圆锥的体积公式是怎样推导出来的?求解!!!
给你种初等的方法
设圆锥高H,底面半径为R,底面积S=π*R^2
用平行于底面的平面把它切成n片,则每片的厚度为H/n
可把每片近似看做底半径为k/n*r的圆柱
其体积为(π*k/n*r)^2*h/n,对k=1到n求和得
S=πR^2H*(1/6/n^3)*n*(n+1)*(2n+1)
令n=无穷大,则S=1/3πR^2H
也可以用实验法;
其实很简单.任何物体的体积都离不开底面积×高的求法
圆柱的体积公式是V=Sh 那么与它等底等高的圆锥的体积是多少呢?
把与它等底等高的圆锥装满水,倒进圆锥体里,你可以发现倒3次才能倒满圆柱.
所以与圆柱等底等高的圆锥是这个圆柱的三分之一
所以:圆锥的体积就是V=1/3Sh 三分之一乘底面积乘高
公式:圆锥体积=底面积*高*1/3=半径的平方*3.14*高*1/3
把圆锥沿高分成k分
每份高
h/k,
第
n份半径:n*r/k
第
n份底面积:pi*n^2*r^2/k^2
第
n份体积:pi*h*n^2*r^2/k^3
总体积(1+2+3+4+5+...+n)份:pi*h*(1^2+2^2+3^2+4^2+...+k^2)*r^2/k^3
因为
1^2+2^2+3^2+4^2+...+k^2=k*(k+1)*(2k+1)/6
所以
总体积(1+2+3+4+5+...+n)份:pi*h*(1^2+2^2+3^2+4^2+...+k^2)*r^2/k^3
=pi*h*r^2*
k*(k+1)*(2k+1)/6k^3
=pi*h*r^2*(1+1/k)*(2+1/k)/6
因为当n越来越大,总体积越接近于圆锥体积,1/k越接近于0
所以pi*h*r^2*(1+1/k)*(2+1/k)/6=pi*h*r^2/3
因为V柱=pi*h*r^2
所以
V锥是与它等底等高的V柱体积的1/3(网上的答案,我没看懂
汗)
找2个同底同高的圆锥和圆柱
往圆锥中填满沙子,将沙子倒入圆柱,会发现只占圆柱体积的1/3,
就是这样通过实验求出来的
易于理解的就是用沙子侧等底等高圆锥和圆柱的体积比。
找2个同底等高的圆锥和圆柱
其中轴所在面分别为三角形和矩形
等到三角形和矩形面积公式
又知体积为三角形和矩形以中轴旋转得到
以面积公式求体保的定积分可得.
V=体积
V锥=圆锥的体积
V锥=1/3Sh
S=底面积
h=高。
用文字来说就是:圆锥的体积=底面积和高的积再乘以1/3
圆锥的体积是这样推导出的
其实很简单。任何物体的体积都离不开底面积×高的求法
圆柱的体积公式是V=Sh 那么与它等底等高的圆锥的体积是多少呢?
把与它等底等高的圆锥装满水,倒进圆锥体里,你可以发现倒3次才能倒满圆柱。
所以与圆柱等底等高的圆锥是这个圆柱的三分之一
所以:圆锥的体积就是V=1/3Sh 三分之一乘底面积乘高
希望我的回答对你有帮助!
证明:
把圆锥沿高分成k分
每份高 h/k,
第 n份半径:n*r/k
第 n份底面积:pi*n^2*r^2/k^2
第 n份体积:pi*h*n^2*r^2/k^3
总体积(1+2+3+4+5+...+n)份:pi*h*(1^2+2^2+3^2+4^2+...+k^2)*r^2/k^3
因为
1^2+2^2+3^2+4^2+...+k^2=k*(k+1)*(2k+1)/6
所以
总体积(1+2+3+4+5+...+n)份:pi*h*(1^2+2^2+3^2+4^2+...+k^2)*r^2/k^3
=pi*h*r^2* k*(k+1)*(2k+1)/6k^3
=pi*h*r^2*(1+1/k)*(2+1/k)/6
因为当n越来越大,总体积越接近于圆锥体积,1/k越接近于0
所以pi*h*r^2*(1+1/k)*(2+1/k)/6=pi*h*r^2/3
因为V柱=pi*h*r^2
所以
V锥是与它等底等高的V柱体积的1/3
要说推导过程啊……这应该是要用微积分的。就象圆的面积的推导那样,可以用两种办法,一是把圆台横向拆成一片一片的圆片,每一片按圆柱算积分积起来;另一种是像切圆那样把圆台从圆心纵向切成一片一片的,每一片按照梯台算,再积起来。
当然,如果预先知道了圆锥的体积公式,那就用大圆椎减去小圆椎算即可:=1/3
派r^2-1/3
派r^2=1/3派(r^2-r^2)
长方形底面积=圆柱底面积,高=圆柱的高,所以,圆柱的面积=底面积乘高
用实验的方法推导出来的。
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