求解，五次方程无解的证明
从方程的根式解法发展过程来看,早在古巴比伦数学和印度数学的记载中,他们就能够用根式求解一元二次方程ax2+bx+c=0,给出的解相当于+,这是对系数函数求平方根.接着古希腊人和古东方人又解决了某些特殊的三次数字方程,但没有得到三次方程的一般解法.这个问题直到文艺复兴的极盛期（即16世纪初）才由意大利人解决.他们对一般的三次方程x3+ax2+bx+c=0,由卡丹公式解出根 x= + ,其中p = ba2,q = a3,显然它是由系数的函数开三次方所得.同一时期,意大利人费尔拉里又求解出一般四次方程x4+ax3+bx2+cx+d=0的根是由系数的函数开四次方所得.
用根式求解四次或四次以下方程的问题在16世纪已获得圆满解决,但是在以后的几个世纪里,探寻五次和五次以上方程的一般公式解法却一直没有得到结果.1770年前后,法国数学家拉格朗日转变代数的思维方法,提出方程根的排列与置换理论是解代数方程的关键所在,并利用拉格朗日预解式方法,即利用1的任意n次单位根 （ n =1）引进了预解式x1+ x2+ 2x3+…+ n-1xn,详细分析了二、三、四次方程的根式解法.他的工作有力地促进了代数方程论的进步.但是他的这种方法却不能对一般五次方程作根式解,于是他怀疑五次方程无根式解.并且他在寻求一般n次方程的代数解法时也遭失败,从而认识到一般的四次以上代数方程不可能有根式解.他的这种思维方法和研究根的置换方法给后人以启示.
1799年,鲁菲尼证明了五次以上方程的预解式不可能是四次以下的,从而转证五次以上方程是不可用根式求解的,但他的证明不完善.同年,德国数学家高斯开辟了一个新方法,在证明代数基本理论时,他不去计算一个根,而是证明它的存在.随后,他又着手探讨高次方程的具体解法.在1801年,他解决了分圆方程xp-1=0（p为质数）可用根式求解,这表明并非所有高次方程不能用根式求解.因此,可用根式求解的是所有高次方程还是部分高次方程的问题需进一步查明.
随后,挪威数学家阿贝尔开始解决这个问题.1824年到1826年,阿贝尔着手考察可用根式求解的方程的根具有什么性质,于是他修正了鲁菲尼证明中的缺陷,严格证明：如果一个方程可以根式求解,则出现在根的表达式中的每个根式都可表示成方程的根和某些单位根的有理数.并且利用这个定理又证明出了阿贝尔定理：一般高于四次的方程不可能代数地求解.接着他进一步思考哪些特殊的高次方程才可用根式解的问题.在高斯分圆方程可解性理论的基础上,他解决了任意次的一类特殊方程的可解性问题,发现这类特殊方程的特点是一个方程的全部根都是其中一个根（假设为x）的有理函数,并且任意两个根q1(x)与q2(x)满足q1q2(x)=q2q1(x),q1,q2为有理函数.现在称这种方程为阿贝尔方程.其实在对阿贝尔方程的研究中已经涉及到了群的一些思想和特殊结果,只是阿贝尔没能意识到,也没有明确地构造方程根的置换集合（因为若方程所有的根都用根x1来表示成有理函数qj(x1),j=1,2,3,…,n,当用另一个根xi代替x1时,其中1〈i≤n ,那么qj(xi)是以不同顺序排列的原方程的根,j=1,2,…,n.实际上应说根xi=q1(xi),q2(xi),…,qn(xi)是根x1,x2,…,xn的一个置换）,而仅仅考虑可交换性q1q2(x)=q2q1(x)来证明方程只要满足这种性质,便可简化为低次的辅助方程,辅助方程可依次用根式求解.
阿贝尔解决了构造任意次数的代数可解的方程的问题,却没能解决判定已知方程是否可用根式求解的问题.法国数学家伽罗瓦正是处在这样的背景下,开始接手阿贝尔未竞的事业.
伽罗瓦在证明不存在一个五次或高于五次的方程的一般根式解法时,与拉格朗日相同,也从方程根的置换入手.当他系统地研究了方程根的排列置换性质后,提出了一些确定的准则以判定一个已知方程的解是否能通过根式找到,然而这些方法恰好导致他去考虑一种称之为“群”的元素集合的抽象代数理论.在1831年的论文中,伽罗瓦首次提出了“群”这一术语,把具有封闭性的置换的集合称为群,首次定义了置换群的概念.他认为了解置换群是解决方程理论的关键,方程是一个其对称性可用群的性质描述的系统.他从此开始把方程论问题转化为群论的问题来解决,直接研究群论.他引入了不少有关群论的新概念,从而也产生了他自己的伽罗瓦群论,因此后人都称他为群论的创始人.
对有理系数的n次方程 x+axn-1+a2xn-2+…+an-1x+an=0 （1）
假设它的n个根x1,x2,…,xn的每一个变换叫做一个置换,n个根共有n!个可能的置换,它们的集合关于置换的乘法构成一个群,是根的置换群.方程的可解性可以在根的置换群的某些性质中有所反映,于是伽罗瓦把代数方程可解性问题转化为与相关的置换群及其子群性质的分析问题.现在把与方程联系起的置换群（它表现了方程的对称性质）称为伽罗瓦群,它是在某方程系数域中的群.一个方程的伽罗瓦群是对于每一个其函数值为有理数的关于根的多项式函数都满足这个要求的最大置换群,也可以说成对于任一个取有理数值的关于根的多项式函数,伽罗瓦群中的每个置换都使这函数的值不变.伽罗瓦创立群论是为了应用于方程论,但他并不局限于此,而是把群论进行了推广,作用于其他研究领域.可惜的是,伽罗瓦群论的理论毕竟太深奥,对十九世纪初的人们来说是很难理解的,连当时的数学大师都不能理解他的数学思想和他的工作的实质,以至他的论文得不到发表.更不幸的是伽罗瓦在二十一岁时便因一场愚蠢的决斗而早逝,我们不得不为这位天才感到惋惜.到十九世纪六十年代,他的理论才终于为人们所理解和接受.
伽罗瓦群理论被公认为十九世纪最杰出的数学成就之一.他给方程可解性问题提供了全面而透彻的解答,解决了困扰数学家们长达数百年之久的问题.伽罗瓦群论还给出了判断几何图形能否用直尺和圆规作图的一般判别法,圆满解决了三等分任意角或倍立方体的问题都是不可解的.最重要的是,群论开辟了全新的研究领域,以结构研究代替计算,把从偏重计算研究的思维方式转变为用结构观念研究的思维方式,并把数学运算归类,使群论迅速发展成为一门崭新的数学分支,对近世代数的形成和发展产生了巨大影响.同时这种理论对于物理学、化学的发展,甚至对于二十世纪结构主义哲学的产生和发展都发生了巨大的影
是阿贝尔、伽罗瓦等人。
无法用求根公式表示，涉及群论里面的知识。
在数学史上，有阿贝尔群、伽罗瓦域等概念。
可化为(X+b/(5a))^5=0的公式
一元五次方程：aX^5+bX^4+cX^3+dX^2+eX+f=0，（a，b，c，d，e，f∈R，且a≠0）。
重根判别式：A=2b^2-5ac；B=c^2-2bd；C=d^2-2ce；D=2e^2-5df。
当A=B=C=D=0时，公式⑴：
X⑴=X⑵=X⑶=X⑷=X⑸=-b/(5a)=-c/(2b)=-d/c=-2e/d =-5f/e。
凡是当A=B=C=D=0时的方程，都可以化为(X+b/(5a))^5=0的形式，展开(X+b/(5a))^5=0后的此方程，无论b/(5a)为任意实数，都可以用公式⑴快速求解。
可化为(X+b/(5a))^5=R的公式
当A=B=C=0，D≠0时，公式⑵：
X⑴=(－b+Y^(1/5))/(5a)；
X(2,3)=(－b+Y^(1/5)(－1+√5)/4)/(5a)±Y^(1/5)√(5+√5)√2i/4/(5a)；
X(4,5)=(－b+Y^(1/5)(－1－√5)/4)/(5a)±Y^(1/5)√(5－√5)√2i/4/(5a)。
其中Y=(be—25af)(5a)^3，i^2=－1。
求解,五次方程无解的证明
一元五次方程：aX^5+bX^4+cX^3+dX^2+eX+f=0，（a，b，c，d，e，f∈R，且a≠0）。重根判别式：A=2b^2-5ac；B=c^2-2bd；C=d^2-2ce；D=2e^2-5df。当A=B=C=D=0时，公式⑴：X⑴=X⑵=X⑶=X⑷=X⑸=-b\/(5a)=-c\/(2b)=-d\/c=-2e\/d =-5f\/e。凡是当A=B=C=D...
五次方程有解吗
五次方程有解。根据代数基本定理，任何一个多项式方程都有解，包括五次方程。然而，对于五次及以上的高次多项式方程，一般情况下无法用根式表示其解，这被称为“五次及以上的代数方程无解公式”。但是，五次方程可以通过数值方法（如牛顿法、二分法等）或者近似解法（如迭代法）来求解。此外，五次方程还...
如何简要解释为什么五次多项式方程没有根式解?
以具体的五次方程为例，比如 \\( x^5 - 1 = 0 \\)，它有一个显而易见的实根 \\( 1 \\)，通过除法，问题可以转化为寻找四次方程的根式解。然而，并非所有五次方程都有这样的好运，比如 \\( x^5 + x + 1 = 0 \\)，其根的表达需要高深的数学知识，比如椭圆函数，而非简单的有理数运算。...
日本的数学家是根据什么说五次方程无解的啊?有个数学天才是怎么证明五次...
您好，一元五次方程在复数域内有解，只不过初等方法不一定找得到而已。 如果用超几何函数或者椭圆函数，是可以给出公式解的。 能用简单的语言讲清楚复杂的问题才是学懂了。 解方程实质是用方程的已知系数表达出最后的未知量，可以认为是确定一个函数，但是有时这个函数简单，就成了求根公式；但有时太...
五次方程求根公式
五次方程求根公式至今无解，相关知识介绍如下：1、简介：求一元五次方程的根式解曾困扰数学家三百余年，阿贝尔和伽罗瓦的工作证明了一般一元五次方程没有根式解。1930年华罗庚《苏家驹之代数的五次方程式解法不能成立之理由》一文，是对试图推翻阿贝尔和伽罗瓦证明的一种反驳，也是华罗庚的成名之作。 最近...
为什么一元五次以上方程无代数解?
你那不是代数解，是不完整的解。代数解是用代数方法求的的解。高斯曾经证明了任何一元高次方程都有n个复数解，允许重解，称为代数学的基本定律。五次或五次以上就没有代数解，但有复数解，只是没有办法用代数的表达式来表征一般的解的形式（迦罗华提出的）但是通过计算机任何一元高次方程都可以求出...
《一元五次方程破解》这本书是真的吗,谁看过?
假的。。一元五次方程无解，早在二百年以前就确定的事。一元五次方程是解不出来的。
五次方程也有求根公式?
在数学的迷宫中，五次方程曾被视为难以逾越的障碍，但并非无解。数学家Dummit的智慧解锁了一把钥匙，让我们能够触及那些看似遥不可及的根式世界。他的方法巧妙地将五次方程化作 判定准则：不可约五次方程的根式解之钥<\/在于寻找六次方程的有理数根，因为这标志着五次方程可能隐藏着根式结构。有理根...
一副扑克读懂“科学简史”
伽罗瓦理论:人类至今无解的五次方程 这场用汗水和生命浇灌出来的理论之花终于在三次方程求解成功的200年后绽放,给后世子孙留下了无穷无尽的智慧宝藏。曾经困扰人类300多年的高阶谜团,终于被伽罗瓦解答。时至如今,生活在21世纪的人类,依旧受益于大神赐予的这一伟大思维盛宴。 『 J 』 物理学黄金时代风起云涌的...
一元五次方程求解
五次方程是没有公式解的。所以，对于这一类问题，一般是采用导数的办法，用牛顿法解，在计算机上运算比较方便。设是的根，选取作为的初始近似值，过点做曲线的切线，，则与轴交点的横坐标，称为的一次近似值。过点做曲线的切线，并求该切线与x轴交点的横坐标，称为r的二次近似值。重复以上过程，得...
池之维思：[答案] 一元五次方程在复数域内有解,只不过初等方法不一定找得到而已.如果用超几何函数或者椭圆函数,是可以给出公式解的.能用简单的语言讲清楚复杂的问题才是学懂了.解方程实质是用方程的已知系数表达出最后的未知量,可以认...
遵义县15319503053： 证明5次及以上次数方程没有一般公式解 - ？
池之维思： 第25题 阿贝尔不可能性定理高于四次的方程不可能有代数解法.意大利物理学家P·鲁菲尼(Paolo Ruffini,1765 – 1822 年)1798 年在波洛尼亚出版的著作中首先阐述了这个有名的定理①,但鲁菲尼的证明是不完善的.1826 年年轻的挪威数学家N·H·阿贝尔(Hiels Henrik Abel,1802 – 1829 年)第一个给出了严谨的证明②.阿贝尔不可能性定理的证明,是以克罗莱克的定理为基础的③.详见100个著名初等数学问题第25题, 该证明大约有10页.如果你要这本书的电子版,可加Q.挪威数学家阿贝尔的证明中已经引入了群论的思想,.法国数学家伽罗瓦明确创立群论.
遵义县15319503053： 有谁知道伽罗华五次及五次以上的方程不可解的证明? - ？
池之维思： 〉〉历史上给出这个证明的是19世纪初的伽罗华我想是Abel吧.Galois给出的是可用根式解的充要条件.我想普通的抽象代数的书中应该都有.不过本科生可能只学些域论的基础,Galois定理的正式的证明等到研究生阶段吧. 例如,徐明耀-赵春来老师的抽象代数2中就有,139页定理3.6. 以上仅供参考,我还没有学.
遵义县15319503053： 当年阿贝尔是用什么公式证明5次方程没有通解的 - ？
池之维思： 1824年,阿贝尔证明了五次或五次以上的代数方程没有一般的用根式求解的公式.该证明写进了“论代数方所谓方程有根式解(代数可解),就是这个方程的解可由该方程的系数经过有限次加减乘除以及开整数次方等运算表示出来.关于代数方程...
遵义县15319503053： 一道一元五次方程问题证明方程 X^5 - X - 1=0 没有根式解 - ？
池之维思：[答案] 32数值有效数字 {x -> -0.76488443360058472602982318770854 - 0.35247154603172624931794709140258 I}, {x -> -0.76488443360058472602982318770854 + 0.35247154603172624931794709140258 I}, {x -> 0....
遵义县15319503053： 证明不定方程x^4+4 - (y^4 )=z^2无解 - ？
池之维思： 证明:显然方程无解. 假设有一组最小的正整数解.设为x0,y0,z0 则必有(x0,y0)=1.若不然则有素数p,使得p|x0,p|y0,由此推出p^4|z^2,即p^2|z.则x0/p,y0/p,z0/p^2也是方程地解.与题设矛盾. 所以方程无解
遵义县15319503053： 怎么证明5次以上方程无求根公式 思路怎样的 - ？
池之维思： 不是这么简单的,这个理论很复杂的. 这涉及到一个多项式的GALOIS群 还用到GALOIS定理: 一个多项式方程可用根式解的充分必要条件是GALOIS群可解. 一般的五次以上方程,GALOIS群不可解. 所以一般情况下,无根式解.楼主啊,这个定...
遵义县15319503053： 五次方程怎么解,有求根公式吗? - ？
池之维思： 一般的五次方程没有统一的公式解存在. 第一,1824年:挪威的一位年轻人阿贝尔证明了:五次代数方程通用的求根公式是不存在的; 第二,伽罗瓦证得了5次及其以上方程没有统一的求根公式; 第三,伽罗瓦能给出恰好有H=Sn的方程,而在群论里面很容易证明当n≥5时,Sn不是一个可解群 .
遵义县15319503053： 为什么四次以上的方程没有公式解 - ？
池之维思： 这个问题涉及群论,是抽象代数里面的内容. 到了18世纪,数学家们对于四次或四次以下的方程都能求解.数学史上罕见的天才女数学家之一尼尔斯·诺特于1823年严格证明:五次以上的高次方程“通常”没有根式解(这一点,早在1799年,...
遵义县15319503053： “五次以上的高次方程无固定的求根公式”是怎么证明出来的?证明者是谁? - ？
池之维思： 1824年挪威数学家尼尔斯.阿贝耳(1802~1829年)发现,不可能用代数方法求出五次或.更高次方程的“根式解”.我们可以在d.e.史密斯的《数学史料集》中找到阿贝耳的证明.
