三角形的相关知识，定义，内容

三角形的相关知识~

三角形的五心：
1、垂心：三角形三条边上的高交于一点，这点就是三角形垂心。
画法：以三角形ABC为例。先画AB边上的高，分别以A和B为圆心，分别以CA和CB为半径画弧，交于M和N两点，过M和N两点的直线就是AB边上的高线；用同样的方法画出BC边上的高线，这两条高线的交点就是三角形的垂心。
2、重心：三角形三条边上的中线交于一点，这点就是三角形的重心。
画法：以三角形ABC为例。先找AB边的中点，分别以A和B为圆心，分别以大于AB的一半长为半径画弧，交于两点，这两点的连线与AB的交点就是线段AB的中点，这个中点和C点的连线就是AB边上的中线；用同样的方法画出BC边上的中线，这两条中线的交点就是三角形的重心。
重心的性质:三角形的重心到顶点的距离等于到对边的距离的2倍。
3、外心：三角形外接圆的圆心就是三角形的外心。
画法：以三角形ABC为例。先画AB边上的垂直平分线，分别以大于AB的一半长为半径画弧，交于两点，过这两点的直线就是线段AB的垂直平分线；用同样的方法画出BC边的垂直平分线，这两条垂直平分线的交点就是三角形的外心。
外心的性质：三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等。
4、内心：三角形的三个内角的平分线的交点就是三角形的内心。
画法：以三角形ABC为例。先画内角A的平分线，以顶点A为圆心，以任意长为半径画弧交AB边和AC边于M，N两点，再分别以M，N两点为圆心，以大于MN的一半长为半径画弧交于一点，过这点和A点的直线就是内角A的平分线；用同样的方法画出内角B的平分线，这两条平分线的交点就是三角形的内心。
内心的性质：三角形的内心到三角形三条边的距离相等。
5、旁心：三角形相邻两外角的平分线的交点就是三角形的旁心，一个三角形有三个旁心。
画法：参照内心画角平分线的方法。
旁心的性质：三角形的旁心在第三个内角的平分线上。
三角形三条边的关系：
两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
三角形三内角和定理：三角形的内角和等于180°
三角形的外角和等于30
等腰三角形性质定理
等腰三角形两底角相等
(即等边对等角)
1
推论1
等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边
2
等腰三角形顶角平分线、底边上线和底边上高互相重合
3
推论3
等边三角形各角都相等并且每角都等于60°
4
等腰三角形判定定理
三角形有两角相等两角所对边也相等(等角对等边)
5
推论1
三角都相等三角形等边三角形
6
推论
2
有角等于60°等腰三角形等边三角形
7
直角三角形锐角等于30°所对直角边等于斜边半
8
直角三角形斜边上线等于斜边上半

勾股定理:直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。c^2=a^2+b^2 .
正弦定理:
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R (R是外接圆的半径）
余弦定理:
a^2=b^2+c^2-2bccosA
b^2=a^2+c^2-2accosB
c^2=a^2+b^2-2abcosC
面积公式:
1.海伦公式 △ABC中 三边为a,b,c。 p=(a+b+c)/2.
S(abc)=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]即已知三角形三边求面积的海伦公式。

2.已知三角形底a，高h，则S＝ah/2

3.已知三角形两边a,b,这两边夹角C，则S＝absinC/2

4.设三角形三边分别为a、b、c，内切圆半径为r
则三角形面积=(a+b+c)r/2

5.设三角形三边分别为a、b、c，外接圆半径为r
则三角形面积=abc/4r

6.已知三角形三边a、b、c,则S＝ √{1/4[c^2a^2-((c^2+a^2-b^2)/2)^2]}
7.三阶行列式求面积
| a b 1 |
S△=1/2 * | c d 1 |
| e f 1 |
（注意上式最后取绝对值。）
| a b 1 |
| c d 1 |
| e f 1 |
为三阶行列式,直角坐标系内坐标A(a,b),B(c,d), C(e,f）。
三角形的周长:
L=a+b+c
三角形内角和公式：
∠A+∠B+∠C=180°。
中心：正三角形的重心、内心、外心、垂心
重心：中线交点
内心：角平分线交点
外心：垂直平分线交点
垂心：高的交点
以下a,b,c等表边AB,BC等表相应向量
重心O：OA+OB+OC=0
PO=(PA+PB+PC)/3
内心O:aOA+bOB+cOC=0
垂心O:OA.OB=OB.OC=OC.OA
外心O：|OA|=|OB|=|OC|
概念和推理：
1 过两点有且只有一条直线
2 两点之间线段最短
3 同角或等角的补角相等
4 同角或等角的余角相等
5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直
6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
7 平行公理 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行
9 同位角相等，两直线平行
10 内错角相等，两直线平行
11 同旁内角互补，两直线平行
12两直线平行，同位角相等
13 两直线平行，内错角相等
14 两直线平行，同旁内角互补
15 定理 三角形两边的和大于第三边
16 推论 三角形两边的差小于第三边
17 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°
18 推论1 直角三角形的两个锐角互余
19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角
21 全等三角形的对应边、对应角相等
22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等
23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等
24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等
26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上
29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合
30 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角）
31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边
32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合
33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°
34 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）
35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形
36 推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半
38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半
39 定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等
40 逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合
42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形
43 定理 2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线
44定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上
45逆定理 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称

课程教材研究所 薛彬
“三角形”一章章节结构是“与三角形有关的线段”“与三角形有关的角”“多边形及其内角和”“课题学习
镶嵌”．这与以往的内容安排有所不同．按照以往的教材，受三角形、多边形、圆顺次展开的限制，这些内容分别属于不同年级．而新的结构是一种专题式设计，以内角和为主题，先研究三角形内角和，再顺势推广到多边形内角和，最后将内角和公式应用于镶嵌．
本章教学时间约需10课时，具体分配如下（仅供参考）：
7.1 与三角形有关的线段 2课时
7.2 与三角形有关的角 2课时
7.3 多边形及其内角和 2课时
7.4 课题学习 镶嵌 2课时
数学活动
小结 2课时
一、教科书内容和课程学习目标
（一）本章知识结构
本章知识结构框图如下：

（二）教科书内容
本章首先介绍三角形的有关概念和性质．例如，在了解三角形的高的基础上，了解三角形的中线、角平分线．又如，在知道三角形的三个内角的和等于180°的基础上，了解这个结论成立的道理．通过本章内容的学习，可以丰富和加深学生对三角形的认识．另一方面，
这些内容是以后学习各种特殊三角形（如等腰三角形、直角三角形）的基础，也是研究其他图形的基础知识．
以三角形的有关概念和性质为基础，本章接着介绍多边形的有关概念与多边形的内角和、外角和公式．三角形是多边形的一种，因而可以借助三角形建立多边形的有关概念，如多边形的边、内角、外角、内角和都可由三角形的有关概念推广而来．三角形是最简单的多边形，因而常常将多边形分为若干个三角形，利用三角形的性质研究多边形．多边形的内角和公式就是利用上述方法，由三角形的内角和等于180°得到的．将多边形的有关内容与三角形的有关内容紧接安排，可以加强它们之间的联系，便于学生学习．
镶嵌作为课题学习的内容安排在本章的最后，学习这个内容要用到多边形的内角和公式．通过这个课题的学习，学生可以经历从实际问题抽象出数学问题，建立数学模型，综合应用已有知识解决问题的过程，从而加深对相关知识的理解，提高思维能力．
（三）课程学习目标
1了解与三角形有关的线段（边、高、中线、角平分线），知道三角形两边的和大于第三边，会画出任意三角形的高、中线、角平分线，了解三角形的稳定性．
2了解与三角形有关的角（内角、外角），会用平行线的性质与平角的定义说明三角形内角和等于180°，探索并了解三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
3了解多边形的有关概念（边、内角、外角、对角线、正多边形），探索并了解多边形的内角和与外角和公式．
4通过探索平面图形的镶嵌，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面，并能运用这几种图形进行简单的镶嵌设计．
二、本章编写特点
（一）加强与实际的联系
三角形是最常见的几何图形之一，在生产和生活中有广泛的应用．教科书通过举出三角形的实际例子让学生认识和感受三角形，形成三角形的概念．多边形概念的引入，也是类似处理的．
三角形有很多重要的性质，如稳定性，三角形的内角和等于180°．教科书在介绍三角形的稳定性的同时，顺带介绍了四边形的不稳定性．这些内容是通过如下的实际问题引入的：“盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条．为什么要这样做呢？”．然后让学生通过实验得出三角形有稳定性，四边形没有稳定性的结论，进而明白在上述实际问题中“斜钉一根木条”的道理．除此之外，教科书还举出了一些应用三角形的稳定性，四边形的不稳定性的实际例子．对于三角形的内角和等于180°，教科书则安排求视角的实际问题作为例题，加强与实际的联系．
在本章的课题学习中，教科书从用地砖铺地引入镶嵌，进而让学生探究一些多边形能否镶嵌成平面图案，并运用通过探究得出的结论进行简单的镶嵌设计．在编写时关注上述从实践到理论，再从理论到实践的全过程，使学生对理论来源于实践又运用于实践的认识进一步加深．
（二）加强与已学内容的联系
学生在前两个学段已学过三角形的一些知识，对三角形的许多重要性质有所了解，在第三学段又学过线段、角以及相交线、平行线等知识，初步了解了一些简单几何体和平面图形及其基本特征，会进行简单的说理．
上述内容是学习本章的基础：三角形的高、中线、角平分线分别与已学过的垂线、线段的中点、角的平分线有关；用拼图的方法认识三角形的内角和等于180°可以启发学生得出说明这个结论正确的方法，而说明的过程中要用到平行线的性质与平角的定义．在编写时关注本章内容与已学内容的联系，帮助学生掌握本章所学内容．另一方面，又注意让学生通过本章内容的学习，复习巩固已学的内容．
（三）加强推理能力的培养
在本章中加强推理能力的培养，一方面可以提高学生已有的水平，另一方面又可以为学生正式学习证明作准备．为达到上述要求，在编写时注意了以下内容的处理：
（1）由“两点之间，线段最短”说明“三角形两边的和大于第三边”；
（2）由平行线的性质与平角的定义说明“三角形的内角和等于180°”；
（3）由“三角形的内角和等于180°”得出“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”；
（4）由“三角形的内角和等于180°”得出多边形内角和公式；
（5）由多边形内角和公式得出多边形外角和公式；
（6）由多边形内角和公式说明任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面．
上述内容都包含了推理，教科书注意分析得出结论的思路，通过多提问题，留给学生足够的思考时间，让学生经历得出结论的过程．
三、几个值得关注的问题
（一）把握好教学要求

与三角形有关的一些概念在本章中只要求达到了解（认识）的程度就可以了，进一步的要求可通过后续学习达到．如在本章中知道什么是三角形的角平分线就可以了，如学生在画角平分线时发现三条角平分线交于一点，可直接肯定这个结论，对这个结论的证明在后面学习“全等三角形”一章时再介绍．同样，三条中线交于一点的结论也可直接点明，以后还会知道这个点是三角形的重心．
在本章中，三角形的稳定性是通过实验得出的，待以后学过“三边对应相等的两个三角形全等”，可进一步明白其中的道理．说明三角形的内角和等于180°有一定的难度，只要学生了解得出结论的过程，不要在辅助线上花太多的精力，以免影响对内容本身的理解与掌握．要明确本章仍是正式介绍证明的准备阶段，对推理的要求应循序渐进．
（二）开展好课题学习
可以如下展开课题学习：
背景 了解多边形覆盖平面问题来自实际．
实验 发现有些多边形能覆盖平面，有些则不能．
（3）分析 讨论多边形能覆盖平面的基本条件，发现问题与多边形的内角大小有密切关系，运用多边形内角和公式对实验结果进行分析．
（4）运用 进行简单的镶嵌设计．
首先引入用地砖铺地，用瓷砖贴墙等问题情境，并把这些实际问题转化为数学问题：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖．然后让学生通过实验探究一些多边形能否镶嵌成平面图案，并记下实验结果：
（1） 用正三角形、正方形或正六边形可以镶嵌成一个平面图案（图1）．用正五边形不能镶嵌成一个平面图案．

（2）用正三角形与正方形可以镶嵌成一个平面图案．用正三角形与正六边形也可以镶嵌成一个平面图案．
（3）用任意三角形可以镶嵌成一个平面图案, 用任意四边形可以镶嵌成一个平面图案(图2)．

观察上述实验结果，得出多边形能镶嵌成一个平面图案需要满足的两个条件:
（1）拼接在同一个点（例如图2中的点O）的各个角的和恰好等于360°（周角）；
（2）相邻的多边形有公共边（例如图2中的OA两侧的多边形有公共边OA）．
运用上述结论解释实验结果，例如，三角形的内角和等于180°，在图2中，∠1+∠2+∠3=180°．因此,把6个全等的三角形适当地拼接在同一个点（如图2）,
一定能使以这点为顶点的6个角的和恰好等于360°,并且使边长相等的两条边贴在一起．于是,
用三角形能镶嵌成一个平面图案．又如，由多边形内角和公式，可以得到五边形的内角和等于
(5－2)×180°=540°．
因此,正五边形的每个内角等于
540°÷5=108°,
360°不是108°的整数倍,也就是说用一些108°的角拼不成360°的角．因此，用正五边形不能镶嵌成一个平面图案．
最后，让学生进行简单的镶嵌设计，使所学内容得到巩固与运用

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大名县18212082566： 三角形的定义 - ？
甘艺派同： 1、三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边. 2、三角形内角和为180度,外角和为360度. 3、三角形共三个内角,三个外角. 4、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 5、三角形有三条高. 6、三角形的三条角平分线...

大名县18212082566： 三角形的全部知识? - ？
甘艺派同： 三角形 按角分:锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 按边分:不等边三角形 等腰三角形 等边三角形 相似三角形:各对应角相等 对应边成比例的三角形 判断相似三角形:1、各对应角相等 2、对应边成比例 3、有两条对应边成比例且这两条边的...

大名县18212082566： 三角形的相关知识,定义,内容 - ？
甘艺派同：[答案] 课程教材研究所 薛彬 “三角形”一章章节结构是“与三角形有关的线段”“与三角形有关的角”“多边形及其内角和”“课题学习 镶嵌”.这与以往的内容安排有所不同.按照以往的教材,受三角形、多边形、圆顺次展开的限制,这些内容分别属于不...

大名县18212082566： 三角形的基本概念 - ？
甘艺派同： 定义:由不在同一直线的三条线段首尾依次相连的封闭平面图形. 等腰三角形:有两边相等的三角形. 等边三角形:三条边都相等,三个内角都为60度的三角形. 锐形三角形:三个内角都小于90度. 直角三角形:有一个内角等于90度. 钝角三角形:有一个内角大于90度. 三角形的内角为180度. 全等三角形判定条件(SSS,SAS,ASA,AAS,HL只适于直角三角形) 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 关于三角形还有很多定理,不多说了,你会学到的.

大名县18212082566： 初三数学三角形知识点总结归纳,要把初三所有关于三角形的知识点全部归纳总结出来,有图更好,不要例题,只要知识点~只关于三角形总结 - ？
甘艺派同：[答案] 三角形的定义 三角形是多边形中边数最少的一种.它的定义是:由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形. 三条线段不在同一条直线上的条件,如果三条线段在同一条直线上,我们认为三角形就不存在.另外三条线段必须首尾...

大名县18212082566： 三角形的所有的概念 - ？
甘艺派同： 概念有边、角、顶点、边上的中点、中线、高、角平分线、外角平分线、中位线、外接圆、内切圆、周长、面积等. 问的是概念,不要把不是概念的也写出来啊.

大名县18212082566： 关于三角形定义关于三角形的定义(初一知识程度)大约25条那就是性质把~还有知识结构图! - ？
甘艺派同：[答案] 1、三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边.2、三角形内角和为180度,外角和为360度.3、三角形共三个内角,三个外角.4、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.5、三角形有三条高.6、三角形的三条角平分...

大名县18212082566： 三角形的定义是什么? ？
甘艺派同： 【也有等腰直角三角形】中文名三角形外文名Triangle别称三边形表达式图形提出者阿基米德提出时间公元前2333年应用学科数学、建筑学适用领域范围小学,初中,高中,大学适用领域范围数学,物理学,建筑学,工程学1基本定义2分类判断方法中线角平分线角其他7边角关系8全等三角形性质定义判定10特殊点、线11三角形的稳定性作用12有关定理三角形基本定义编辑由同一平面内,且不在同一直线上的三条线段,首尾顺次相接所得到的封闭的内角和为180度的几何图形叫做三角形(triangle),符号为△

大名县18212082566： 三角形的概念..急用! - ？
甘艺派同：[答案] 第七章 “三角形”简介 课程教材研究所 薛彬 “三角形”一章章节结构是“与三角形有关的线段”“与三角形有关的角”“多边形及其内角和”“课题学习 镶嵌”.这与以往的内容...

大名县18212082566： 三角形的所有定义谁知道啊 ?? 告诉下 !! 急用啊!!!!!!!! - ？
甘艺派同： 面积=底乘高除以二 勾股定理 RT三角形中 A^2+B^2=C^2 全等三角形 AAS ASA SAS SSS HL 等腰三角形三线合一 中线 角平分线 高 重心 三角形三条中线交点 到定点的距离是到对边距离的两倍 相似三角形 AA HL SSS SAS 直角三角形斜边上中线等于斜边一半