如图，已知正方形ABCD的边长为4cm，动点P从点B出发，以2cm/s的速度、沿B→C→D方向，向点D运动；动点Q从

作者&投稿：钮宇（若有异议请与网页底部的电邮联系）

如图，已知正方形ABCD的边长为4cm，动点P从点B出发，以2cm/s的速度沿B→C→D方向向点D运动；动点Q从点A出~

解：（1）如图1，当t=1时，AQ=1cm，BQ=4-AQ=3（cm），BP=CP=2cm．S=S正方形ABCD-S△ADQ-S△BPQ-S△PCD，=42-12×4×1-12×2×3-12×2×4=7（cm2）．（2）①如图1，当0≤t≤2时，即点P在BC上时，S=S正方形ABCD-S△ADQ-S△BPQ-S△PCD=16-12?4?t-12?2 t?（4-t）-12?（4-2 t）?4=t2-2 t+8．=（t-1）2+7．∴当t=1时，S有最小值7．②如图2，当2≤t≤4时，即点P在CD上时，DP=8-2 t．S=12?（8-2 t）?4=16-4 t．根据一次函数的性质，S随t的增大而减小，∴当t=2时，S有最大值8．（3）①如图3，若PD=QD，则Rt△DCP≌Rt△DAQ（HL）．∴CP=AQ．即t=4-2 t，解得t=43．②如图4，若PD=PQ，则PD2=PQ2，即42+（4-2t）2=（4-t）2+（2t）2．解得：t=-4±42，其中t=-4-42＜0不合题意，舍去，∴t=-4+42．③如图5，若DQ=PQ，则DQ2=PQ2，即42+t2=（4-t）2+（2t）2．解得t=0或t=2．∴t=43或t=-4+42或t=0或t=2时，△PQD是等腰三角形．

：（1）当0≤t≤2时，即点P在BC上时，
S=S正方形ABCD-S△ADQ-S△BPQ-S△PCD=16-12•4•t-12•2t•（4-t）-12•（4-2t）•4=t2-2t+8，
当2＜t≤4时，即点P在CD上时，DP=8-2t，
S=12•（8-2t）•4=16-4t．
（2）①若PD=QD，则Rt△DCP≌Rt△DAQ（HL）．
∴CP=AQ．即t=4-2t，解得t=43．
②若PD=PQ，则PD2=PQ2，即42+（4-2t）2=（4-t）2+（2t）2．
解得t=-4±42，其中t=-4-42＜0不合题意，舍去，∴t=-4+42．
③若QD=PQ，则QD2=PQ2，即16+t2=（4-t）2+（2t）2，解得t=0或t=2，
∴t=43或t=-4+42或t=0或t=2时，△PQD是等腰三角形．

（3）当P在CD上运动时，若⊙P经过BC的中点E，设⊙P切BD于M．
则CP=2t-4，PM2=PE2=（2t-4）2+22．
而在Rt△PMD中，由于∠PDM=45°，所以DP=2PM，即DP2=2PM2．
∴（8-2t）2=2[（2t-4）2+22]．
解得t=±6，负值舍去，
∴t=6，
若⊙P经过CD的中点，⊙P的半径r=2（2-1），
故t=2+2，
还有两个：P在BC上经过CD中点。同理，P在CD上经过BC中点。总之，最后4个答案：2+根号2，2-根号2，4-根号6，根号6。

（1）当0≤t≤2时，即点P在BC上时，
S=S_{正方形ABCD}-S_△ADQ-S_△BPQ-S_△PCD=16-

?4?t-

?2t?（4-t）-

?（4-2t）?4=t²-2t+8，
当2＜t≤4时，即点P在CD上时，DP=8-2t，
S=

?（8-2t）?4=16-4t．

（2）①若PD=QD，则Rt△DCP≌Rt△DAQ（HL）．
∴CP=AQ．即t=4-2t，解得t=

．
②若PD=PQ，则PD²=PQ²，即4²+（4-2t）²=（4-t）²+（2t）²．
解得t=-4±4

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