超难数学尺规作图 高手进
关于正十七边形的画法（高斯的思路，本人并非有意剽窃^_^）：
有一个定理在这里要用到的：
若长为|a|,|b|的线段可以用几何方法做出来，那么长为|c|的线段也能用几何方法做出的，
其中c是方程x^2+ax+b=0的实根。
上面的定理实际上就是在有线段长度|a|和|b|的时候，做出长为sqrt(a^2-4b)的线段。
（这一步，大家会画吧？）
而要在一个单位圆中做出正十七边形，主要就是做出长度是cos(2pai/17)的线段。
下面我把当年高斯证明可以做出cos(2pai/17)的证明给出，同时也就给出了具体的做法。
设a=2[cos(2pai/17)+cos(4pai/17)+cos(8pai/17)+cos(16pai/17)]>0
a1=2[cos(6pai/17)+cos(10pai/17)+cos(12pai/17)+cos(14pai/17)]<0
则有a+a1=-1,a*a1=-4,即a,a1是方程x^2+x-4=0的根，所以长为|a|和|a1|的线段可以做出。
令b=2[cos(2pai/17)+cos(8pai/17)]>0 b1=2[cos(4pai/17)+cos(16pai/17)]<0
c=2[cos(6pai/17)+cos(10pai/17)]>0 c1=2[cos(12pai/17)+cos(14pai/17)]<0
则有b+b1=a b*b1=-1 c+c1=a1 c*c1=-1
同样道理，长度是|b|,|b1|,|c|,|c1|的线段都可以做出来的。
再有2cos(2pai/17)+2cos(8pai/17)＝b [2cos(2pai/17)]*[2cos(8pai/17)]=c
这样，2cos(2pai/17）是方程x^2-bx+c=0较大的实根,
显然也可以做出来，并且作图的方法上面已经给出来了
告诉你了用尺规作图是没有办法做出来的
我们不妨把问题简单化，比如两个圆外离，其公共外切圆，其中之一的一个就是连接两个圆心，然后与两个圆交点的中心，其它的在一个弧上，这个弧可不是圆弧，除非两个圆的半径相同，这个弧才是直线，不然的话这个弧永远弯向半径短的那一个，这个弧无法用尺子和圆规划出来。
这是一个非常有名的数学问题，关键是这道题是无解的，因此非常的有名，并且这道题在三个圆的半径相同，并且圆心在一条直线上，根本就没有公共外切圆。
不用再费力了。
已知：∠A内一点P
求作：以P为顶点的等腰直角△PMN且点M、N分别在∠A的两边上
分析：假设△PMN已经作出，如图。以P为顶点作等腰直角△PBC，使BC在射线AN上，则△PMN∽△PBC，∠PMN=∠PCB，P、N、C、M四点共圆，∠PCM=∠PNM=Rt∠，由点C可作出点M，则图可作出
作法：1、过点P作PB垂直于∠A一边，垂足为B；
2、在∠A的边上截取BC=BP并连结PC；
3、过点C作CM⊥PC交∠A另一边于点M并连结PM；
4、作PM的中点O；
5、以O为圆心，PO为半径作弧交射线AC于点N并连结MN、PN，则△PMN为所求。
证明：由作图易知△PBC为等腰直角三角形，△PMN为直角三角形。
再由∠PCM=∠PNM=Rt∠，得P、N、C、M四点共圆，
所以∠PMN=∠PCB=45°，
可得△PMN为等腰直角三角形，证毕。
讨论：本题已经按所给定的条件作出，由于点C可以在线段PB的两侧，故本题可以有两解，但是若过点C的PC的垂直线与∠A只有一个交点则本题只有一解，若无交点则本题无解。而且若点P设定为直角顶点，则解法不同，这留给有兴趣的朋友讨论。
你图中的M、N是怎么回事？是确定的点？必须和P组成三角形？这样P就是确定的点，而不是任意点了。
除了要求∠P=45°，还有其它条件限制没有？如果没有，就太容易了。请看
1，以P为圆心，大于P到AN的距离为半径画弧，交AN于Q、W，
2，以Q、W分别为圆心，PW为半径画弧，连接弧的交点PS，交AN于O。
3，在ON或OA上用圆规截取OP`或OP``=OP，连接PP`或PP``，∠OPP`=∠OPP``=45°
如果还有什么不明白的，尽管问吧。像这些作图的问题，尽可以找我。
如原图，如果做以N角为直角的等腰直角三角形
则
过P做AM的垂线交与点R
过P做AN的垂线交与点S
则PR的垂直平分线与角ASP的角平分线交点
即MP的中点
可以该交点为圆心，以交点到P点的距离为半径做圆
可得MN两点
证明：
设圆心为点O即MP中点
1，先证明圆心O在PR垂直平分线上。
由于M在AM上， PM中点与PR中点连线为三角形PMR中位线，即PR垂直平分线
2，再证明圆心O在角ASP的角平分线上。
以PS为斜边向左做等腰直角三角形，直角顶点为O'
则PO/PN=PO'/PS 又 ∠OPO'=∠NPS 则 △OPO'相似于△NPS
则∠OO'P=∠NSP=90° 则O O' S三点共线
O恰在∠ASP角平分线上
当角A为135°时，角平分线与垂直平分线平行或重合，平行无解，重合无穷解
当角A大于135°时，O点在O'点下方，M点在AM反向延长线上。证明雷同
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