高中数学题求详解,一道立体几何题,(2)用向量法怎么做?整体思路是?此题难度如何?
过P作PG⊥AC于G
面PAC⊥面ABC,AC为公交线
所以PG⊥面ABC
∴PG⊥BC 1式
PA=PC=2,∠APC=90°
∴AC=2√2
∵BC=2√2,AB=4
∴AC=BC
∠ACB=90°
∴BC⊥AC 2式
由1,2式得
BC⊥面PAC
∴BC⊥PA
∠APC=90°
∴PA⊥面PBC
2.连接BG,取BG中点H,连接AH,EH
E是PB中点
∴EH//PG
EH=1/2PG=√2/2
因为PG⊥面ABC
∴EH⊥面ABC
∵PA⊥面PBC
∴PA垂直PB
∴PB=2√3
∴AE=√(2^2+√3^2)=√7
所以sin∠EAH=√2/2/√7=√14/14
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A1O⊥面ABC,
BC是面ABC内的一条线,所以
BC⊥A1O,
而BC⊥AC,
由线面垂直的判定定理得:
BC⊥面A1ACC1,
取A1A的中点M点,连接MC,
三角形A1AC是等边三角形,所以,MC⊥A1A
A1A//C1C, 所以,
MC⊥C1C
MC⊥CB 所以,MC⊥面B1BCC1;
连接MB,则B1B⊥面MBC,所以,
∠MBC是二面角A-B1B-C1的平面角
tan(二面角A-B1B-C1)=tan∠MBC=CM/BC=(√3/2)
cos(二面角A-B1B-C1)=2/√7=2√7/7
∴AC⊥BD交于O,过O作OZ⊥底面ABCD
建立以O为原点,以OA方向为X轴,以OD方向为Y轴,以OZ方向为Z轴正方向的空间直角坐标系O-xyz
设AB=2
则点坐标:O(0,0,0),A(√3,0,0),B(0,-1,0),C(-√3,0,0),D(0,1,0),A1(√3,0,2),C1(-√3,0,1),D1(0,1,2),E(0,-1,z)
(1)向量ED1=(0,2,2-z),向量CA=(2√3,0,0),向量D1A=(√3,-1,-2)
∵D1E⊥面D1AC,∴向量ED1*CA=0;向量ED1*D1A=0==>-2-2(2-z)=0==>z=3;
∴E(0,-1,3)
∵D1A=D1C,∴D1O⊥AC,D1O=√(DO^2+DD1^2)=√5
∵EA=EC,∴EO⊥AC,EO=√(BO^2+BE^2)=√10
|向量ED1|=√5
由余弦定理cos∠EOD1=(OE^2+OD1^2-ED1^2)/(2OE*OD1)=√2/2
∴二面角D1-AC-E的大小为45°;
(2)假设D1E上存在一点P,使得A1P//面EAC
令D1P/PE=λ
∴向量D1P=λ向量PE=λ向量(D1E-D1P)
由定比分点坐标可知P(0,(1-λ)/(1+λ),(2+3λ)/(1+λ))
∴向量D1P=(0,-2λ/(1+λ),λ/(1+λ))
∴向量A1P=(-√3,(1-λ)/(1+λ),λ/(1+λ))
向量EA=(√3,1,-3),向量EC=(-√3,1,-3)
设向量m=(x,y,z)是面EAC的一个法向量
向量EA*m=√3x+y-3z=0
向量EC*m=-√3x+y-3z=0
令z=1,得向量m=(0,3,1)
∵A1P∥平面EAC,∴向量A1P⊥向量m
∴向量A1P*向量m=0+3(1-λ)/(1+λ)+λ/(1+λ)=0
∴λ=3/2
∴存在一点P,使得A1P∥平面EAC,此时D1P/PE=3/2
大神们帮我详解一下数学题,谢谢
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求下列高一数学题目的详解,谢谢
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