函数f(x) 在区间[a,b] 上的定积分是否可以看作曲线积分？
作者&投稿：休清 （若有异议请与网页底部的电邮联系）
连续是可积的充分非必要条件。
因为在区间上连续就一定有原函数,根据N-L公式得定积分存在。
反之,函数可。
扩展资料对于一元函数有，可微可导=>连续=>可积
对于多元函数，不存在可导的概念，只有偏导数存在。函数在某处可微等价于在该处沿所有方向的方向导数存在，仅仅保证偏导数存在不一定可微，因此有：可微=>偏导数存在=>连续=>可积。
可导与连续的关系：可导必连续，连续不一定可导；
可微与连续的关系：可微与可导是一样的；
可积与连续的关系：可积不一定连续，连续必定可积；
可导与可积的关系：可导一般可积，可积推不出一定可导。
这句话不全面，应该表述成函数f(x)在区间[a，b]上的定积分的几何意义是被积函数的函数曲线与坐标轴围成的面积的代数和，因此其面积的代数和即定积分可正可负，x轴之上部分为正，x轴之下部分为负。
这题很有爱哟。就几何意义来说的话，定积分可以看作是第一类曲线弧长积分的特例。
定积分只能求得在二维上直线围起的平面的面积，仅限于平面的，与z轴垂直
但是扩增到三维上的话，用弧长积分求出的面积可以是弯曲的，当然也可以是平面(所以说定积分是弧长积分的特例)，看以下例子：
求由x = 0、x = 3和y = x^2围起的平面面积S？
定积分：S = ∫(0，3) x^2 dx = (1/3)[(x^3)：(0，3)] = (1/3) * 27 = 9
弧长积分：以直线L：y = 0为底长，高为y = x^2的面积，ds = √[1 + (dy/dx)^2] dx = dx
S = ∫L x^2 ds = ∫(0，3) x^2 dx = (1/3)[(x^3)：(0，3)] = 9
曲面积分是建基于曲面方程：
所以两类的曲面积分都与曲面方程有关
唯一不同的就是曲面方程可以直接代入被积函数中，这是重积分所不能够的。
而面积的微元dS，化为二重积分时，其值：
在yoz面上，dS = √[1 + (x'y)^2 + (x'z)^2] dydz
在zox面上，dS = √[1 + (y'z)^2 + (y'x)^2] dzdx
在xoy面上，dS = √[1 + (z'x)^2 + (z'y)^2] dxdy
例如对于曲面方程Σ：z = z(x，y)
∫∫Σ f(x，y，z) dS = ∫∫D f[x，y，z(x，y)] √[1 + (z'x)^2 + (z'y)^2] dxdy
第二类曲面积分还要注意曲面的方向，有正有负
第二类曲面坐标积分化为二重积分时只需向对应的坐标轴平面投影
dydz向yoz面投影，前侧取正号，后侧取负号，把相应的曲面方程x = x(y，z)代入x中
∫∫Σ f(x，y，z) dydz = ± ∫∫D f[x(y，z)，y，z] dydz
dzdx向zox面投影，右侧取正号，左侧取负号，把相应的曲面方程y = y(x，z)代入y中
∫∫Σ f(x，y，z) dzdx = ± ∫∫D f[x，y(x，z)，z] dzdx
dxdy向xoy面投影，上侧取正号，下侧取负号，把相应的曲面方程z = z(x，y)代入z中
∫∫Σ f(x，y，z) dxdy = ± ∫∫D f[x，y，z(x，y)] dxdy
于是化为二重积分后，对曲面方程Σ的曲面积分便会变为对平面D上的二重积分。
通常第二类曲面积分比第一类曲面积分容易求得，尤其是只须向一个面投影的时候。
第二类曲面积分有许多种算法：
首先是两类积分之间的转换：
∫∫Σ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = ∫∫Σ (Pcosα + Qcosβ + Rcosγ) dS
其中cosα、cosβ、cosγ分别是三个坐标面的方向余弦。这方法的难度颇大哟
cosα = 1/√[1 + (x'y)^2 + (x'z)^2],cosβ = 1/√[1 + (y'z)^2 + (y'x)^2],cosγ = 1/√[1 + (z'x)^2 + (z'y)^2]
之后就是针对第二类曲面积分的高斯公式：若Σ是立体的边界曲面所围成的闭合曲面，取外侧
∮∮Σ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = ∫∫∫Ω (∂P/∂x + ∂Q/∂y + ∂R/∂z) dxdydz，跟格林公式的原理一样。
在计算上，往往通过补缺平面来使曲面变为闭合曲面，取外侧，然后用高斯公式
若空间里有奇点存在，可以在里面补上一个足够小的立体，取内测，然后用公式
然后也是针对第二类曲面积分的方法，向量点积法：只需向一个面作投影
∫∫∫Σ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = ± ∫∫D [ - P • ∂z/∂x - Q • ∂z/∂y + R ] dxdy，上侧取正号，下侧取负号
其余两个也同样道理。
第一类曲面积分可以运用对称性化简：
在xoy面上，若曲面方程Σ关于z = 0对称
则∫∫Σ f(x，y，z) dS = { 0，f(x，y，z)关于z为奇函数。
{ 2∫∫Σ1 f(x，y，z) dS，f(x，y，z)关于z为偶函数，Σ1是Σ的上半部分。
若Σ是关于三个坐标面都对称，而f(x，y，z)关于x，y，z均为偶函数
有∫∫Σ f(x，y，z) dS = 8∫∫Σ1 f(x，y，z) dS，Σ1是Σ在第一挂限的部分(指(x，y，z) ≥ 0)
若闭合曲面Σ：F(x，y，z) = 0，关于x，y，z有轮换对称性(对换任意两个变量都不改变方程)
有∫∫Σ f(x) dS = ∫∫Σ f(y) dS = ∫∫Σ f(z) dS
==> ∮∮Σ [f(x) + f(y) + f(z)] dS = 3∮∮Σ f(x) dS
Note：第二类曲线/曲面积分不宜直接运用对称性：
因为它们都是具有方向的，等到化为重积分或第一类曲线/曲面积分后才好运用对称性来化简。
驹受银杏： 由函数零点存在定理,可得:连续函数f(x)在区间(a,b),满足f(a)?f(b)则函数f(x)在区间(a,b)上有零点 若零点正好为a或b,则f(a)=0或f(b)=0 故当f(a)?f(b)≤0时,函数f(x)在区间[a,b]上一定有零点 即方程f(x)=0在区间[a,b]上一定有实数根 故答案为:f(a)?f(b)≤0
夏县18968448201： 设函数f(x)在区间[a,b]上满足f′(x)<0,则函数f(x)在区间[a,b]上的最小值为______,最大值为______. - ？
驹受银杏：[答案] 解析:由f′(x)<0,可知f(x)在区间[a,b]上为单调减函数,则最小值为f(b),最大值为f(a). 故答案为:f(b) f(a)
夏县18968448201： 1.函数f(x)在区间 [a,b] 上连续,则以下结论正确的是 ( ) (A)f (x)可能存在,也可能不存在,x∈[a,b].1.函数f(x)在区间 [a,b] 上连续,则以下结论正确的是 (... - ？
驹受银杏：[答案] B.在闭区间就应该存在最值,而开区间就不一定存在了. 对于A,已经说函数f(x)在区间上连续了,那就应该存在了. 好好理解一下,希望对你有所帮助!
夏县18968448201： 函数f(x)在区间[a,b]上单调递增与函数f(x)的单调递增区间为[a,b]含义相同吗? - ？
驹受银杏：[答案] 不完全相同(也就是说这种说法不一定是对的),函数f(x)在区间[a,b]上单调递增,并不一定f(x)的单调递增区间就只有[a,b],f(x)的单调递调区间可以比[a,b]的范围大.
夏县18968448201： 函数f(x)在区间(a,b)上一定存在最值吗 - ？
驹受银杏：[答案] 不一定. 如:f(x)=x+1在(0,1)上就没有最大值和最小值.
夏县18968448201： 设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)b,证明在开区间(a,b)内至少有一个点x,使得f(x)=x - ？
驹受银杏：[答案] 构造函数g(x)=f(x)-x 则g(a)=f(a)-a0 所以在(a,b)上必存在一点x,使得g(x)=0 即f(x)-x=0 f(x)=x
夏县18968448201： 函数f(x)在区间[a,b]上满足罗尔定理的条件,且f(x)不恒为常数,证明在(a,b)内至少存在一点 ξ,使f(ξ)>0 只能用于中值定理相关的工具 - ？
驹受银杏：[答案] f(x)不恒为常数表明至少有一点c∈(a,b)使得f(c)≠f(a)=f(b),由拉格朗日中值定理可知存在ξ1与ξ2使得 f'(ξ1)=[f(c)-f(a)]/(c-a) f'(ξ2)=[f(c)-f(b)]/(c-b) 由于f'(ξ1)f'(ξ2)
夏县18968448201： f(x)在区间[a,b]上有定义,f(x)的值充满[a,b]区间?这句话用数学语言翻译下?紧急求助... - ？
驹受银杏： f(x)在区间[a,b]上有定义,其含义是指:其中的自变量x可以取遍[a,b]内的每一个值,而f(x)的值是指函数在x∈[a,b]时能得到的所有函数值,具体函数值的范围即值域与函数的解析式有关,题中“f(x)的值充满[a,b]区间”这句话其实的错误的!没有这种说法!
夏县18968448201： 函数f(x)在积分区间【a,b】上可积,就可以说明原函数F(x)在[a,b]上连续啊?为什么呢?函数f(x)在积分区间【a,b】上可积,就可以说明原函数F(x)在[a,b]上连... - ？
驹受银杏：[答案] f可积F连续,f连续F可导
夏县18968448201： 设函数f(x)在闭区间【a,b】上连续,且f(x)在【a,b】无零点,证明f(x)在【a,b】上不变号 - ？
驹受银杏：[答案] 反证法:若f(x)在【a,b】上变号,即存在c,d两点使得 f(c)*f(d)
