关于线性代数的问题。老师说要一题一题问....但是加上之前的提问，那我可以问两题了八~~
是这样
属于特征值1的特征向量必与a1正交, 并且应该有2个线性无关的
这2个线性无关的特征向量满足 x2+x3=0
而满足此条件的线性无关的向量只有2个(即基础解系)(或与其等价的2个)
所以这2个一定是属于特征值1的线性无关的特征向量(否则就没有2个了)
所以这类题目只适用于有2个不同特征值的矩阵(其中一个是多重的)
否则就无法确定与a1正交的向量是属于哪个特征值的
设系数矩阵为A, 则方程组为AX=B, 其中X=(x1,x2,...,xn)^T, B=(b1,b2,...bn)^T.
因为对任意B,方程都有整数解, 所以方程组的系数矩阵A满秩, ,即是|A|不等于零.
根据克莱姆法则, 方程组的唯一解可以形式表示为xi=Di/|A|, 其中Di为矩阵A的第i列被常数项b1,...bn取代所构成的n级行列式. 根据已知条件,存在唯一整数解, 即是无论b1,...,bn怎么取, Di都是|A|的倍数,因而|A|是所有整数的因数, 从而|A|=1或-1.
2-λ 2 -2
2 5-λ -4
-2 -4 5-λ
r3+r2
2-λ 2 -2
2 5-λ -4
0 1-λ 1-λ
c2-c3
2-λ 4 -2
2 9-λ -4
0 0 1-λ
= (1-λ)[(2-λ)(9-λ)-8]
= (1-λ)(λ^2-11λ+10)
= -(λ-1)^2(λ-10).
所以λ≠1且λ≠10时,方程组有唯一解.
当λ=1时, 增广矩阵(A,b)=
1 2 -2 1
2 4 -4 2
-2 -4 4 -2
r2-2r1,r3+2r1
1 2 -2 1
0 0 0 0
0 0 0 0
故此时方程组有无穷多解, 通解为: (1,0,0)^T+c1(-2,1,0)^T+c2(2,0,1)^T.
当λ=10时, 增广矩阵(A,b)=
-8 2 -2 1
2 -5 -4 2
-2 -4 -5 -2
r1+4r2,r3+r2
0 -18 -18 9
2 -5 -4 2
0 -9 -9 0
r1-2r3
0 0 0 9
2 -5 -4 2
0 -9 -9 0
r(A)=2, r(A,b)=3,此时方程组无解.
五. 解:
(α1,α2,α3,α4)=
1 1 -2 -3
-2 -1 4 8
1 1 -3 -6
1 1/2 -2 -4
r4+(1/2)r2, r3-r1, r2+2r1
1 1 -2 -3
0 1 0 2
0 0 -1 -3
0 0 0 0
r3*(-1),r1+2r3-r2
1 0 0 1
0 1 0 2
0 0 1 3
0 0 0 0
所以α1,α2,α3是一个极大无关组
且 α4 = α1+2α2+3α3
线性代数的问题?
矩阵 A 的行变换就是初等变换矩阵 P 前乘以 A， 即 PA，矩阵 A 的列变换就是初等变换矩阵 Q 后乘以 A， 即 AQ。本题 矩阵 B 是 由 A 第 3 行 2 倍加到第 2 行的行初等变换 PA，再交换 （PA）的 2， 3 列 的列初等变换 Q 得到的，故 B = PAQ。矩阵相乘无交换律， 故 B ≠...
线性代数初学者问题:初等变换改变线性方程组的解吗? 初等行变换好像不改...
行变换不改变;想一想（1）交换两行，相当于将方程组中两个方程交换位置。（2）一行乘一个数加到另一行相当一个方程乘一个数加上另一个方程 （3）一行乘一个非零数相当一个方程两边同乘一个非零数。这些变换都是可逆的。因此，方程组同解。或则原方程为AX=b 对(A|b)实行行变换相当于在(A|...
大学线性代数几个小问题
代数重数在这个秩上看不出来。2,代数重数是指在特征多项式中的重数，由于特征多项式一定是n次的，所以所有代数重数之和当然是n。3。作为特征向量形成特征子空间，我们说的几何重数，实际上是这个特征子空间的维数。我们知道，为数固定的线性空间的基不惟一。因此，可以找到n-r个线性无关，...
关于线性代数的一些问题
1. A的相似对角化, 不需要正交化与单位化 但涉及二次型的时候, 其相似对角化没意义. 这是因为需要是合同变换, 所以需要正交相似(即相似又合同).但若只需将二次型化标准形, 配方法只需可逆变换 2. (1)只求矩阵的秩, 求A的等价标准形, 行列变换都可用 (2)求向量组的极大无关组, 线性表示...
线性代数的矩阵问题!
对于AB的秩来讲，分为下面两个角度，1、AB的列向量可以由A的列向量表示，说明A的列向量秩大于等于AB的列向量秩，但是AB并不改变A行向量的数目及其相对位置，所以[A AB]和[A A]在秩的角度等价。2、AB的行向量可以由A的行向量表示，说明AB行秩小于等于A的行秩，既然是行秩，则AB的秩大小和行...
关于线性代数的几个问题。
1.任何矩阵都有秩，但只有方阵有行列式。方阵为满秩时，其行列式不为0。此命题的逆命题、否命题、逆否命题均正确。2.应该是向量组的秩与向量是否线性相关有何联系吧？向量组的秩等于向量的个数时，向量线性无关。此命题的逆命题、否命题、逆否命题均正确。3.若系数行列式A=0，则向量组=A[a1,a2...
线性代数的问题!!是一个题~~~在线等啊~~~
作辅助行列式 D1 = 3 1 -1 2 -5 1 3 -4 1 3 -2 2 (这一行换成要求的 A31+3A312-2A33+2A34 的系数)1 -5 3 -3 行列式D1按第3行展开:D1 = A31+3A312-2A33+2A34 这里需注意的是:原行列式D的第3行元素的代数余子式 与 辅助行列式D1的第3行元素的代数余子式...
关于线性代数的问题
因为是求第一个未知量，所以分子上的行列式是把分母行列式的第一列替换为常数项。分母上的行列式的计算可以用归纳法，按第一列展开，整理后可得Dn=2a*D(n-1)-a^2*D(n-2)，由此Dn-a*D(n-1)＝a×[D(n-1)-a*D(n-2)]，即Dn-a*D(n-1)是等比数列。得到Dn-a*D(n-1)＝a^n，同...
线性代数问题 矩阵问题里,什么时候可以列变换,什么时候只能行变换啊...
一般来说，解线性方程组（包括求特征向量），用初等变换求逆矩阵，求列向量组的极大无关组等，都只能用行变换。而求矩阵的秩，化矩阵为等价标准形，计算行列式等，行列变换都是可以用的。做行变换相当于左乘一个可逆矩阵,列变换相当于右乘一个可逆矩阵。行列式中行变换和列变换是等价的,所以行列都可以...
考研 线性代数问题
1. 因为这个推论的结果是: A可逆 <=> A与E行等价 所以在证明过程中, 用 A可逆<=> 存在可逆矩阵P，使PA=E.PA=E 是说明 A经过初等行变换化成 E, 故A与E行等价.如果用 AP=E, 则说明 A经过初等列变换化成 E, 故A与E列等价 !一个用来证明行等价,一个用来证明列等价!2. 由于矩阵的...
盖龙奥络：[答案] 1.实对称矩阵满足两个条件,首先她是一个实矩阵,也就是说矩阵中的每一个数都是实数.其次她是对称矩阵,满足A=A',这个矩阵关于主对角线对称.2.任意的一个线性无关的向量组通过正交化可以的到一个正交向量组,通常在求标...
临夏市19288508001： 关于线性代数的几个问题1.线性代数里的entry表示的是什么?是矩阵中的一列还是一行还是什么?2.leading - ？
盖龙奥络：[答案] entry 要看看上下文才行 leading 1 估计是指行最简形(rref)中非零行的首非零元
临夏市19288508001： 关于线性代数的小问题 设矩阵A=(a1,a2,a3,a4)其中a2,a3,a4线性无关,a1=2a2 - a3,向量b=a1+a2+a3+a4 - ？
盖龙奥络： a2,a3,a4线性无关,a1可以由a2,a3,a4线性表示,所以向量组a1,a2,a3,a4的秩是3,极大线性无关组是a2,a3,a4,也就是说矩阵A的秩是3.线性方程组Ax=b就是向量方程x1a1+x2a2+x3a3+x4a4=b,既然b=a1+a2+a3+a4,那么x1=x2=x3=x4=1自然是Ax=b的解了.
临夏市19288508001： 关于线性代数的题:见问题补充1.设向量组α(阿尔法)1,α2,α3线性相关,向量组α2,α3,α4线性无关,问(1)α1能否由α2,α3线性表示?并证明你的结论(2)... - ？
盖龙奥络：[答案] 1、α2,α3,α4线性无关,则α2,α3也线性无关,又α1,α2,α3线性相关,则α1能由α2,α3线性表示. α4不能由α1,α2,α3线性表示.否则,若α4能由α1,α2,α3线性表示,又α1能由α2,α3线性表示,则α4能由α2,α3线性表示,这与向量组α2,α3,α4线性无关矛盾了. 2、...
临夏市19288508001： 关于线性代数的几个问题. - ？
盖龙奥络： 1.任何矩阵都有秩,但只有方阵有行列式.方阵为满秩时,其行列式不为0.此命题的...
临夏市19288508001： 有关线性代数的问题设A是一个n阶对称矩阵,请问如何证明A是正定矩阵的充要条件是存在可逆矩阵P,使A=P^T*P, - ？
盖龙奥络：[答案] A正定 A与单位矩阵E合同 存在可逆矩阵C,使得C^TAC=E 存在可逆矩阵P,使得A=P^T P,其中P为C的逆矩阵.
临夏市19288508001： 关于线性代数的几个基本概念问题1.矩阵在变化成最简形的时候,书上的运算从不换行换列,那是不是矩阵变换时不能换行换列?那到底矩阵、向量组、行列... - ？
盖龙奥络：[答案] 1 矩阵运算可以交换行的顺序,但是不要换列,因为一般的矩阵运算都是要求矩阵的秩,只需要换行,然后求出阶梯型矩阵即可.向量组是代表未知数系数组的一种形式,也不能换列,否则就相当于改变求未知数的顺序了.行列式可以随...
临夏市19288508001： 线性代数问题1、使S={(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)}作为向量空间F^3的子集. - ？
盖龙奥络： A1:线性相关性和向量空间定义在什么数域上密切相关,一个集合定义在不同数域上应作为不同的向量空间.如1和i在C(R)上是线性无关的,因为1x1+ix2=0,x1,x2∈R意味着x1=x2=0,但是做为C(C)上的向量是线性相关的,实际上1*1+i*i=0这里x1=1,x2=i且x1,x2均∈C.A2:R^3是3维实空间,它只有4个子空间,分别是0,1,2,3维.对有限维空间,同维必定同构.所以同维空间都视作同一个空间.
临夏市19288508001： 关于线性代数的一道题设a1 a2是非齐次线性方程组Ax=b的解,g是对应的齐次方程组的解,则Ax=b必有一个解为什么是g+0.5(a1+a2)? - ？
盖龙奥络：[答案] 非齐次方程组解的定义.非齐次方程组的解等于对应齐次方程组的解+非齐次的一个特解. A*a1=b,A*a2=b.所以A*(a1+a2)*0.5=b吧.也就是说0.5*(a1+a2)是那个特解. g是齐次方程的解,根据定义,就可以证明了
临夏市19288508001： 有关线性代数的问题 - ？
盖龙奥络： 第一题:由于P,Q是初等矩阵,所以它们的秩都是5,因此PA*Q 的秩就等于A*的秩 由于5阶A有一个4阶非0子式,所以A的秩只能是4和5,当A的秩是4时,A*的秩是1,当A的秩是5时,A*的秩是5,所以PA*Q 的秩是1或者5 第二题:A-E是正定矩阵可以说明三个内容,一是A为对称矩阵,二是A为正定矩阵(A=(A-E)+E,A-E和E都是正定的,所以他们的和也是正定的),三是A的特征值都大于1,这是因为A-E的特征值都大于零. 于是可知1/A为正定的并且特征值都小于1,因此E-1/A的特征值都大于零,因此E-1/A是正定的
