用幂级数法求和,手写的是题目,明明x只有n次的引入幂函数却是2n-1次,这要怎么算啊?
是的,这里的s(x)不是最终答案,
最终答案是
√x·s(√x) (x≥0时)
√-x·s(√-x) (x<0时)
证明过程如下:
证明:利用恒等式(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1),得:(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1
n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1
3^3-2^3=3*(2^2)+3*2+1
2^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1
把这n个等式两端分别相加,得:
(n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+.+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n
由于1+2+3+...+n=(n+1)n/2
代人上式得:n^3+3n^2+3n=3(1^2+2^2+3^2+.+n^2)+3(n+1)n/2+n
整理后得:1^2+2^2+3^2+.+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
扩展资料公式:
函数级数是形如∑an(x-x0)^n的级数,称之为幂级数。它的结构简单 ,收敛域是一个以为中心的区间(不一定包括端点),并且在一定范围内具有类似多项式的性质,在收敛区间内能进行逐项微分和逐项积分等运算。
例如幂级数∑(2x)^n/x的收敛区间是[-1/2,1/2],幂级数∑[(x-21)^n]/(n^2)的收敛区间是[1,3],而幂级数∑(x^n)/(n!)在实数轴上收敛。
如果每一un≥0(或un≤0),则称∑un为正(或负)项级数,正项级数与负项级数统称为同号级数。正项级数收敛的充要条件是其部分和序列Sm 有上界。
下图提供的解答,不需要背任何公式,只需要懂得五步曲就可以了:
第一:先算出收敛域,只有在收敛域内计算,才合情合理;
第二:构造一个函数,其实就是按照题目乘上一个x^n;
第三:根据题目的具体形式,决定先积分后求导,还是先求导后积分;
第四:第三步中,会用到公比小于1的等比数列求和公式。
第五:将x=1代入即可。
第二部的进一步说明:
x的幂次,由级数的形式决定。
如果是先积分,就必须跟分子n、n+1、2n+1、3n-2、5n+3、、、相差1;
如果是先求导,就必须跟分子n、n+1、2n+1、3n-2、5n+3、、、一样。
结果都是只有一个目的,就是将x的幂次前的变数n、n+1、2n+1、3n-2、5n+3、、、
统统清楚,以便使用公比小于1的无穷等比数列的公式 1/(1-r) 。
就是这么简单。
具体解答见图,点击放大:
最后说明:
1、楼主的问题是:一个是n次幂,一个是2n - 1幂次,似乎不一致,如何运用公式?
其实,没有不一致,只要把 (3/4)^n,变成 [根号(3/4)]^(2n),然后,再除以一个
根号下(3/4),就可以运用公式了。
2、很遗憾,楼主的讲义上犯了一个整体错误:
A、该级数是一个交错递减绝对收敛级数,首项是负的;
B、该级数的推导一开始就出了一个负号问题,写讲义的老师眼高手低,
后面代入3/4时,也是大大咧咧地随便加了一个负号,就糊弄过去了。
用幂级数法求和,手写的是题目,明明x只有n次的引入幂函数却是2n-1次...
x的幂次,由级数的形式决定。如果是先积分,就必须跟分子n、n+1、2n+1、3n-2、5n+3、、、相差1;如果是先求导,就必须跟分子n、n+1、2n+1、3n-2、5n+3、、、一样。结果都是只有一个目的,就是将x的幂次前的变数n、n+1、2n+1、3n-2、5n+3、、、统统清楚,以便使用公比小于1的无穷...
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翁侧金康: <p>下图提供的解答,不需要背任何公式,只需要懂得五步曲就可以了:</p> <p> </p> <p>第一:先算出收敛域,只有在收敛域内计算,才合情合理;</p> <p>第二:构造一个函数,其实就是按照题目乘上一个x^n;</p> <p>第三:根据题目的具体...
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翁侧金康: 利用∫x^adx=x^(a+1)/(a+1)+C得到 原式=∑【∫〔0到x〕(x^n/n)dx】=∑【∫〔0到x〕(∫〔0到x〕x^(n-1)dx)dx】 把和号放进两个积分号里得到=∫〔0到x〕(∫〔0到x〕∑x^(n-1)dx)dx 利用等比级数的结论:∑x^n=首项/(1-x)得到=∫〔0到x〕(∫〔0到x〕1/(1-x)dx)dx 把两个积分求出来得到=x+(1-x)*Ln(1-x).
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丰县17814898055: 幂级数的和函数 按照书上的例题作也不会 求详细过程谢谢 - ?
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翁侧金康: 应该写得比较详细了,可以看一看,前一部分先求出n=1时的项使得∑从n=2开始取,后面一部分先把(-1)^n写成(-1)^(n-1)*(-1)然后即可合并通分:
丰县17814898055: 求幂级数的和函数 ∑(n=0到∞)[[1/2^(n - 1)]x^n - ?
翁侧金康: =2求和(n=0到无穷)x^n/2^n=2/(1-x/2)=4/(2-x),这是必须记住的一个幂级数求和(n=0到无穷)x^n=1/(1-x)
丰县17814898055: 幂级数求和函数问题 - ?
翁侧金康: 1,令an=x^n/n(n-1) 则 limlan/a(n-1)l=limlxln/(n-2)=lxl又当x=1时an=1/n(n-1)=1/(n-1)-1/n级数收敛,当x=-1时,an=(-1)^n*(1/(n-1)-1/n)亦收敛(交错级数) 故收敛区间为[-1,1]2,这个题目应该从第2项到无穷吧?不然无意义.由于an=x^n/n(n-1)=x^n[1/(...