探究与应用,试完成下列问题串:(1)如图①已知等腰RT△ABC中,∠C=90°,点O为AB中点,作∠POQ=90°,分别交AC

作者&投稿:孔览 (若有异议请与网页底部的电邮联系)
探究与应用.试完成下列问题:(1)如图①,已知等腰Rt△ABC中,∠C=90°,点O为AB的中点,作∠POQ=90°~

(1)证明:∵△ABC是等腰直角三角形,O为斜边AB中点,∴AO=OC=OB,∠A=∠B=∠OCQ=45°,∠AOC=90°,∵∠POQ=90°,∴∠AOP+∠POC=∠POC+∠COQ,∴∠AOP=∠COQ,在△AOP和△COQ中∠A=∠OCQAO=OC∠AOP=∠COQ∴△AOP≌△COQ,∴AP=CQ,同理BQ=CP,在Rt△CPQ中,CP2+CQ2=PQ2,∴AP2+BQ2=PQ2.(2)解:还成立,理由是:延长QO到D,使OD=OQ,连接AD,PD,∵O是AB中点,∴AO=OB,在△AOD和△BOQ中AO=BO∠AOD=∠BOQDO=OQ∴△AOD≌△BOQ(SAS),∴AD=BQ,∠BAD=∠B,OD=OQ,∵PO⊥OQ,∴PD=PQ,∵∠C=90°,∴∠PAD=90°,在Rt△PAD中,由勾股定理得:AP2+AD2=PD2,∴AP2+BQ2=PQ2.(3)解:∵∠C=90°,∴PQ是直径,连接PO、OQ,则∠POQ=90°,∴AP2+BQ2=PQ2,设PC=a,CQ=b,∴(6-a)2+(8-b)2=a2+b2,∴3a+4b=25,∴b=-34a+254,∵S△PCQ=12ab,∴S△PCQ=-38a2+258,当a=256时,△PCQ的面积的最大值是62596.

辛苦了

  1. 延长PO一倍至点M,连接QM,BM,则QM=PQ,BM=AP,三条边都转移到直角三角形BQM里了,一个勾股定理就出来了,这里运用的是倍长中线法

  2. 第一问的方法没有用到等腰,同样成立

  3. 因为C,P,,Q,O四点共圆,所以四边形CPQO对角和为180,从而角POQ=90

    ΔPOQ面积就是1问里PQM面积的一半,在梯形AQMC里求解。

    令AQ=a,AP=b,则CM=BQ=8-a,CP=6-b,AQ2+AP2=CP2+CM2,由此可得到4a+3b=25

    SΔPOQ=SΔPQM/2=1/2(S梯形AQMC-SΔAPQ-SΔCPM)=24-ab+3a+4b-24=3a+4b-ab

    由4a+3b=25可设a=4-3t,b=3+4t(t在0到4/3之间),代入可得SΔPOQ=?剩下的可以自己解了



连接ME并延长交BD与G
直角三角形AEC中,M为斜边AC中点
∴AM=ME=1/2AC ∠MAE=∠MEA
∵∠MAE+∠ACE=90 度
∠MEA=∠BEG
∴ ∠BEG+∠ACE=90 度
又∠ACE=∠EBG (同是弧AD对应的圆周角)
∴∠BEG+∠EBG=90度
∴ME⊥BD
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