请问数学归纳法有多少种？

初中的数学归纳法是什么，有哪些题型？~

数学上证明与自然数N有关的命题的一种特殊方法，它主要用来研究与正整数有关的数学问题，在高中数学中常用来证明等式成立和数列通项公式成立。

数学归纳法填空题
1、用数学归纳法证明“(3n＋1)7n-1能被9整除(nÎN)”的第二步应为________。
2、用数学归纳法证明等式“1＋2＋3＋…＋（n＋3）=(nN)”，
当n=1时，左边应为____________。
3、已知{an}数列的前n项Sn=2n-an,则{an}的前四项依次为_______,猜想an=__________.
4、用数学归纳法证明某个命题时，左式为（n为正偶数）从”n=2k到n=2k+2”, 左边需增加的代数式是_____。
5、用数学归纳法证明1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1)时，从“n=k到n=k+1”, 左边需增添的代数式是_____。
6、用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n=(nÎN)的第二步应是；假设_______时等式成立，即_____________，那么当_________时，左边=1＋2＋…＋_______=(1＋2＋…＋_______)＋_________=_______＋_______=_________，右边=__________，故左边________右边，这就是说____________________。
7、已知数列{an}, a为常数且an=,Sn=a1+a2+…+an ,则S1 , S2 ,S3分别为___________,推测Sn的计算公式为_______.
8、用数学归纳法证明等式时,当n=1左边所得的项是 ；从””需增添的项是 。
9、用数学归纳法证明当时是31的倍数时，当n=1时原式为 ，从时需增添的项是 。
10、
用数学归纳法证明“当n³2且nÎN时，xn-nan-1x＋(n-1)an能被(x-a)2整除”的第一步应为_________________。
11、已知数列{an}满足a1=2a，an=2a-(n³2)，用数学归纳法证明an=a的第一步是___________________。
12、用数学归纳法证明等式1·3·5+3·5·7+···+(2n-1)(2n+1)(2n+3)=n(n+2)·(2n2+4n-1)时，先算出n=1时，左边=_______，右边=__________，等式成立。
13、在数列{an}中,Sn是其前n项和,且Sn=2an-2,,则此数列的四项分别为_______.猜想an的计算公式是_______.
14、用数学归纳法证明“当n是非负整数时55n+1＋45n+2＋35n能被11整除”的第一步应写成：当n=______时，55n+1＋45n+2＋35n=________=_______，能被11整除。
15、用数学归纳法证明1＋3＋6＋……＋=(nÎN)的第一步应是：当n=_____时，左边=____，右边=_____，∴左边_____右边，故_____。
16、用数学归纳法证明“56n+5＋76n+7能被9整除”的第二步中，为了使用归纳假设，应将56(k+1)+5＋76(k+1)+7变形为__________________。
17、设凸k边形的内角和为f(k)，则凸k+1边形的内角和f(k+1)=f(k)+______.
18、已知数列{an}, a1=, 则a2, a3 , a4 ,a5分别为_________,猜想an=________.
19、探索表达式A=(n-1)n-1)!+(n-2)(n-2)!+…+2·2!+1·1! (n>1且n∈N)的结果时，第一步n=___________时，A=__________.
20、用数学归纳法证明某个命题时，左式为1·2·3·4+2·3·4·5+n(n+1)(n+2)(n+3), 从 “n=k到n=k+1”，左边需增加的代数式是____。
21、用数学归纳法证明某命题时，若命题的左边是1＋＋＋＋…＋(nÎN)，则n=k＋1时，左边应是n=k时的左边加上______________。
2、用数学归纳法证明1＋2＋22＋23＋……＋25n-1(nÎN)是31的倍数时，从“n=k®n=k＋1”需添的项是___________。
23、设Sk＝，那么Sk+1＝Sk＋_____
24、记平面内每两条棱交于两点，且任何三条不共点的几条抛物线，将平面划分的Z区域个数为f(n)，则f(k＋1)＝f(k)＋____。
25、直线l上有k个点(k³2)，由k个点确定的线段条数记为f(k)，则l上增加一个点后，线段条数最多增加_______条。
26、平面上原有k个圆，它们的交点个数记为f(k)，则增加第k＋1个圆后，交点个数最多增加_______个。
27、平面上原有k个圆，它们相交所成圆弧共有f(k)段，则增加第k＋1个与前k个圆均有两个交点，且不过前k个圆的交点的圆，则前k个圆的圆弧增加_________段。
28、设有通过一点的k个平面， 其中任何三个或三个以上的平面不共有一条直线，这k个平面将空间分成个f(k)部分，则k+1个平面将空间分成f(k+1)=f(k)+_____个部分.
29、平面内原有k条直线，这k条直线没有两条互相平行，没有三条交于同一点，它们互相分割成f(k)条线段或射线，则增加一条这样的直线，被分割的线段或射线增加________条。
30、平面上两两相交且任何三条不过同一点的k条直线将平面分面f(k)个部分，则k+1条直线把平面分成为f(k+1)=f(k)+_____个部分
31、已知凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)与f(k)的关系是f(k＋1)=____________。
32、设数列{an}满足a1=2，an+1=2an＋2，用数学归纳法证明an=4·2n-1-2的第二步中，设n=k时结论成立，即ak=4·2k-1-2，那么当n=k＋1时，___________。
数学归纳法填空题 〈答案〉

1、 答案：略。

2、 1＋2＋3＋4
3、 1,
4、
5、 (2k+2)(2k+3)
6、 答案：略。
7、
8、 1＋2＋3；(2k＋2)＋(2k＋3)
9、 1＋2＋22＋23＋24；25k＋25k+1＋25k+2＋25k+3＋25k+4.
10、 当n=2时，xn-nan-1x＋(n-1)an=x2-2ax＋a2=(x-a)2能被(x-a)2整除
11、 a2=2a-=2a-=a=
12、 1·3·5=15;1·3·(2+4-1)=15
13、 2,4,8,16;2n
14、 0，51＋42＋30，22
15、 1，1，1，=，成立
16、 76(56k+5＋76k+7)＋(56-76)·56k+5
17、 π
18、
19、2,1
20、 (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)
21、 ＋＋＋…＋
22、 25k＋25k+1＋…＋25k+4
23、
24、 2k＋1
25、 k
26、 2k
27、 2k
28、 2k
29、 2k＋1
30、 k+1
31、 f(k)＋
32、 ak+1=2ak＋2=2(4·2k-1-2)＋2=4·2k-2=4·2(k+1)－1-2
例1 求证：多项式xn+1+(x+1)2n-1(n∈N)能被多项式x2+x+1整除.

分析：与自然数有关的命题，常用数学归纳法证明，但在用

数学归纳法证明整除性问题时，为了凑假设，常需对n=k+1的情形进行添项和拆项.

证明：（1）当n=1时，x2+(x+1)显然能被x2+x+1整除.

例2 用数学归纳法证明：



评注：通常用数学归纳法证明关于含有自然数n的命题时，第一步只要检验n=1(或n=2，…)就可以了.本题在检验n=1不等式成立后，又继而检验n=2时，不等式也成立，这一做法不是多余的，因为后面的证明中要用到

例3 已知n个平面都过同一点，但其中任何三个平面都不经过同一直线，求证：这n个平面把空间分成f(n)=n(n-1)+2部分.

证明：（1）当n=1时,1个平面把空间分为2部分，而f(1)=1×(1-1)+2=2(部分)，所以命题正确.

（2）假设当n=k时,命题成立，即k个符合条件的平面把空间分为f(k)=k(k-1)+2(部分),

当n=k+1时，第k+1个平面和其它每一个平面相交,使其所分成的空间都增加2部分，所以共增加2k部分.

∴f(k+1)=f(k)+2k=k(k-1)+2+2k

=k(k-1+2)+2=(k+1)[(k+1)-1]+2(部分),

即n=k+1时,命题成立.

根据(1)、(2)知，n个符合条件的平面把空间分成f(n)=n(n-1)+2部分.

格式如下：
∵①所假设的结论,对于第一项成立
②假设结论在第k项成立,
则当对n=k+1项时,…………
（利用n=k是结论成立,通过计算说明也成立）
∴由①②得,…结论成立

数学上证明与自然数n有关的命题的一种方法。必须包括两步：(1)验证当n取第一个自然数值n�0(如1，2等)时，命题正确；(2)假设当n取某一自然数k时命题正确，以此推出当n=k+1时这个命题也正确。从而就可断定命题对于从n�0开始的所有自然数都成立。

数学归纳法是一种数学证明方法，典型地用于确定一个表达式在所有自然数范围内是成立的或者用于确定一个其他的形式在一个无穷序列是成立的。有一种用于数理逻辑和计算机科学广义的形式的观点指出能被求出值的表达式是等价表达式；这就是著名的结构归纳法。

已知最早的使用数学归纳法的证明出现于 Francesco Maurolico 的 Arithmeticorum libri duo (1575年)。Maurolico 证明了前 n 个奇数的总和是 n^2。

最简单和常见的数学归纳法证明方法是证明当n属于所有自然数时一个表达式成，这种方法是由下面两步组成:

递推的基础: 证明当n = 1时表达式成立。

递推的依据: 证明如果当n = m时成立，那么当n = m + 1时同样成立。(递推的依据中的“如果”被定义为归纳假设。 不要把整个第二步称为归纳假设。)

这个方法的原理在于第一步证明起始值在表达式中是成立的，然后证明一个值到下一个值的证明过程是有效的。如果这两步都被证明了，那么任何一个值的证明都可以被包含在重复不断进行的过程中。或许想成多米诺效应更容易理解一些；如果你有一排很长的直立着的多米诺骨牌那么如果你可以确定：

第一张骨牌将要倒下。

只要某一个骨牌倒了,与他相临的下一个骨牌也要倒。

那么你就可以推断所有的的骨牌都将要倒。

数学归纳法的原理作为自然数公理，通常是被规定了的(参见皮亚诺公理第五条)。但是它可以用一些逻辑方法证明；比如，如果下面的公理：

自然数集是有序的

被使用。

注意到有些其他的公理确实的是数学归纳法原理中的二者择一的公式化。更确切地说，两个都是等价的。

用数学归纳法进行证明的步骤：
（1）（归纳奠基）证明当 取第一个值 时命题成立；证明了第一步，就获得了递推的基础，但仅靠这一步还不能说明结论的普遍性.在第一步中，考察结论成立的最小正整数就足够了，没有必要再考察几个正整数，即使命题对这几个正整数都成立，也不能保证命题对其他正整数也成立；

（2）（归纳递推）假设 时命题成立，证明当 时命题也成立；证明了第二步，就获得了递推的依据，但没有第一步就失去了递推的基础.只有把第一步和第二步结合在一起，才能获得普遍性的结论；

（3）下结论：命题对从 开始的所有正整数 都成立。

注：
（1）用数学归纳法进行证明时，“归纳奠基”和“归纳递推”两个步骤缺一不可；

（2）在第二步中，在递推之前， 时结论是否成立是不确定的，因此用假设二字，这一步的实质是证明命题对 的正确性可以传递到 时的情况.有了这一步，联系第一步的结论（命题对 成立），就可以知道命题对 也成立，进而再由第二步可知 即 也成立，…，这样递推下去就可以知道对于所有不小于 的正整数都成立.在这一步中， 时命题成立，可以作为条件加以运用，而 时的情况则有待利用归纳假设、已知的定义、公式、定理加以证明，不能直接将 代入命题.

数学上证明与自然数n有关的命题的一种方法。必须包括两步：(1)验证当n取第一个自然数值n�0(如1，2等)时，命题正确；(2)假设当n取某一自然数k时命题正确，以此推出当n=k+1时这个命题也正确。从而就可断定命题对于从n�0开始的所有自然数都成立。

数学归纳法是一种数学证明方法，典型地用于确定一个表达式在所有自然数范围内是成立的或者用于确定一个其他的形式在一个无穷序列是成立的。有一种用于数理逻辑和计算机科学广义的形式的观点指出能被求出值的表达式是等价表达式；这就是著名的结构归纳法。

已知最早的使用数学归纳法的证明出现于 Francesco Maurolico 的 Arithmeticorum libri duo (1575年)。Maurolico 证明了前 n 个奇数的总和是 n^2。

最简单和常见的数学归纳法证明方法是证明当n属于所有自然数时一个表达式成，这种方法是由下面两步组成:

递推的基础: 证明当n = 1时表达式成立。

递推的依据: 证明如果当n = m时成立，那么当n = m + 1时同样成立。(递推的依据中的“如果”被定义为归纳假设。 不要把整个第二步称为归纳假设。)

这个方法的原理在于第一步证明起始值在表达式中是成立的，然后证明一个值到下一个值的证明过程是有效的。如果这两步都被证明了，那么任何一个值的证明都可以被包含在重复不断进行的过程中。或许想成多米诺效应更容易理解一些；如果你有一排很长的直立着的多米诺骨牌那么如果你可以确定：

第一张骨牌将要倒下。

只要某一个骨牌倒了,与他相临的下一个骨牌也要倒。

那么你就可以推断所有的的骨牌都将要倒。

数学归纳法的原理作为自然数公理，通常是被规定了的(参见皮亚诺公理第五条)。但是它可以用一些逻辑方法证明；比如，如果下面的公理：

两种，完全归纳和不完全归纳。

---

黄骅市19837562756： 请问数学归纳法有多少种? - ？
郯仲必洛： 数学上证明与自然数n有关的命题的一种方法.必须包括两步:(1)验证当n取第一个自然数值n?0(如1,2等)时,命题正确;(2)假设当n取某一自然数k时命题正确,以此推出当n=k+1时这个命题也正确.从而就可断定命题对于从n?0开始的...

黄骅市19837562756： 数学归纳法的类型 - ？
郯仲必洛： 数学归纳法(Mathematical Induction, MI)是一种数学证明方法,通常被用于证明某个给定命题在整个(或者局部)自然数范围内成立.除了自然数以外,广义上的数学归纳法也可以用于证明一般良基结构,例如:集合论中的树.这种广义的数学归纳法应用于数学逻辑和计算机科学领域,称作结构归纳法.

黄骅市19837562756： 数学归纳法的种类 - ？
郯仲必洛： 有一般的 1)证明n=1时成立 2)假设n=k时成立,推导n=k+1时也成立 堆土式 1)证明n=1时成立 2)假设n<=k(n=1,2,3...k)时成立,推导n=k+1时也成立

黄骅市19837562756： 数学归纳法有分第一数学归纳法,逆向归纳法,螺旋归纳法,二重数学归纳法!(1)当n=1,2时,命题成立!(2)假设n=k且n=k+1,命题成立.可以推出n=... - ？
郯仲必洛：[答案] 数学归纳法分两类: 第一类:k=1时成立;假设k=n时成立,k=n+1时也成立.从而命题对任意n>1成立 第二类:k=1时成立;假设k1成立 第一类是高中学的,第二类在证明大学高等代数和初等数论问题用过

黄骅市19837562756： 数学归纳法,常用方法 - ？
郯仲必洛： 数学归纳法有以下五种形式: 1.第一数学归纳:证明对于某个初始自然数(比如1),命题P成立;然后在假设命题P对于自然数N成立的基础上,证明P对于N+1也成立. 2.第二数学归纳:证明对于某个初始自然数(比如1),命题P成立;...

黄骅市19837562756： 数学归纳法一共分几种,高中接触几种.能否详细介绍下？
郯仲必洛： 两种,完全归纳和不完全归纳,应该是接触完全归纳吧,完全归纳就是每个元素都证明了,不完全归纳就是只证明一部分元素就推测出结论

黄骅市19837562756： 大体上有四种数学归纳法,目前用过的也就第一第二数学归纳法,问下学霸同学,这几种归纳法的选择是取决于什么的,是从经验上判断使用的难易程度还是... - ？
郯仲必洛：[答案] 一般而言,提起笔解题的时候大约就知道该用什么归纳法,以及何时用这种归纳法,何时用那种归纳法.归纳和演绎本身不是很难,写着写着思路就顺下来了.当然,经验多了,会明白如何更简便的进行归纳,可以少走弯路,也可以在走歪了的时候再...

黄骅市19837562756： 数学归纳法的详细分类 - ？
郯仲必洛： 数学归纳法:数学上证明与自然数N有关的命题的一种特殊方法,它主要用来研究与正整数有关的数学问题,在高中数学中常用来证明等式成立和数列通项公式成立. (一)第一数学归纳法:一般地,证明一个与自然数n有关的命题P(n),有...

黄骅市19837562756： 数学归纳法 - ？
郯仲必洛： “归纳法”分为(1)不完全归纳法;(2)完全归纳法;(1),不完全归纳法要求对n=1,2,3,4,时的规律找出来即可;(2),完全归纳法是一种逻辑证明法,炒作步骤为:1,先证明n=1时结论成立;2,假定n=k+1时也成立,并写出相应的结论;3,在(1)(2)的前提下证明当n=k+1时结论也成立;最后得出n等于任何整数时结论都成立.

黄骅市19837562756： 数学归纳法有什么类型?又有什么解题方法? - ？
郯仲必洛： 数学归纳法是证明正整数问题的一种特殊方法,包括归纳奠基和归纳推理两个步骤.理论就相当于多米诺骨牌一样.