高等数学求最大值与最小值问题

高等数学最大值最小值问题？~

首先，解释两部分想加的必要性。
因为被积函数含有绝对值符号，为了褪去绝对值符号，需要讨论t^2-x^2的正负号。
又因为t的定义域为[0,1]，x的取值范围为(0,1]。
所以，当t<x时，t^2<x^2，
|t^2-x^2|=x^2-t^2
当x=x^2
|t^2-x^2|=t^2-x^2
其次，利用定积分在有限区间的可加性。定积分在[0,1]区间上的值=定积分在[0,x]和[x,1]区间上值的和。
f(x)=(x^2-t^2)dt在[0,x]上的积分+(t^2-x^2)dt在[x,1]上的积分。

令t=√（1-x） 则0≤t≤√2， t²=1-x ，x=1-t²
所以y=（1-t²）+t=-（t²-t）+1=-（t²-t+1/4）+1+1/4=-(t-1/2)²+5/4
y是t的二次函数，对称轴t=1/2，左侧递增，右侧递减
t=0时，即x=1时，y=1；t=1/2，即x=3/4时，ymax=5/4,；t=√2，即x=-1时，y=√2-1
∴当t=1/2时，即x=3/4时，y取得最大值ymax=5/4
当t=√2，即x=-1时，y取得最小值，ymin=√2-1

你的这个问题反映了我们在讲解最大值、最小值求解时，对最值问题的性质讲解得不透。最值问题主要是要找出可疑点，然后比较可疑点的函数值，最大者为最大值，最小者为最小值，而可疑点则包括：闭区间的端点、驻点、一阶导数不存在点以及分段函数的分段点。
本题x=1和x=2作为分段点，并无必要判断其是否可导，直接将其纳入可疑点即可。
除分段函数的分段点以外的一阶导数不存在点相对容易判断。

答：画不了图的时候，你可以把分段函数求导，然后把临界点的自变量代入进去，
看看临界点处的导数值（即两端斜率）是不是一致的，如果是一致的就可导，
如果不是一致的就不可导。

比如例题：
-3<=x<=1或者2<=x<=4时，f(x)=x²-3x+2，f'(x)=2x-3，f'(1)=-1，f'(2)=1；
1<=x<=2时，f(x)=-x²+3x-2，f'(x)=-2x+3，f'(1)=1，f'(2)=-1.
你可以发现，临界点两端的导数值是不是一样的，因此1和2是不可导的。

求函数的最大最小值，有导数法、配方法、判别式法等等，需要根据具体的情况选择较简单的方法。

导数存在的前提是“左导数=右导数”，
在点1处，此题中函数f(x)的导函数当x<1时为f(x)=2x-3，当1<x<2时为f(x)=-2x+3，所以在点1处左导数为-1，右导数为+1，故在此处不可导。
因此不需要画图，只要按照变量区间写出函数和导函数的表达式来，就可以判断在哪些点是否可导的。

函数去掉绝对值就没有不可导点，不可导点的值为0；

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