微积分拾阶(1)的函数的分类

一元函数微积分的重点是什么~

微积分的基本内容可以分为三大块：一元函数微积分，多元函数微积分（主要是二元函数），无穷级数和常微分方程与差分方程。一元函数微积分学的知识点是考研数学三微积分部分出题的重点，应引起重视。多元函数微积分学的出题焦点是二元函数的微分及二重积分的计算。无穷级数和常微分方程与差分方程考查主要集中在数项级数的求和、幂级数的和函数、收敛区间及收敛域、解简单的常微分方程等。

一、熟记基本内容

事实上，数学三考微积分相关内容的题目都不是太难，但是出题老师似乎对基本计算及应用情有独钟，所以对基础知识扎扎实实地复习一遍是最好的应对方法。阅读教材虽然是奠定基础的一种良方，但参考一下一些辅导资料，如《微积分过关与提高》等，能够有效帮助同学们从不同角度理解基本概念、基本原理，加深对定理、公式的印象，增加基本方法及技巧的摄入量。对基本内容的复习不能只注重速度而忽视质量。在看书时带着思考，并不时提出问题，这才是好的读懂知识的方法。

二、紧抓内容重点

在看教材及辅导资料时要依三大块分清重点、次重点、非重点。阅读数学图书与其他文艺社科类图书有个区别，就是内容没有那么强的故事性，同时所述理论有一定抽象性，所以在此再一次提醒同学们读书需要不断思考其逻辑结构。比如在看函数极限的性质中的局部有界性时，能够联系其在几何上的表现来理解，并思考其实质含义及应用。三大块内容中，一元函数的微积分是基础，定义一元函数微积分的极限及微积分的主要研究对象——函数及连续是基础中的基础。这个部分也是每年必定会出题考查的，必须引起注意。多元函数微积分，主要是二元函数微积分，这个部分大家需要记很多公式及解题捷径。无穷级数和常微分方程与差分方程部分的重点很容易把握，考点就那几个，需要注意的是其与实际问题结合出题的情况。

三、检测学习效果

大量做题是学习数学区别与其他文科类科目的最大区别。在大学里，我们常常会看到，平时不断辗转于各自习室占坐埋头苦干的多数是学数学的，而那些平时总抱着小说看，还时不时花前月下的同学多半是文科院系的。并不是对两个院系的同学有什么诟病，这种状况只是所学专业特点使然。在备考研究生考试数学的时候，如果充分了解其特点，就能对症下药。微积分的选择及填空题考查的是基本知识的掌握程度及技巧的灵活运用，可做做《考研数学客观题1500题》，必定能达到所希望的结果。微积分的解答题注重计算及综合应用能力，平时多做这方面的题目既可以练习做题速度及提高质量，也能检测复习效果。
高考数学中关于一元函数微积分学所考查的知识点 高考数学中关于一元函数微积分学所考查的知识点：
1. 导数及其应用
（1）导数概念及其几何意义
①通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵。
②通过函数图象直观地理解导数的几何意义。
（2）导数的运算
①能根据导数定义求函数的导数。
②能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数的导数。
③会使用导数公式表。
（3）导数在研究函数中的应用
①结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间。
②结合函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。
（4）生活中的优化问题举例。
例如，通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用
（5）定积分与微积分基本定理
①通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等），从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念。
②通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系），直观了解微积分基本定理的含义。

三部曲就可以了：

1、先将导数的几个公式理解透、运用熟练，总共不超过10，
例如：sin, cos, tan, x^n, lnx, e^x

2、再将三个求导方法用熟：
积的求导 ------- Product Rule
商的求导 ------- Quotient Rule
复合函数求导 --- Chain Rule

3、将积分几个最基本的方法练熟，一直可以应付到大二。
a、直接运用上面5个最基本导数的逆运算进行积分；
b、运用上面的三个求导法则进行积分，基本解决所有高中积分；
c、然后运用下边三个基本分法可以解决至大二的几乎所有类型积分：
--- 变量代换法 Substitution
--- 分部积分法 Integration by parts
--- 有理分式法 Partial Fraction

如果楼主需要，可以给你一份可以应付美国中学生的AP考试，英联邦的A-Level数学考试。他们的高中生所考的微积分比咱们高中生的微积分深很多很多。

下面我们开始讨论具体的函数，它们是我们在这门课程里最主要的研究对象。也是我们进一步研究更复杂的函数的基础，尽管读者可能已经在高中阶段学习过这些函数，但仍然需要用更深刻的观念来把握它们的具体性质。鉴于它们的重要性，我们必须仔细地学习它们，下面分别地根据图形进行分析。
初等函数
所谓初等函数并非一个很严谨的概念，一般说来，就是指以下五种基本初等函数，以及通过对这五种初等函数进行有限运算与有限复合而得到的任意函数。这只是从一般的构成方法来说的，并非从应该具备什么样的限制这方面来说的。
下面我们从构成初等函数的基本组成部分开始讨论。
（1）幂函数；
幂函数的一般形式为。
如果a取非零的有理数是比较容易理解的，不过初学者对于a取非零的无理数，则不太容易理解，在我们的课程里，不要求掌握如何理解指数为无理数的问题，因为这涉及到实数连续统的极为深刻的知识。因此我们只要接受它作为一个已知事实即可。
对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性：
首先我们知道如果，q和p都是整数，则，而如果，则，因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：
排除了为0与负数两种可能，即对于x>0，则a可以是任意实数；
排除了为0这种可能，即对于x<0和x>0的所有实数，p不能是偶数；
排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a就不能是负数。
总结起来，就可以得到当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：
如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数；
如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据p的奇偶性来确定，即如果同时p为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；如果同时p为奇数，则函数的定义域为不等于0 的所有实数。
在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。
在x小于0时，则只有同时p为奇数，函数的值域为非零的实数。
而只有a为正数，0才进入函数的值域。
由于x大于0是对a的任意取值都有意义的，因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况.
可以看到：
（1）所有的图形都通过（1，1）这点。
（2）当a大于0时，幂函数为单调递增的，而a小于0时，幂函数为单调递减函数。
（3）当a大于1时，幂函数图形下凹；当a小于1大于0时，幂函数图形上凸。
（4）当a小于0时，a越小，图形倾斜程度越大。
（5）a大于0，函数过（0，0）；a小于0，函数不过（0，0）点。
（6）显然幂函数无界。
（2）指数函数；
指数函数的一般形式为，从上面我们对于幂函数的讨论就可以知道，要想使得x能够取整个实数集合为定义域，则只有使得
如图所示为a的不同大小影响函数图形的情况。
可以看到：
（1） 指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a大于0，对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑。
（2） 指数函数的值域为大于0的实数集合。
（3） 函数图形都是下凹的。
（4） a大于1，则指数函数单调递增；a小于1大于0，则为单调递减的。
（5） 可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过程中（当然不能等于0），函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。
（6） 函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴。
（7） 函数总是通过（0，1）这点。
（8） 显然指数函数无界。
（3）对数函数；
对数函数的一般形式为，它实际上就是指数函数的反函数。因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。
下图给出对于不同大小a所表示的函数图形：
可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形，因为它们互为反函数。
（1） 对数函数的定义域为大于0的实数集合。
（2） 对数函数的值域为全部实数集合。
（3） 函数总是通过（1，0）这点。
（4） a大于1时，为单调递增函数，并且上凸；a小于1大于0时，函数为单调递减函数，并且下凹。
（5） 显然对数函数无界。
（4）三角函数；
三角函数分成6种形式，都是典型的周期函数：
正弦函数：y=sinx;
余弦函数：y=cosx;
正切函数：y=tgx;
余切函数：y=ctgx;
正割函数：y=secx;
余割函数：y=cscx.
下面分别结合函数的图形来讨论它们的性质。
正弦函数：y=sinx与余弦函数：y=cosx：
下面是正弦函数和余弦函数的图形：
可以看到：
（1） 这两种函数的周期都是。
（2） 余弦函数y=cosx沿着X轴的正方向平移，就与正弦函数y=sinx完全重合。
（3） 它们的定义域都是实数。
（4） 它们的值域都是大于等于-1，小于等于1。
（5） 它们都是有界的。
（6） 正弦函数为奇函数。
（7） 余弦函数为偶函数。
正切函数：y=tgx，余切函数：y=ctgx：
下图中，粗线是正切函数的图形，细线是余切函数的图形，从图形可以看到：
（1） 它们都是周期函数，周期都是。
（2） 正切函数的定义域是实数轴上，除了这些点以外的所有点的集合。
（3） 余切函数的定义域是实数轴上，除了这些点以外的所有点的集合。
（4） 它们的值域都是实数集合。
（5） 在两个间断点之间，正切函数是单调递增函数，而余弦函数是单调递减函数。
（6） 正切函数无限趋向于直线x=。
（7） 余切函数无限趋向于直线x=。
（8） 它们都是无界函数。
正割函数：y=secx，余割函数：y=cscx：
下面的图中，粗线是正割函数的图形，细线是余割函数的图形。从图可以看到：
（1） 它们都是周期函数，周期都是。
（2） 正割函数的定义域是实数轴上，除了这些点以外的所有点的集合。
（3） 余割函数的定义域是实数轴上，除了这些点以外的所有点的集合。
（4） 它们的值域都是实数集合里大于1和小于-1的实数集合。
（5） 正割函数无限趋向于直线x=。
（6） 余割函数无限趋向于直线x=。
（7） 它们都是无界函数。
（8） 正割函数为偶函数。
（9） 余割函数为奇函数。
（5）反三角函数；
6种三角函数都有相应的反函数，称为反三角函数，它们是：
反正弦函数：y=arcsinx;
反余弦函数：y=arccosx;
反正切函数：y=arctgx;
反余切函数：y=arcctgx;
反正割函数：y=arcsecx;
反余割函数：y=arccscx.
由于6种三角函数都是周期函数，因此从严格的意义上来讲，它们不存在反函数，而只有把它们的定义域进行适当的限制以后，才可以说是存在反函数。反过来，也可以说是对反三角函数的值域进行适当的限制。
对于正弦函数，正切函数，余割函数，要构造相应的反函数，值域一般取为。
对于余弦函数，余切函数，正割函数，要构造相应的反函数，值域一般取为。
这样我们就得到了满足函数定义的反三角函数，下面我们分别结合函数的图形进行讨论。
反正弦函数：y=arcsinx，反余弦函数：y=arccosx。
在下图中，粗线为y=arcsinx，细线为y=arccosx。可以看到：
（1） 反正弦函数的定义域为[-1，1]，值域为。
（2） 反余弦函数的定义域为[-1，1]，值域为。
（3） 反正弦函数为单调递增的；反余弦函数为单调递减的。
（4） 它们都是有界的。
（5） 反正弦函数为奇函数。
反正切函数：y=arctgx，反余切函数：y=arcctgx：
在下图中，粗线为y=arctgx，细线为y=arcctgx。可以看到：
（1） 正切函数的定义域为实数集合，值域为。
（2） 反余切函数的定义域为实数集合，值域为。
（3） 反正切函数为单调递增的；反余切函数为单调递减的。
（4） 反正切函数无限趋向于这两条直线。反余切函数无限地趋向于这两条直线。
（5） 它们都是有界的。
（6） 反正切函数为奇函数。
反正割函数：y=arcsecx，反余割函数：y=arccscx：
在下图中，粗线为y=arcsinx，细线为y=arccosx。可以看到：
（1） 正割函数的定义域为，值域为。
（2） 反余割函数的定义域为，值域为。
（3） 反正割函数的两支分别都是为单调递增的；反割弦函数的两支分别都是为单调递减的。
（4） 反正割函数无限趋向于这条直线。反余割函数无限地趋向于这条直线。
（5） 它们都是有界的。
（6） 反余割函数为奇函数。

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