数学分析，幂级数展开习题求解
先把f(x)展开成Taylor级数
f(x)=\sum a_i (x-1)^i
然后利用系数反回去求高阶导数就行了
看图
注意到f(x)=f(a)+∫[a,x]f'(t)dt=f(a)+∫[a,x]f'(t)d(t-x)，利用分部积分
=f(a)+(x-a)f'(a)+∫[a,x](x-t)f''(t)dt，如此反复利用分部积分
可得f(x)= Sigma(0,n, f<n>(a) * (x - a)^n / n! )+(∫[a,x]f<n+1>(t)*(x-t)^ndt)/n!
然后考虑对积分余项R(n,x)=(∫[a,x]f<n+1>(t)*(x-t)^ndt)/n! 作估计
作变换t=(a-x)s+x，可得
即R(n,x)=(∫[0,1]f<n+1>((a-x)s+x)*(x-a)^(n+1)*s^nds)/n!
=>R(n,x)/(x-a)^(n+1)=(∫[0,1]f<n+1>((a-x)s+x)*s^nds)/n!
因为f(x)各阶导数都非负，而(a-x)s+x≤(a-b)s+b,x∈[a,b],s∈[0,1]
所以R(n,x)/(x-a)^(n+1)≤R(n,b)/(b-a)^(n+1)
即R(n,x)≤[(x-a)/(b-a)]^n*R(n,b)
而R(n,b)=f(b)- Sigma(0,n, f<n>(a) * (b - a)^n / n! )≤f(b)
所以R(n,x)≤[(x-a)/(b-a)]^n*f(b)，即对任意x∈[a,b)，均有
R(n,x)->0,n->∞，即f(x)=Sigma(0,+INF,f<n>(a)*(x-a)^n/n!)对任意x属于[a,b)成立
最后说明x=b时上式也成立。设上式右边幂级数的收敛半径为r>0，
则显然b-a小于等于r，若b-a<r，则显然上式对x=b成立
若b-a=r，记上式幂级数系数为an，则∑an(x-a)^n在x∈(a,b)时为正项级数
所以若∑an(b-a)^n<+∞，则显然结论对x=b时也成立
若∑an(b-a)^n=+∞，则由cauchy收敛原理易得lim∑an(x-a)^n=+∞，x->b-
即limf(x)=+∞，x->b-，则显然和f(x)在[a,b]连续矛盾。
综上知f(x)=Sigma(0,+INF,f<n>(a)*(x-a)^n/n!)对任意x属于[a,b]成立
高等数学 什么是函数幂级数的展开式唯一性 能举个例子吗
高数课本上对函数幂级数的展开式唯一性的介绍如下图所示，教材上也有证明过程，证明方法是假设不唯一，相减得零可导出矛盾，故唯一。例子教材上也有，证明过程和例子太过复杂，不能打出来，有需要的请自行查看教材。
高数,幂级数的函数展开
1、麦克劳林级数是幂级数的一种，它在x=0处展开。 2、那些特殊初等函数的幂级数展开式是泰勒级数的特殊形式，没什么太大区别。用泰勒公式求极限有时可以达到事半功倍之效。例如： 所以，在这里用泰勒公式很方便。二项展开式：是依据二项式定理对(a+b)n进行展开得到的式子，由艾萨克·牛顿于1664-1665...
f(x)=ln(1+x+x^2)展开成x的幂级数
具体回答如下：幂级数的意义：在级数的每一项均为与级数项序号n相对应的以常数倍的（x-a）的n次方（n是从0开始计数的整数，a为常数）。幂级数是数学分析中的重要概念，被作为基础内容应用到了实变函数、复变函数等众多领域当中。
深度学习需要哪些基础知识
数学分析 在工科专业所开设的高等数学课程中，主要学习的内容为微积分。对于一般的深度学习研究和应用来说，需要重点温习函数与极限、导数（特别是复合函数求导）、微分、积分、幂级数展开、微分方程等基础知识。在深度学习的优化过程中，求解函数的一阶导数是最为基础的工作。当提到微分中值定理、Taylor公式...
高数:幂级数展开式问题,如图!
解：分享一种用间接展开法展开的解法。∵lgx=(1\/ln10)lnx=(1\/ln10)ln[(1+(x-1)]，而在-1<x-1≤1，即x∈(0,2]时，ln[(1+(x-1)]=∑[(-1)^(n-1)][(x-1)^n]\/n(n=1,2,……，∞），∴lgx=(1\/ln10)ln[(1+(x-1)]=∑[(-1)^(n-1)][(x-1)^n]\/n，其中x...
常用的全面的幂级数展开公式
具体如图：这是公比为q=x的等比级数求和公式的反过来应用，可以直接使用，没有必要写出具体过程， 如果一定要写，就写在下面，略有点麻烦，其中第步要用到收敛的等比级数的余项级数，仍然是等比级数和。设集合A是有基数Card（A）的有限集（可数集），则Card（2A）=2(Card(A))。如集合B={a,b}，...
函数如何展开成幂级数
带余项的幂级数展开可以看做是拉格朗日中值定理的推广。特别是从n=0到n=1的，这就是拉格朗日中值定理。幂级数展开的证明可以用拉格朗日中值定理的推论——柯西中值定理来证明，具体证明你可以翻看任何一本数学分析教材~具体地，一个可以展开成幂级数的函数的幂级数可以写为（在0点展开，其他可以平移得到...
高等数学中幂级数展开的问题
其实对这类函数求积分时，尤其范围是【0，x】时 我们往往会忽略对下限的计算，只理会对x的部分 因为对於大部分函数来说通常有f(0) = 0 但若f(0) ≠ 0的例子还是有的，这时候就不能省略f(0)这项的 所以在你这里也是一样道理 若f'(0) ≠ 0的话，这项就不能忽略了 ...
幂函数求和函数公式可以用来解决哪些数学问题?
幂函数求和公式，也被称为幂级数，是数学分析中的一个重要概念。这种类型的级数由一系列以整数幂次递增的项组成，形式如 a + ax + ax^2 + ax^3 + ...，其中 a 是一个常数。计算函数的值：幂函数求和公式可以用来计算某些函数在特定点的值。例如，通过使用幂级数展开，我们可以得到 e^x、sin...
数学分析 高数 幂级数 聚点 一碰有聚点的题就不会了T_T。。。 f(x...
因此，存在一个k，使泰勒系数ak≠0，这说明f(x)在x’点的k阶导数不为0，f（x）可以被表为：f(x)=g(x)(x-x')^k，其中g(x)=Σ[a(n+k)][(x-x‘)^n]（求和从0到∞），易知g(x')≠0，且g（x）在x’的收敛域内连续（幂级数性质），从而在x‘的某个领域O⊂U内g（x...
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滨江区13373079215： 一道关于幂级数展开的问题f(x)=(1/4)*ln[(1+x)/(1 - x)]+(1/2)*arctanx - x展开成x的幂级数 - ？
钞毓赛世：[答案] f(x)=(1/4)*ln[(1+x)-ln(1-x)]+(1/2)*arctanx-x 已知当|x|x] 1/(1+x^2) dx 当|x|x] 1-x^2+x^4-x^6+…… dx= x-x^3/3+x^5/5-x^7/7…… =∑(-1)^n*x^(2n+1)/(2n+1) n from 0 to ∞ 所以f(x)=(1/4)*ln[(1+x)/(1-x)]+(1/2)*arctanx-x =(1/2)∑x^(2n+1) / (2n+1) + (1/2)∑(-1)^n*x^(2n+...
滨江区13373079215： 将f(x)=1x展开成x - 3的幂级数,并求收敛域. - ？
钞毓赛世：[答案] ∵f(x)= 1 3+(x-3)= 1 3• 1 1+(x-33), 而 ∞ n=0(-1)nxn= 1 1+x,x∈(-1,1), ∴ 1 3• 1 1+(x-33)= ∞ n=0(-1)n 1 3•( x-3 3)n= ∞ n=0(-1)n( 1 3)n+1(x-3)n,其中-1< x-3 3<1,即0
滨江区13373079215： 求e^x*sinx展开为x的幂级数如题,要详解 - ？
钞毓赛世：[答案] 如果学了Euler恒等式e^(ix) = cos(x)+isin(x),那么可以有sin(x) = (e^(ix)-e^(-ix))/(2i). 于是e^x·sin(x) = (e^((1+i)x)-e^((1-i)x))/(2i). e^x = ∑{n ≥ 0} x^n/n!. 故e^((1+i)x) = ∑{n ≥ 0} (1+i)^n·x^n/n!. e^((1-i)x) = ∑{n ≥ 0} (1-i)^n·x^n/n!. 注意到1+i = √2·e^(πi/...
滨江区13373079215： 高数题求解,将函数f(x)=1/(1+3x)展开成x的幂级数 - ？
钞毓赛世：[答案] 由1/(1-x)=1+x+x^2+x^3+...|x|
滨江区13373079215： 将函数f(x)=ln(2+x)展开成x的幂级数,并指出收敛区间. - ？
钞毓赛世：[答案] 由于 1 1+x= ∞ n=0(−1)nxn(-1
滨江区13373079215： 求f(x)=1/x关于(x - 1)的幂级数展开式 - ？
钞毓赛世：[答案] 1/x =1/[1-(1-x)] 所以是首项为1,公比为1-x的等比级数 f(x)=1+(1-x)+(1-x)^2+(1-x)^3+...
滨江区13373079215： 求函数y=e^2x的幂级数展开式, - ？
钞毓赛世：[答案] 因为函数y=e^x的展开式是e^x=1+x+x^2/2!+,+x^n/n!+,(x属于R) 只需将x换成2x即可x仍是属于R的
滨江区13373079215： 幂级数求解 展开已知函数为X的幂级数 ln根号(1+X)/(1 - x) - ？
钞毓赛世： 定义域为-1<x<1 原f(x)=1/2[ln(1+x)-ln(1-x)] 由公式:ln(1+x)=x-x²/2+x^3/3-x^4/4+.... 得 ln(1-x)=-x-x²/2-x^3/3-x^4/4+... 两式相减:ln(1+x)-ln(1-x)=2(x+x^3/3+x^5/5+....) 所以有f(x)=x+x^3/3+x^5/5+.....
