1)操作发现:如图①,D是等边△ABC边BA上一动点(点D与点B不重合),连接DC,以DC为边在F
解:(1)AF=BD;证明如下:
∵△ABC是等边三角形(已知),
∴BC=AC,∠BCA=60°(等边三角形的性质);同理知,DC=CF,∠DCF=60°;
∴∠BCA﹣∠DCA=∠DCF﹣∠DCA,即∠BCD=∠ACF;
在△BCD和△ACF中,BC=AC∠BCD=∠ACF,DC=FC,
∴△BCD≌△ACF(SAS),
∴BD=AF(全等三角形的对应边相等);
(2)证明过程同(1),证得△BCD≌△ACF(SAS),则AF=BD(全等三角形的对应边相等),
所以,当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时,其他作法与(1)相同,AF=BD仍然成立;
(3)Ⅰ.AF+BF′=AB;证明如下:
由(1)知,△BCD≌△ACF(SAS),则BD=AF;同理△BCF′≌△ACD(SAS),则BF′=AD,
∴AF+BF′=BD+AD=AB;
Ⅱ.Ⅰ中的结论不成立.新的结论是AF=AB+BF′;
证明如下:在△BCF和△ACD中BC=AC,∠BCF`=∠ACD,F`C=DC,
∴△BCF′≌△ACD(SAS),
∴BF′=AD(全等三角形的对应边相等);
又由(2)知,AF=BD;
∴AF=BD=AB+AD=AB+BF′,
即AF=AB+BF′。
解:(1)AF=BD;证明如下:∵△ABC是等边三角形(已知),∴BC=AC,∠BCA=60°(等边三角形的性质);同理知,DC=CF,∠DCF=60°;∴∠BCA-∠DCA=∠DCF-∠DCA,即∠BCD=∠ACF;在△BCD和△ACF中,BC=AC∠BCD=∠ACFDC=FC,∴△BCD≌△ACF(SAS),∴BD=AF(全等三角形的对应边相等);(2)证明过程同(1),证得△BCD≌△ACF(SAS),则AF=BD(全等三角形的对应边相等),所以,当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时,其他作法与(1)相同,AF=BD仍然成立;(3)Ⅰ.AF+BF′=AB;证明如下:由(1)知,△BCD≌△ACF(SAS),则BD=AF;同理△BCF′≌△ACD(SAS),则BF′=AD,∴AF+BF′=BD+AD=AB;Ⅱ.Ⅰ中的结论不成立.新的结论是AF=AB+BF′;证明如下:在△BCF′和△ACD中,BC=AC∠BCF′=∠ACDF′C=DC,∴△BCF′≌△ACD(SAS),∴BF′=AD(全等三角形的对应边相等);又由(2)知,AF=BD;∴AF=BD=AB+AD=AB+BF′,即AF=AB+BF′.
(1)操作发现:如图①,D是等边△ABC边BA上一动点(点D与点B不重合),连接DC,以DC为边在BC上方作等边△DCF,连接AF.你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗?并证明你发现的结论.(2)类比猜想:如图②,当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时,其他作法与(1)相同,猜想AF与BD在(1)中的结论是否仍然成立?
(3)深入探究:
Ⅰ.如图③,当动点D在等边△ABC边BA上运动时(点D与点B不重合)连接DC,以DC为边在BC上方、下方分别作等边△DCF和等边△DCF′,连接AF、BF′,探究AF、BF′与AB有何数量关系?并证明你探究的结论.
Ⅱ.如图④,当动点D在等边△边BA的延长线上运动时,其他作法与图③相同,Ⅰ中的结论是否成立?若不成立,是否有新的结论?并证明你得出的结论.
考点:全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质.
专题:几何综合题.
分析:(1)根据等边三角形的三条边、三个内角都相等的性质,利用全等三角形的判定定理SAS可以证得△BCD≌△ACF;然后由全等三角形的对应边相等知AF=BD;
(2)通过证明△BCD≌△ACF,即可证明AF=BD;
(3)Ⅰ.AF+BF′=AB;利用全等三角形△BCD≌△ACF(SAS)的对应边BD=AF;同理△BCF′≌△ACD(SAS),则BF′=AD,所以AF+BF′=AB;
Ⅱ.Ⅰ中的结论不成立.新的结论是AF=AB+BF′;通过证明△BCF′≌△ACD(SAS),则BF′=AD(全等三角形的对应边相等);再结合(2)中的结论即可证得AF=AB+BF′.
解答:解:(1)AF=BD;
证明如下:∵△ABC是等边三角形(已知),
∴BC=AC,∠BCA=60°(等边三角形的性质);
同理知,DC=CF,∠DCF=60°;
∴∠BCA-∠DCA=∠DCF-∠DCA,即∠BCD=∠ACF;
在△BCD和△ACF中,
BC=AC∠BCD=∠ACFDC=FC,
∴△BCD≌△ACF(SAS),
∴BD=AF(全等三角形的对应边相等);
(2)证明过程同(1),证得△BCD≌△ACF(SAS),则AF=BD(全等三角形的对应边相等),所以,当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时,其他作法与(1)相同,AF=BD仍然成立;
(3)Ⅰ.AF+BF′=AB;
证明如下:由(1)知,△BCD≌△ACF(SAS),则BD=AF;
同理△BCF′≌△ACD(SAS),则BF′=AD,
∴AF+BF′=BD+AD=AB;
Ⅱ.Ⅰ中的结论不成立.新的结论是AF=AB+BF′;
证明如下:在△BCF′和△ACD中,
BC=AC∠BCF′=∠ACDF′C=DC,
∴△BCF′≌△ACD(SAS),
∴BF′=AD(全等三角形的对应边相等);
又由(2)知,AF=BD;
∴AF=BD=AB+AD=AB+BF′,即AF=AB+BF′.
点评:本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质.等边三角形的三条边都相等,三个内角都是60°.
△CFA可以看作△CDB顺时针旋转60度而成,所以 AF=BD
可以发现 A、F、C、D四点共圆,AC平分角DAF
(1)操作发现:如图①,D是等边△ABC边BA上一动点(点D与点B不重合),连接D...
证明如下:∵△ABC是等边三角形(已知),∴BC=AC,∠BCA=60°(等边三角形的性质)。同理知,DC=CF,∠DCF=60°。∴∠BCA﹣∠DCA=∠DCF﹣DCA,即∠BCD=∠ACF。在△BCD和△ACF中,∵BC=AC,∠BCD=∠ACF,DC=CF,∴△BCD≌△ACF(SAS)。∴BD=AF(全等三角形的对应边相等)。(2)AF=B...
(1)操作发现:如图①,在Rt△ABC中,∠C=2∠B=90°,点D是BC上一点,沿AD...
(1)如图①,设CD=t,∵∠C=2∠B=90°,∴∠B=45°,∠BAC=45°,∴△ABC为等腰直角三角形,∴AC=BC,AB=2AC,∵AD折叠△ADC,使得点C恰好落在AB上的点E处,∴DC=DE,∠AED=∠C=90°,∴△BDE为等腰直角三角形,∴BD=2DE,∴BD=2t,∴AC=BC=2t+t=(2+1)t,∴AB=2?(2+...
(1)操作发现:如图1,在矩形ABCD中,E是BC的中点,将△ABE沿AE折叠后得到...
解:(1)猜想线段GF=GC,证明:连接EG,∵E是BC的中点,∴BE=CE,∵将△ABE沿AE折叠后得到△AFE,∴BE=EF,∴EF=EC,∵EG=EG,∠C=∠EFG=90°,∴△ECG≌△EFG(HL),∴FG=CG;(2)(1)中的结论仍然成立.证明:连接EG,FC,∵E是BC的中点,∴BE=CE,∵将△ABE沿AE折叠后得到△...
(1)操作发现:如图1,D是等边三角形ABC边BA上一动点(点D与点B不重合...
(1)∵∠BCA=∠DCF,∴∠BCD=∠ACF,在△BCD和△ACF中,BC=AC∠BCD=∠ACFCF=CD,∴△BCD≌△ACF,(SAS),∴BD=AF;(2)∵∠BCA=∠DCF,∴∠BCD=∠ACF,在△BCD和△ACF中,BC=AC∠BCD=∠ACFCF=CD,∴△BCD≌△ACF(SAS),∴BD=AF;(3)①∵∠BCA=∠DCF,∴∠BCD=∠ACF...
操作发现:如图①,D是等边三角形ABC上一动点(点D与点B不重合),连接DC...
af=bd
(1)【操作发现】:如图①,D是等边△ABC边BA上一动点(点D与点B不重合...
(1)∵△ABC和△DCF都是等边三角形,∴AC=BC,CD=CF,∠ACB=∠DCF=60°,∴∠ACB-∠ACD=∠DCF-∠ACD,即∠BCD=∠ACF,在△BCD和△ACF中,AC=BC∠BCD=∠ACFCD=CF,∴△BCD≌△ACF(SAS),∴AF=BD;(2)结论依然成立.理由如下:∵△ABC和△DCF都是等边三角形,∴AC=BC,CD=CF,...
(1)操作发现: 如图,矩形ABCD中,E是AD的中点,将△ABE沿BE折叠后得到△G...
连接EF, 根据翻折不变性得∠EGF=∠D=90°,EG=AE=ED,EF=EF,∴Rt△EGF≌Rt△EDF,∴GF=DF;(2)设DF=x,BC=y,则有GF=x,AD=y∵DC=2DF,∴CF=x,DC=AB=BG=2x,∴BF=BG+GF=3x;在Rt△BCF中,BC +CF =BF ,即y +x =(3x) ∴y= , (3)由(1)...
(1)操作发现:如图,矩形ABCD中,E是AD的中点,将△ABE沿BE折叠后得到△GBE...
(1)连接DG。因为:△ABE沿BE折叠后得到△GBE所以,AB=BG,AE=EG又因为AE=ED所以EG=ED所以角EGD=角EDG而,角EGD+角FGD=角EDG+角FDG=90度所以 角FGD=角FDG所以GF=DF(2)因为GF=DF,BG=AB=DC=2DF所以BF=BG+GF=BG+DF=3DF因为DC=2DF 所以DF=CF所以BC^2=BF^2-FC^2=(3DF)^2-DF^...
(1)操作发现如图,矩形ABCD中,E是AD的中点,将△ABE沿BE折叠后得到△GBE...
所以F是DC的中点,DF=CF矩形ABCD中,AB=CD,AD=BC, ;将△ABE沿BE折叠后得到△GBE,△ABE △GBE,AB=BG,BG=AB=2DF;由(1)知证明 Rt△ EGF ≌ Rt△ EDF 得 GF = DF ;所以BF=BG+GE=3DF;;在 Rt△ BFC中由勾股定理得BC= ,所以 = 点评:本题考查折叠,三角形...
(1)操作发现如图,矩形ABCD中,E是AD的中点,将△ABE沿BE折叠后得到△GBE...
解:(1)连接EF,∵Rt△BAE≌△BGE,∴AE=EG,∵AE=ED,∴EG=ED,∵四边形ABCD为矩形,∴∠EGF=∠A=∠D=90°,∵EF=EF,∴Rt△EGF≌Rt△EDF,∴GF=DF,∴∠GEF=∠DEF,∠GFE=∠DFE,∠AEB=∠GEB,∴∠BEF=90°,∠DEF+∠AEB=90°,∵∠A=∠D=90°,∴∠A=∠D=∠BEF,∵∠...
尾蕊降脂:[答案] (1)AF=BD;证明如下:∵△ABC是等边三角形(已知),∴BC=AC,∠BCA=60°(等边三角形的性质);同理知,DC=CF,∠DCF=60°;∴∠BCA-∠DCA=∠DCF-∠DCA,即∠BCD=∠ACF;在△BCD和△ACF中,BC=AC∠BCD=∠ACFDC...
镇原县15171107908: (1)操作发现:如图①,D是等边△ABC边BA上一动点(点D与点B不重合),连接DC,以DC为边在BC上方作等边△DCF,连接AF.你能发现线段AF与BD之间... - ?
尾蕊降脂:[答案] (1)AF=BD; 证明如下:∵△ABC是等边三角形(已知), ∴BC=AC,∠BCA=60°(等边三角形的性质); 同理知,DC=CF,∠DCF=60°; ∴∠BCA-∠DCA=∠DCF-∠DCA,即∠BCD=∠ACF; 在△BCD和△ACF中, BC=AC∠BCD=∠ACFDC=...
镇原县15171107908: 1)操作发现:如图①,D是等边△ABC边BA上一动点(点D与点B不重合),连接DC,以DC为边在F - ?
尾蕊降脂: △CFA可以看作△CDB顺时针旋转60度而成,所以 AF=BD 可以发现 A、F、C、D四点共圆,AC平分角DAF
镇原县15171107908: (1)【操作发现】:如图①,D是等边△ABC边BA上一动点(点D与点B不重合),连接DC,以DC为边在BC上方作 - ?
尾蕊降脂: (1)∵△ABC和△DCF都是等边三角形,∴AC=BC,CD=CF,∠ACB=∠DCF=60°,∴∠ACB-∠ACD=∠DCF-∠ACD,即∠BCD=∠ACF,在△BCD和△ACF中, AC=BC ∠BCD=∠ACF CD=CF ,∴△BCD≌△ACF(SAS),∴AF=BD;(2)结论依然成...
镇原县15171107908: 操作发现:如图①,D是等边三角形ABC上一动点(点D与点B不重合),连接DC,以DC为边在BC上方 - ?
尾蕊降脂: af=bd
镇原县15171107908: 如图①点D是等边三角形ABC的边BC上的一点,连接AD作∠ADE=60°,交△的外角的平分线CE于E - ?
尾蕊降脂: (1)过D作AB的平行线交AC于F,则三角形DFC为等边三角形 在三角形ADF和三角形EDC中 角ADE=60度-角FDE,角EDC=60度-角FDE DC=DF 角DCE=角DFA=120度 所以,三角形ADF和三角形EDC全等 AD=DE,(2)结论依然成立 理由 过D作AB的平行线交AC的延长线于F,则三角形DFC为等边三角形 在三角形ADF和三角形EDC中 角AFD=角ECD=60度 CD=FD 角FDA=60度+角CDA,角CDE=60+角CDA 三角形ADF和三角形EDC全等 AD=DE,
镇原县15171107908: 如图,D是等边△ABC外的一点,DB=DC,∠BDC=120°,且E、F分别在AB和AC上.(1)求证:AD是BC的垂直平分线; (2)若ED平分∠BEF,证明... - ?
尾蕊降脂:[答案] 证明:(1)∵△ABC是等边三角形, ∴AB=AC, ∴A在BC的垂直平分线上, ∵BD=DC, ∴D在BC的垂直平分线上, ∴AD是BC的垂直平分线; (2)① 过D作DM⊥EF,连接AD, ∵AD是BC的垂直平分线, ∴AD平分∠BAC, ∵△ABC是等边三角...
镇原县15171107908: 初三上册数学几何复习?
尾蕊降脂: 7.(1)操作发现:如图①,D是等边△ABC边BA上一动点(点D与点B不重合),连接DC,以DC为边在BC上方作等边△DCF,连接AF.你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗?并证明你发现的结论.(2)类比猜想:如图②,当动点D运动至等边...
镇原县15171107908: 麻烦老师解答:(1)操作发现:如图 - ?
尾蕊降脂: 解:(1)AF=BD;证明如下: ∵△ABC是等边三角形(已知), ∴BC=AC,∠BCA=60°(等边三角形的性质);同理知,DC=CF,∠DCF=60°; ∴∠BCA﹣∠DCA=∠DCF﹣DCA,即∠BCD=∠ACF; 在△BCD和△ACF中,, ∴△BCD≌...
镇原县15171107908: 如图所示,已知点D是等边三角形ABC的边BC延长线上的一点,∠EBC=∠DAC,CE ∥ AB.求证:△CDE是等边三角 - ?
尾蕊降脂: 证明:∵∠ABE+∠CBE=60°,∠CAD+∠ADC=60°,∠EBC=∠DAC,∴∠ABE=∠ADC. 又CE ∥ AB,∴∠BEC=∠ABE. ∴∠BEC=∠ADC. 又BC=AC,∠EBC=∠DAC,∴△BCE≌△ACD. ∴CE=CD,∠BCE=∠ACD,即∠ECD=∠ACB=60°. ∴△CDE是等边三角形.