高等数学 什么是函数幂级数的展开式唯一性 能举个例子吗
xlnx = (x-1)lnx + lnx = (x-1)ln[1-(1-x)] + ln[1-(1-x)]
1/(1-x) = 1+x+x^2+…+x^n + …
Integrating from 0 to x,
ln(1-x) = x+x^2/2+…+x^(n+1)/(n+1)+…
ln[1-(1-x)] = (1-x)+(1-x)^/2+...+ (1-x)^n/n + ... = -(x-1)+(x-1)^2/2+...+(-1)^n (x-1)^n/n+...; n from 1 to infinity (1)
(x-1)ln[1-(1-x)] = (x-1)[(1-x)+(1-x)^2/2+…+(1-x)^(n+1)/(n+1) + …]
= -(x-1)^2 + (x-1)^3/2 - …+ (-1)^n (x-1)^(n+1)/n+…; n from 1 to infinity (2)
(1)+(2): xlnx = Answer
“幂分量”不需正交，仅要线性无关即可。
k1(1是角标）x+k2x^2+k3x^3+...+knx^n =0在复数域中仅有n个解，即0点仅有n个。故只有k1=k2=....=kn左端才恒为0，这就是线性无关的条件，n任意个，即无穷个x^i都线性无关。当然这里线性空间是一个函数空间，其实x,x^2,...构成其一个基
高数课本上对函数幂级数的展开式唯一性的介绍如下图所示，教材上也有证明过程，证明方法是假设不唯一，相减得零可导出矛盾，故唯一。例子教材上也有，证明过程和例子太过复杂，不能打出来，有需要的请自行查看教材。
扩展资料：
幂级数的定义：
设u1(x),u2(x),......,un(x),....是定义在某区间I上的函数列，则表达式
(1)
称为定义在区间I上函数项级数。
如果式（1）上的各项un(x)都是定义在区间(-∞，+∞）上的幂函数，函数项级数
(2)
称作幂级数，其中x0为常数，a0,a1,...,an称为幂级数的系数。
不用举例，教材上有证明的，幂级数的系数表达式是唯一的。
祖景松龄：[答案] 你好 幂级数,是数学分析当中重要概念之一,是指在级数的每一项均为与级数项序号n相对应的以常数倍的(x-a)的n次方(n是从0开始计数的整数,a为常数).幂级数是数学分析中的重要概念,被作为基础内容应用到了实变函数、复变函数等众多...
永定县13420649143： 傅里叶级数展开? - ？
祖景松龄： 原发布者:mjzhwx高等数学电子教案第六节傅里叶级数上面我们已经研究了用幂级数来表示一个函数f(x),该函数的幂级数展开式是以多项式的形式逼近非多项式函数,现在我们要研究的傅里叶级数展开是解决三角多项式近似表达函数的问题....
永定县13420649143： 高数幂级数的展开 - ？
祖景松龄： 没有看懂么? exp(-x)的展开式是直接用-x替换掉exp(x)展开式中的x得到的 (exp(x)-exp(-x))/2后面因为偶数项系数全为0,就只写了奇数项
永定县13420649143： 1/(1+x)^2的幂级数展开式 - ？
祖景松龄： 1/(1+x)^2的展开式 套用 下列(1+x)^-2 的展开公式,有 (1+x)^-2=1-2x+3x^2-4x^3+5x^4-....+(-1)^(n-1) . n . x^(n-1)+....
永定县13420649143： 高数:函数展开成幂级数1、将f(x)=1/x展成x - 3的幂级数2、将函数f(x)=1/(x^2+5x+6)展开成x - 2的幂级数 - ？
祖景松龄：[答案] 1 f(x)=1/x=1/(3+x-3)=1/3*(1+(x-3)/3)=1/3 * ∑(n=0,∞)(-1)^n * (x-3)^n /3^n 2 f(x)=1/(x^2+5x+6)=1/(x+2)(x+3)=1/(x+2)-1/(x+3) 类似上题做变换即可
永定县13420649143： 什么函数有幂级数展开式?请给我最准确的答案,不用考虑答案的复杂程度.只是问怎样的函数有幂集展开式? - ？
祖景松龄：[答案] 任意阶可导的函数未必可以有幂级数展开式,例如函数 f(x) = e^[-x^(-2)],x ≠ 0, = 0,x = 0, 在x = 0的任意邻域内有任意阶导数,且在x = 0的任意阶导数均为0,但其在x = 0幂级数展开式的和函数不是f(x)本身. 一个函数有幂级数展开式的充分条件是...
永定县13420649143： a的x次方展开成x的幂级数 ？
祖景松龄： a的x次方展开成x的幂级数:e^x=1+x/1+x^2/2+x^n/n,幂级数,是数学分析当中重要概念之一,是指在级数的每一项均为与级数项序号n相对应的以常数倍的(x-a)的n次方(n是从0开始计数的整数,a为常数).幂级数是数学分析中的重要概念,被作为基础内容应用到了实变函数、复变函数等众多领域当中.次方最基本的定义是:设a为某数,n为正整数,a的n次方表示为aⁿ,表示n个a连乘所得之结果,如2⁴=2*2*2*2=16.次方的定义还可以扩展到0次方和负数次方等等.
永定县13420649143： 泰勒公式与幂级数展开式有什么区别和联系? - ？
祖景松龄： 都是表示函数的精度问题.泰勒公式把后面的部分项用高阶无穷小代替了,级数的话一直列写了出来. 查看原帖>> 满意请采纳
永定县13420649143： 高等数学函数展开成幂级数？
祖景松龄： f(x)=x/3*[1/(1-x/3)]=x/3*Σ(x/3)^n (n=0,1,...)= Σ(x/3)^n (n=1,...), |x|
永定县13420649143： (高数)函数展开成幂级数 - ？
祖景松龄： 我明白你的意思,你应该说在x=1的那点展开成幂级数后,收敛半径是1,但是无法判断是开区间,闭区间还是半开半闭区间对吧?方法是将两个端点代入变成一个常项数的级数,然后用比较法(限正项),根式法(限正项),极限法,或莱布尼茨(限交错)来判断这个常项级数是否收敛,至于之后具体要哪个要看你具体的题目 希望对你有帮助,谢谢
