高数各种求极限方法
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求极限的各种方法
1.约去零因子求极限
x41
例1:求极限lim
x1x1
【说明】x1表明x与1无限接近,但x1,所以x1这一零因子可以约去。
(x1)(x1)(x21)
【解】limlim(x1)(x21)6=4
x1x1x1
2.分子分母同除求极限
x3x2
例2:求极限lim3
x3x1
【说明】
型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。
11x3x21lim【解】lim3
x3x1x33x3
【注】(1) 一般分子分母同除x的最高次方;
0nn1
axan1xa0
(2) limnmm1xbxbxbmm10an
bn
mnmn mn
3.分子(母)有理化求极限
例3:求极限lim(x23x21)
x
【说明】分子或分母有理化求极限,是通过有理化化去无理式。 【解】lim(x3x1)lim
x
2
2
(x23x21)(x23x21)
x3x1
2
2
x
lim
2x3x1
2
2
x
0
例4:求极限lim
x0
tanxsinx
3
x
【解】lim
x0
tanxsinxtanxsinx
lim 33x0xx(tanxsinx)
1/7
lim
x0
tanxsinx1tanxsinx1
lim 33x0x024xxtanxsinx
lim
1
【注】本题除了使用分子有理化方法外,及时分离极限式中的非零因子是解...........题的关键
4.应用两个重要极限求极限
11sinx
两个重要极限是lim1和lim(1)xlim(1)nlim(1x)xe,第
xnx0x0xnx
1
一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。
x1
例5:求极限lim xx1
x
【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤:先凑出1,再凑数部分。
1
,最后凑指X
2
x1122122x12【解】limlim1lim1x11e xx1xxx1x12
x
x
1x2a
例6:(1)lim12;(2)已知lim8,求a。 xxxxa
xx
5.用等价无穷小量代换求极限 【说明】
(1)常见等价无穷小有:
当x0 时,x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ln(1x)~e1,
x
12b
x,1ax1~abx; 2
(2) 等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式; ..
1cosx~
(3)此方法在各种求极限的方法中应作为首选。 .....
xln(1x)
x01cosxxln(1x)xx
【解】 limlim2.
x01cosxx012
x2
sinxx
例8:求极限lim
x0tan3x
例7:求极限lim
1sinxxcosx11sinxxxlimlimlim【解】lim 322x0x0x0x0tan3x6x3x3x
2
2/7
6.用罗必塔法则求极限
lncos2xln(1sin2x)
例9:求极限lim
x0x2
0
或型的极限,可通过罗必塔法则来求。 0
2sin2xsin2x
lncos2xln(1sin2x)cos2x2 【解】limlimx0x02xx2
【说明】
lim
sin2x21
3 x02xcos2x1sin2x
【注】许多变动上显的积分表示的极限,常用罗必塔法则求解
例10:设函数f(x)连续,且f(0)0,求极限lim
x0
x
(xt)f(t)dt
x0
.
xf(xt)dt
【解】 由于
x
f(xt)dt
xtu0
x
f(u)(du)f(u)du,于是
x
x
x
lim
x
(xt)f(t)dt
x0
x0
xf(xt)dt
x
lim
xf(t)dttf(t)dt
xf(u)du
0x
x0
=lim
x0
f(t)dtxf(x)xf(x)
x
=lim
x0
x
f(t)dt
0x
f(u)duxf(x)f(t)dt
f(x)
=
x0
f(u)duxf(x)
=lim
x0
x
f(u)du
f(0)1
.
f(0)
你好!本题当自变量趋于无穷时,因变量都趋于无穷。
思路:不知道在读高中还是大学,我简单说下极限思想吧!一个含有x 的多项式,当x 趋于无穷时,多项式的值只与多项式中x 次数最高项有关,与不同次数项的系数无关,比如说本题,当x 趋于(正负)无穷时,y 只与x^4有关,与(-6x^2),(8x),7都无关,因为x 趋于无穷时,他们的值相对于x ^6都是无穷小!即它们虽然可能很大,但是和x^6比起来就很小了,没有讨论的必要性了,而x ^6是趋于无穷的,故y 也趋于无穷。
再说一下,当x 趋于零时,情况相反,多项式的值只与x 次数最低项有关,本题中y 只与7有关,与(x^6)(-6x^2),(8x)都无关,因为x 趋于无0时,他们的值相对于7都是无穷小!即它们系数虽然可能很大,但乘以一个无穷小的x 之后,就无穷小了,没有讨论的必要性了。呵呵,意会一下,可能说的乱了点。1,等价无穷小的代换:x趋近于0时,sinx~tanx~arcsinx~arctanx~x
ln(1+x)~e的x次方-1~x
1 -cosx~x²/2
a的x次方-1~xlna
(1+x的n次方)的a次方-1~ax的n次方
如x趋近于0时lim[(1+x²)的3次方-1]/(1 -cosx)=3x²/x²/2
=6
2,当分子分母同时趋近于无穷大或无穷小时,用洛必达法则,对分子分母分别求导
如x趋近于0时limsinax/sinbx=acosax/bcosbx=a/b
3,如果分子含根号,可以有理化
如x趋近于0时lim{[根号下(1+x²)]-1}/x=x/{[根号下(1+x²)]+1}=0/2=0
这是我做的一部分笔记,有不懂再告诉我吧
高等数学经典求极限方法
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求极限的各种方法
1.约去零因子求极限
x41
例1:求极限lim
x1x1
【说明】x1表明x与1无限接近,但x1,所以x1这一零因子可以约去。
(x1)(x1)(x21)
【解】limlim(x1)(x21)6=4
x1x1x1
2.分子分母同除求极限
x3x2
例2:求极限lim3
x3x1
【说明】
型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。
11x3x21lim【解】lim3
x3x1x33x3
【注】(1) 一般分子分母同除x的最高次方;
0nn1
axan1xa0
(2) limnmm1xbxbxbmm10an
bn
mnmn mn
3.分子(母)有理化求极限
例3:求极限lim(x23x21)
x
【说明】分子或分母有理化求极限,是通过有理化化去无理式。 【解】lim(x3x1)lim
x
2
2
(x23x21)(x23x21)
x3x1
2
2
x
lim
2x3x1
2
2
x
0
例4:求极限lim
x0
tanxsinx
3
x
【解】lim
x0
tanxsinxtanxsinx
lim 33x0xx(tanxsinx)
1/7
lim
x0
tanxsinx1tanxsinx1
lim 33x0x024xxtanxsinx
lim
1
【注】本题除了使用分子有理化方法外,及时分离极限式中的非零因子是解...........题的关键
4.应用两个重要极限求极限
11sinx
两个重要极限是lim1和lim(1)xlim(1)nlim(1x)xe,第
xnx0x0xnx
1
一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。
x1
例5:求极限lim xx1
x
【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤:先凑出1,再凑数部分。
1
,最后凑指X
2
x1122122x12【解】limlim1lim1x11e xx1xxx1x12
x
x
1x2a
例6:(1)lim12;(2)已知lim8,求a。 xxxxa
xx
5.用等价无穷小量代换求极限 【说明】
(1)常见等价无穷小有:
当x0 时,x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ln(1x)~e1,
x
12b
x,1ax1~abx; 2
(2) 等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式; ..
1cosx~
(3)此方法在各种求极限的方法中应作为首选。 .....
xln(1x)
x01cosxxln(1x)xx
【解】 limlim2.
x01cosxx012
x2
sinxx
例8:求极限lim
x0tan3x
例7:求极限lim
1sinxxcosx11sinxxxlimlimlim【解】lim 322x0x0x0x0tan3x6x3x3x
2
2/7
6.用罗必塔法则求极限
lncos2xln(1sin2x)
例9:求极限lim
x0x2
0
或型的极限,可通过罗必塔法则来求。 0
2sin2xsin2x
lncos2xln(1sin2x)cos2x2 【解】limlimx0x02xx2
【说明】
lim
sin2x21
3 x02xcos2x1sin2x
【注】许多变动上显的积分表示的极限,常用罗必塔法则求解
例10:设函数f(x)连续,且f(0)0,求极限lim
x0
x
(xt)f(t)dt
x0
.
xf(xt)dt
【解】 由于
x
f(xt)dt
xtu0
x
f(u)(du)f(u)du,于是
x
x
x
lim
x
(xt)f(t)dt
x0
x0
xf(xt)dt
x
lim
xf(t)dttf(t)dt
xf(u)du
0x
x0
=lim
x0
f(t)dtxf(x)xf(x)
x
=lim
x0
x
f(t)dt
0x
f(u)duxf(x)f(t)dt
f(x)
=
x0
f(u)duxf(x)
=lim
x0
x
f(u)du
f(0)1
.
f(0)
函数求极限的方法总结
函数求极限的方法总结:1、简单代值:利用函数的连续性求函数的极限。如果是初等函数,且点在的定义区间内。计算该函数此时的极限,只要计算对应的函数值就可以了。2、幂指函数转化:当函数形式为幂指数形式时,用对数法进行求解。3、有理化:在函数形式含有根号时,一般选择通过分子分母有理化去根号。4...
求函数极限的方法有哪些?
求解函数极限的方法有许多种,以下是一些常用的方法:直接代入法:如果函数在某一点连续,那么可以直接将该点代入函数求极限。因式分解法:对于一些形如0\/0或无穷\/无穷的不定型极限,可以尝试对函数进行因式分解,消去公共因子后再求极限。洛必达法则(L'Hopital's Rule):对于0\/0或无穷\/无穷的不定型...
数列如何求极限
求数列的极限的方法如下:1、观察法:对于一些简单的数列,可以通过观察来确定它们的极限。例如,对于数列1,1\/2,2\/3,3\/4,...可以明显看出其极限为1。2、定义法:如果一个数列的项数n趋于无穷大时,其通项an也趋于某个常数A,则称数列收敛于A,A称为该数列的极限。3、几何法:对于一些特殊...
函数如何求极限?
求极限的方法有以下几种:1、代入法:将变量代入函数中,得到一个数值,即为该点的函数值。2、夹逼定理:通过夹逼定理找到一个上下界,并让上下界无限逼近目标点,从而得到极限值。3、极限的四则运算法则:利用函数极限的四则运算法则求出极限值。4、洛必达法则:将极限转化成两个函数的导数的极限,...
求极限的四则运算法则
求极限的四则运算法则包括加法、减法、乘法和除法,相关信息如下:1、加法法则:如果lim(f(x))和lim(g(x))都存在,那么lim【f(x)+g(x)】也存在,并且lim【f(x)+g(x)】=lim(f(x))+lim(g(x))。2、减法法则:如果lim(f(x))和lim(g(x))都存在,那么lim【...
函数怎么求极限
函数求极限方法如下:1、直接代入法:对于一些简单的函数,可以直接将自变量代入函数中,求得极限。2、洛必达法则:当函数满足一定条件时,可以使用洛必达法则来求极限。3、泰勒级数展开法:将函数展开成泰勒级数,然后利用级数的性质来求极限。4、等价无穷小代换法:利用等价无穷小代换原函数中的某些项...
数学求极限解
求极限方法。用到的方法主要有:1、四则运算法则(包括有理化、约分等简单运算);2、两个重要极限(第二个重要极限是重点);3、夹逼准则,单调有界准则;4、等价无穷小代换(重点);5、利用导数定义;6、洛必达法则(重点);
高数求极限的方法总结
高数求极限的方法总结如下:1、利用函数的连续性求函数的极限(直接带入即可)如果是初等函数,且点在的定义区间内,那么,因此计算当时的极限,只要计算对应的函数值就可以了。2、利用无穷小的性质求函数的极限 性质1:有界函数与无穷小的乘积是无穷小 性质2:常数与无穷小的乘积是无穷小 性质3:有限...
求极限都有哪些方法?
数列是离散的 ,只能用前后项的比较 (前后项相除相减 ),数列极限是否有界可以使用归纳法最后对 xn 与 xn+1 两边同时求极限 ,就能出结果!4、涉及到极限已经出来了让你求未知数和位置函数的问题。解决办法:主要还是运用等价无穷小或者是同阶无穷小。因为例如 : 当 x 趋近 0 时候 f(x) 比 x=...
如何求数列极限都有什么方法
数列极限的求法:1、初等变形求极限:对于某些较烦的数列,可用初等数学的方法将其变形,转化为一个简单的数列,然后再对之求极限;2、利用变量替换求极限:有时为了将已知的极限化简,转化已知的极限,可根据极限式的特点,适当引入新变量,已替换原有的变量,使原来较复杂的极限过程转化为更简化的极限...
霍种舒邦:[答案] 求极限没有固定的方法,必须是具体问题具体分析,没有哪个方法是通用的,大学里用到的方法如下:1、四则运算法则(包括有理化、约分等简单运算);2、两个重要极限(第二个重要极限是重点);3、夹逼准则,单调有界准则...
顺德区17524005916: 高等数学里面求极限有哪些方法? - ?
霍种舒邦: 第一个,定义法.根据极限的定义直接求出结果 第二个,夹逼准则 第三个,等价无穷小
顺德区17524005916: 高数极限的求法看书总是模模糊糊的看不明白,麻烦哪位大神能用简洁明了的语言告诉我这些个极限怎么区分,怎么求.细致一点,书上的语言看的我云里雾里... - ?
霍种舒邦:[答案] 1)洛必达法则求极限 2)无穷小代换求极限 3)求含参数的极限,关键是把握常量变量的关系 4)1的∞次方的极限是重点 5)函数连续计算中要会对点进行修改定义、补充定义,看看书上怎么写的 6)闭区间连续函数性质四定理非常重要,把它们背下...
顺德区17524005916: 求高数极限的方法?
霍种舒邦: 1、利用定义求极限.2、利用柯西准则来求.3、利用极限的运算性质及已知的极限来求.4、利用不等式即:夹逼原则.5、利用变量替换求极限.6、利用两个重要极限来求极限.7、利用单调有界必有极限来求.8、利用函数连续得性质求极限.9、用洛必达法则求,这是用得最多的.10、用泰勒公式来求,这用得也很经常. 18种未免也太多了,很多都差不多吧.我也不怎么记得了.你老师没教你吗?
顺德区17524005916: 高等数学求极限的方法 - ?
霍种舒邦: 求极限没有固定的方法,必须是具体问题具体分析,没有哪个方法是通用的,大学里用到的方法如下: 1、四则运算法则(包括有理化、约分等简单运算); 2、两个重要极限(第二个重要极限是重点); 3、夹逼准则,单调有界准则; 4、等价无穷小代换(抄重点); 5、利用导数定义; 6、洛必达法则(重点); 7、泰勒公式(考研数学1需要,其它考试不需要这个方法); 8、定积分定义(考研); 9、利用收zhidao敛级数(考研)希望可以帮到你,不明白可以追问,如果解决了问题,请点下面的"选为满意回答"按钮,谢谢.
顺德区17524005916: 高数求极限的方法 - ?
霍种舒邦: 1、利用定义求极限: 例如:很多就不必写了! 2、利用柯西准则来求! 柯西准则:要使{xn}有极限的充要条件使任给ε>0,存在自然数N,使得当n>N时,对于 任意的自然数m有|xn-xm|<ε. 3、利用极限的运算性质及已知的极限来求! 如:lim(x+x...
顺德区17524005916: 高等数学,求极限 - ?
霍种舒邦: 11)x趋于正无穷大时,e^(-x)趋于0,e^x趋于正无穷大,1/(e^x+e^(-x))趋于0,cosx为有界量, 极限为0 12)x趋于无穷大,分式趋于0,sinx 为有界量,极限为0 14)当x趋于2,分母趋于0,而分子不趋于0,极限不存在(为无穷大) 15)x[√(1+x^2)-x]=x[...
顺德区17524005916: 高等数学中求极限有哪几种方法? - ?
霍种舒邦: 求极限的常用方法: 1.函数的连续性 2.等价无穷小代换 3.“单调有界的数列必有极限”定理 4.有界函数与一个无穷小量的积仍为无穷小量 5.两个重要极限(sinx/x=1,e) 6.级数的收敛性求数列极限 7.罗必塔法则 8.定积分的定义
顺德区17524005916: 大学高数求极限的方法 - ?
霍种舒邦: 求极限的常用方法 利用等价无穷小求极限 这种方法的理论基础主要包括:(1)有限个无穷小的和、差、积仍是无穷小.(2)有界函数与无穷小的乘积是无穷小.(3)非零无穷小与无穷大互为倒数.(4)等价无穷小代换(当求两个无穷小之比的...
顺德区17524005916: 高数极限的求法 - ?
霍种舒邦: 1)洛必达法则求极限 2)无穷小代换求极限 3)求含参数的极限,关键是把握常量变量的关系 4)1的∞次方的极限是重点 5)函数连续计算中要会对点进行修改定义、补充定义,看看书上怎么写的 6)闭区间连续函数性质四定理非常重要,把它们...