出 2^n 次根式，也就不能做出三次根式；
因此，x 不能尺规作出，cos(2π/7) 也就不能尺规作出，相应 2π/7 这个角度也就无法作出，最后正七边形也就不能尺规作图；
( 真正严谨的证明，需要用到 “域” 的知识，篇幅能达到两三页纸，因此这里只是简单介绍一下基本思路)

用反证法：
假设能在一个圆内尺规作出正七边形，如下图：

为了作出图中的正七边形，就必须作出 [正七边形的边长]
由图可知：[正七边形的边长] = 2×[外接圆的半径]×sin(π/7)
其中，[外界圆的半径] 是由我们自己规定的，为已知量
所以，为了作出 [正七边形的边长]，就必须作出 sin(π/7)
为此，我们可以先作出 cos(2π/7)，然后用三角函数转换公式得出 sin(π/7)

设方程 f(x) = x^3 + x^2 - 2x - 1
其中，cos(2π/7) 是 f(x)=0 的一个解，所以 cos(2π/7) 是 [三次方根] 的形式；

但是，尺规作图只能作五种运算：加、减、乘、除、开平方；
通过以上五种运算，无论如何都得不出 [三次方根] 的形式；
也就是说，尺规作图无法作出 [三次方根] 的量；
所以，cos(2π/7) 无法被作出；
因此，sin(π/7) 也就无法被作出；
进而，[正七边形的边长] 也因此无法作出；
最终，正七边形无法作出；

这就是证明的大体思路
（如果要详细严谨过程的话，要写 3 页多纸，但那有点不必要，毕竟理解了思路就好）

题主的题目就有问题。
答：都不可以。正多边形能尺规作图的只有：
2的乘方，但不包括2（傻子都知道不存在正2边形），做法是不断平分圆心角。
3，5，17，257，65537（费马素数），做法不定。
以及这两类当中任选两个的积（但不能重复）。
例：可做正32边形，因为它是2的5次方。
可做正68边形，因为68=4×17。
不可做正9边形，因为9=3×3，3用了两次。
不可做正14边形，因为14=2×7，7在上表中并未出现。
对含有第二类数的边数，万能法是：先在同一外接圆上分别作出正多边形（一类因数只作一次、二类因数分别作出），得到所对圆心角，再以两角之差不断在圆上截取。对于有多个基本因数的，首先做第1个与第2个之差，再做其与第3个之差……以此类推。

为什么不行？可以啊，先做出正14边形，然后把顶点一个隔一个连起来，就是正7边形，也是尺规作图

尺规作图正七边形可以通过四边形和五边形交点来完成，图中交点连线指向七边形第三点，

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东山区13119346932： 正十四边形可以用尺规作图做出,那为什么正七边形不可以？
貂凝舒秘： 为什么不行?可以啊,先做出正14边形,然后把顶点一个隔一个连起来,就是正7边形,也是尺规作图

东山区13119346932： 正十四边形可不可以用尺规作图画出？
貂凝舒秘： 可以

东山区13119346932： 尺规作图能作什么图形,最好列举一下,过程也要 - ？
貂凝舒秘： 正三角形,正方形,正五边形,正六边形,正八边形,正九边形,正十七边形(高斯所做)…… 以上均为圆内尺规作图 例如:正六边形 1、利用圆规作出圆后做出直径 2、在其两端以圆的半径为圆规半径,画弧,交圆周与四个点 3、用直尺依次连接以上六点,可得正六边形

东山区13119346932： 可以尺规作图的正多边形有哪些?有没有规律可循?正十四边形 正十八边形 正二十二边形 正二十六边形 正二十八边形可以尺规作图画出嘛? - ？
貂凝舒秘：[答案] 30以内有3,4,5,6,8,10,12,15,16,17,20,24,30可以尺规作图 正十四边形 正十八边形 正二十二边形 正二十六边形 正二十八边形都不可以做 正n边形尺规可作的条件是n能拆解为2的幂与费马素数的积的形式

东山区13119346932： 如何做正十四边形 - ？
貂凝舒秘： 画一个圆,14边形有13个顶点.正14边形的就平分360°的园即每个点为20°,先在圆周上任意找一点再以通过该点的直径为一边找一个20°的角,角的第二个在圆周上的点就是第2个点,以此类推找13个点.再将每个点追个连接.当然你要是会用圆规做角平分线或者说你们要求不能用半圆仪,那你就用圆规找点.

东山区13119346932： 正七边形.正十一边形.正十三边形用尺规作图作的出么? - ？
貂凝舒秘： 正七边形.正十一边形.正十三边形都不能.早在公元前三世纪,希腊数学家欧几里得就知道,用圆规和直尺可以作出正三角形、正四边形、正五边形、正六边形、正八边形、正十边形等等.但能不能作出正七边形、正九边形、正十一边形、正十...

东山区13119346932： 尺规作图作出正十七边形 - ？
貂凝舒秘： 千多年前,古希腊数学家曾深入研究过一类作图问题,即:如何利用尺规作内接正多边形.早在《几何原本》一书中,欧几里德就用尺规完成了圆内接正三边形、正四边形、正五边形,甚至正十五边形的作图问题.然而,似乎更容易完成的正7...

东山区13119346932： 怎样用尺规作正多边形? - ？
貂凝舒秘： 尺规作图是很经典的几何学问题,深入研究这个问题时会涉及数论和方程论的内容.这里介绍一些与此相关的基本知识,由于用直尺和圆规可以等分任意长度的圆弧,所以只需要考虑的正多边形的边数是正质数的情况.正三角形和正五边形的尺规作图方法在古希腊时代就知道了,此后一直没有突破.直到德国数学家高斯于1798年给出了正十七边形的尺规作图方法,并证明了可用尺规作图的正多边形的条件:尺规作图正多边形的边数目必须是2的非负整数次方和不同的费马质数的积.因此,边数小于100,可以尺规作图的正多边形有:3,4,5,6,8,10,12,15,16,17,20,24,30,32,34,40,48,51,60,64,68,80,85,96.

东山区13119346932： 如何用尺规做出正七边形? - ？
貂凝舒秘： 这个是不可能的! 用圆规和直尺可以作出正三角形、正四边形、正五边形、正六边形、正八边形、正十边形等等. 但不能作出正七边形、正九边形、正十一边形和正十四边形. 这个问题高斯已经证明过了! 不过还不满20岁的高斯却作出了正十七边形,很了不起的!

东山区13119346932： 如何画正十一变形用尺规作图 - ？
貂凝舒秘：[答案] 正七边形.正十一边形.正十三边形都不能用尺规作图作的出! 早在公元前三世纪,希腊数学家欧几里得就知道,用圆规和直尺可以作出正三角形、正四边形、正五边形、正六边形、正八边形、正十边形等等.但能不能作出正七边形、正九边形、正十一...