对于二次函数y=ax^2+bx+c的图像。开口方向，对称轴，与X,Y轴的交点坐标如何解答

二次函数y=ax^2+bx+c的图像和x轴交点的坐标与一元一次方程ax^2+bx+c=0的根有什么关系~

一元二次方程ax^2+bx+c=0的根 决定了二次函数与x轴的交点情况
若 有两个相同的实数根 则 函数图像与x轴有一个交点
若 有两个不相同的实数根 则 函数图像与x轴有两个交点
若 无实数根 则 函数图像与x轴没有交点

并且也决定着二次函数的取值范围

与y轴交点为(0,c)
当b^2-4ac>0时,
与x轴有两个交点为((-b+√b^2-4ac)/2a,0)和((-b-√b^2-4ac)/2a,0)
当b^2-4ac=0时,
与x轴有一个交点为(-b/2a,0)
当b^2-4ac<0时,
与x轴没有交点

一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：
y=ax^2+bx+c
（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大。）
则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
x是自变量，y是x的函数

二次函数的三种表达式
一般式：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）
顶点式：y=a(x-h)^2+k [抛物线的顶点P（h，k）] 对于二次函数y=ax^2+bx+c 其顶点坐标为 (-b/2a,(4ac-b^2)/4a)</CA>
交点式：y=a(x-x₁)(x-x ₂) [仅限于与x轴有交点A（x₁ ，0）和 B（x₂，0）的抛物线]
其中x1，2= -b±√b^2－4ac
注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:
______
h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a x₁,x₂=(-b±√b^2-4ac)/2a

二次函数的图像
在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像，
可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。

抛物线的性质
1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x = -b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）
2.抛物线有一个顶点P，坐标为P ( -b/2a ，(4ac-b^2)/4a )
当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；
当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于（0，c）
6.抛物线与x轴交点个数
Δ= b^2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。
Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
_______
Δ= b^2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数（x= -b±√b^2－4ac 的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）
当a>0时，函数在x= -b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b^2/4a；在{x|x<-b/2a}上是减函数，在{x|x>-b/2a}上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是{x|x≥4ac-b^2/4a}相反不变
当b=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax^2+c(a≠0)

二次函数与一元二次方程
特别地，二次函数（以下称函数）y=ax^2+bx+c，
当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），
即ax^2+bx+c=0
此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。
函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。

1．二次函数y=ax^2，y=a(x-h)^2，y=a(x-h)^2 +k，y=ax^2+bx+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：

解析式
y=ax^2
y=a(x-h)^2
y=a(x-h)^2+k
y=ax^2+bx+c

顶点坐标
(0，0)
(h，0)
(h，k)
(-b/2a，sqrt[4ac-b^2]/4a)

对 称 轴
x=0
x=h
x=h
x=-b/2a

当h>0时，y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到，
当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到．
当h>0,k>0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)^2 +k的图象；
当h>0,k<0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象；
当h<0,k>0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象；
当h<0,k<0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象；
因此，研究抛物线 y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)^2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了．这给画图象提供了方便．
2．抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象：当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，[4ac-b^2]/4a)．
3．抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)，若a>0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而减小；当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而增大．若a<0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而增大；当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而减小．
4．抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点：
(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)；
(2)当△=b^2-4ac>0，图象与x轴交于两点A(x₁，0)和B(x₂，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0
(a≠0)的两根．这两点间的距离AB=|x₂-x₁| 另外，抛物线上任何一对对称点的距离可以由|2×（-b/2a）－A |（A为其中一点）
当△=0．图象与x轴只有一个交点；
当△<0．图象与x轴没有交点．当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0；当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0．
5．抛物线y=ax^2+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，则当x= -b/2a时，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a．
顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值．
6．用待定系数法求二次函数的解析式
(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：
y=ax^2+bx+c(a≠0)．
(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)^2+k(a≠0)．
(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x₁)(x-x₂)(a≠0)．
7．二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现．

开口方向:a>0开口向上 a<0开口向下
对称轴:x=-b/(2a)
与X轴交点坐标解ax^2+bx+c=0的两根x1, x2 (x1,0) (x2,0)
与Y轴的交点坐(0,c)

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五营区19560563305： 二次函数y=ax^2+bx+c(一般形式)还可以写成哪些形式? - ？
桐闸可达： 二次函数的三种表达式 一般式:y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0) 顶点式:y=a(x-h)2+k [抛物线的顶点P(h,k)] 交点式:y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A(x1,0)和 B(x2,0)的抛物线] 注:在3种形式的互相转化中,有如下关系: h=-b/2a k=(4ac-b2)/4a x1,x2=(-b±√b2-4ac)/2a

五营区19560563305： 已知二次函数y=ax^2+bx+c同时满足下列条件. - ？
桐闸可达： 由于 当x>1时,y随x的增大而减小,当x<1时,y随x的增大而增大 所以函数的对称轴是 x=1,且开口向下 即 a<0 且-b/2a=1 有:2a+b=0 ...................(1) 最大值显然是在x=1时取得的,所以当x=1时 y=15 即 a+b+c=15....................(2) 对于第三个条件,有:x1^3+x2^3=(x1+x2)(x1^2-x1x2+x2^2)=(x1+x2)((x1+x2)^2-3x1x2)=-b/a*((-b/a)^2-3c/a)=17........(3) 联立这(1)(2)(3)可以解得 a=-6 b=12 c=9 所以 y=-6x^2+12x+9

五营区19560563305： 对于二次函数y=ax?+bx+c的一般形式,怎样求顶点坐标. - ？
桐闸可达：[答案] y=ax^2+bx+c =a(x^2+bx/a)+c =a(x+b/2a)^2+c-b^2/4a =a(x+b/2a)^2+(4ac-b^2)/4a 顶点坐标为(-b/2a,4ac-b^2/4a)

五营区19560563305： 二次函数y=ax^2+bx+c a、b、c分别代表什么? - ？
桐闸可达：[答案] 二次函数y=ax^2+bx+c a表示抛物线开口的方向和形状; b与a决定抛物线的对称轴 当b=0时,对称轴是y轴 c确定抛物线与y轴的交点 当c=0使,抛物线经过原点

五营区19560563305： 已知二次函数y=ax^2+bx+c,满足条件 - ？
桐闸可达： y>=0的解集是{x|-1=<x<=3} 所以x=-1,x=3是方程ax²+bx+c=0的两根 所以ax²+bx+c=a(x+1)(x-3) 即y=a(x+1)(x-3) 又当x=(-1+3)/2=1时,y取最大值 所以有7=a(1+1)(1-3),解得a=-7/4 所以y=(-7/4)(x+1)(x-3) 展开化简得 y=(-7/4)x²+(7/2)x+(21/4)

五营区19560563305： 一元二次函数y=ax^2+bx+c是怎么演变成万能公式的?麻烦把过程解析下 - ？
桐闸可达： y=ax^2+bx+c=a(x^2+b/ax)+c 提取二次项系数A=a[x/2+b/ax+(b/2a)^2-(b/2a)^2]+c 括号内加上和减去一次项系数一般的平方 =a(x+b/2a)^2+(4ac-b^2)/4a 把最后一项拿出来合并常数项即可 不知是否是你所要的万万能公式?

五营区19560563305： 对于二次函数y=ax^2+bx+c的图像.开口方向,对称轴,与X,Y轴的交点坐标如何解答 - ？
桐闸可达： 一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系: y=ax^2+bx+c (a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,a<0时,开口方向向下.IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.) 则称y为x的二次函...

五营区19560563305： 二次函数y=ax2+bx+c的值永远为正值的条件是b2 - 4ac------0 - ？
桐闸可达： 若使二次函数y=ax2+bx+c的值永远为正值, ∴二次函数y=ax2+bx+c的图象在x轴上方, ∴开口要向上,并且图象与x轴没有交点, ∴二次函数y=ax2+bx+c的图象在x轴上方的条件是b2-4ac0. 故答案为:

五营区19560563305： 最好是数学老师来回答.求二次函数的最值时,下面的在解答题中可以直接用吗?对于二次函数y=ax^2+bx+c(a不等于0)(这个叫做“一般式”)如果a>0则函... - ？
桐闸可达：[答案] 要知道f(x)=ax^2+bx+c(a不为0),你也明白2此函数其图像是一条主轴平行于y轴的抛物线,也就是一般式y=ax^2+bx+c(a不等于0),你要求最值是要变为顶点式.如果自变量的范围是全体实数,那么函数在顶点处就取得最值(最大,最...

五营区19560563305： 二次函数抛物线 用顶点表示准线和焦点针对二次函数的形式:y=ax^2+bx+c,它的顶点坐标若可以表达为(Dx,Dy)[其中Dx= - b/(2a),Dy= - △/(4a)],那么焦点可... - ？
桐闸可达：[答案] 设y=ax²+bx+c=a[x²+(b/a)x]+c=a[(x+b/2a)²-b²/4a²]+c=a(x+b/2a)²+(4ac-b²)/4a 即有y-(4ac-b²)/4a=a(x+b/2a)²; 平移坐标轴,建立新坐标系x'o'y';将坐标原点由O(0,0)移到O'(-b/2a,(4ac-b²)/4a), 那么在新坐标系里原二次函数的方程就变为y'=...